Пузыри в сегменте

[Barbedo]

В шаровой сегмент вписан шар, касающийся сферы сегмента в точке А и плоскости сегмента в точке В. Другой вписанный в тот же сегмент шар касается сферы сегмента в точке А' и плоскости сегмента в точке В'. Доказать, что для любых шаров, вписанных в данный сегмент, прямые AB и A'B' пересекаются в общей точке С, лежащей на сфере.

[b_a_lamut]

В шаровой сегмент вписан шар, касающийся сферы сегмента в точке А и плоскости сегмента в точке В. Другой вписанный в тот же сегмент шар касается сферы сегмента в точке А' и плоскости сегмента в точке В'. Доказать, что для любых шаров, вписанных в данный сегмент, прямые AB и A'B' пересекаются в общей точке С, лежащей на сфере.

Эх, чувствую, что будет приблизительно так, но не знаю, как доказать. :shok: Зато, красиво и на праздник похоже :)

https://img.uforum.uz/images/8755644.jpg

[Barbedo]

Зато, красиво и на праздник похоже :)

Вот это дааа! Класс!
:)

[Наташа]

Эх, чувствую, что будет приблизительно так, но не знаю, как доказать.
рисуем из этой самой точки пересечения сферу радиусом расстояния от этой точки до точки пересечения 1й сферы с плоскостью и докаываем что центры всех вписанных сфер лежат на поверхности этой большой сферы

[Наташа]

Эх, чувствую, что будет приблизительно так, но не знаю, как доказать.
рисуем из этой самой точки пересечения сферу радиусом расстояния от этой точки до точки пересечения 1й сферы с плоскостью и докаываем что центры всех вписанных сфер лежат на поверхности этой большой сферыхотела стереть-не смогла...-наверно ошиблась...

[Наташа]

решение прям видно из факта, что триугольник образующийся в большой сфере из ее диаметра, секущей и секущей соединяющей оставшиеся 2 точки 3угольника похож с триугольником во вписанном шаре, а они похожи поскольку 2 стороны паралельны и 2а угла одинаковы
https://img.uforum.uz/images/9610859.jpg

[Barbedo]

решение прям видно из факта, что триугольник образующийся в большой сфере из ее диаметра, секущей и секущей соединяющей оставшиеся 2 точки 3угольника похож с триугольником во вписанном шаре, а они похожи поскольку 2 стороны паралельны и 2а угла одинаковы

Наташа, Вы на верном пути.

[Shuhrat Ismailov]

Интересно, помогут ли при решении задачи следующие легкодоказуемые факты?
1) Пусть хорда AB разбивает окружность на две дуги. Окружность касается хорды AB в точке A2 и одной из дуг в точке A1. Тогда прямая A1A2 проходит через середину S второй дуги.
2) Лемма Архимеда. Если окружность вписана в сегмент окружности, стягиваемый хордой AB, и касается дуги в точке А1, а хорды - в точке А2, то прямая А1А2 является биссектрисой угла AA1B.

[Shuhrat Ismailov]

В шаровой сегмент вписан шар, касающийся сферы сегмента в точке А и плоскости сегмента в точке В. Другой вписанный в тот же сегмент шар касается сферы сегмента в точке А' и плоскости сегмента в точке В'. Доказать, что для любых шаров, вписанных в данный сегмент, прямые AB и A'B' пересекаются в общей точке С, лежащей на сфере.
Приведу двумерный аналог этой задачи.
В сегмент вписаны две окружности g1(О1, r1) и g2(О2, r2). Одна из них g1 касается дуги и основания сегмента соответственно в точках А и В, другая g2 – точках С и Д (см. рис). Доказать, что положение точки пересечения прямых АВ и СД не зависит от выбора окружностей g1, g2, вписанных в сегмент.
https://img.uforum.uz/thumbs/853694.jpg (https://img.uforum.uz/images/853694.jpg)

[b_a_lamut]

Эх, чувствую, что будет приблизительно так, но не знаю, как доказать.
рисуем из этой самой точки пересечения сферу радиусом расстояния от этой точки до точки пересечения 1й сферы с плоскостью и докаываем что центры всех вписанных сфер лежат на поверхности этой большой сферыхотела стереть-не смогла...-наверно ошиблась...

Наташа, Вам срочно необходимо зайти на сайт Задачи по геометрии http://geom.uz/. Там есть нерешённые задачи. Есть подсказки и есть готовые решения. Я, например, захожу сразу в готовые решения. Подсказывать мне бесполезно :)

[Shuhrat Ismailov]

Эх, чувствую, что будет приблизительно так, но не знаю, как доказать. :shok: Зато, красиво и на праздник похоже :)

https://img.uforum.uz/images/8755644.jpg

В сегмент окружности вписаны две окружности (смотри рисунок ).
https://img.uforum.uz/images/8917347.jpg
Докажем, что прямые, проходящие через точки касания этих окружностей с дугой сегмента и точки их касания с основанием сегмента (прямые АЕ и BF) пересекаются на большой окружности. Докажем также, что точка пересечения совпадает для любых пар окружностей, вписанных в данный сегмент.
Рассмотрим две гомотетии. Одна из них, с центром А, отображает окружность с центром О1 в окружность с центром О. При этом хорда MN отобразится в касательную большой окружности, проходящую через точку С. Так как точка касания переходит в точку касания, то точка Е отобразится в точку С. Следовательно, Точки А, Е и С лежат на одной прямой. Аналогичная гомотетия с центром в точке В отображает окружность с центром О1 в большую окружность. При этом хорда MN вновь отобразится в ту же касательную. Как и при первой гомотетии, отсюда вытекает, что точки В, F и C лежат на одной прямой.
Таким образом, мы доказали, что интересующие нас прямые пересекаются на большой окружности в точке С. нетрудно видеть, что точка С однозначно определена хордой MN – это точка, через которую проходит касательная к большой окружности, параллельная рассматриваемой хорде.