Касательство

[Barbedo]

Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой.

[Shuhrat Ismailov]

Центр искомой окружности равноудален от данных точек A и B, поэтому он лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
Для построения достаточно рассмотреть все возможные случаи взаимного расположения данной прямой и прямой AB.

[Nadir Zaitov]

Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой. Сейчас думаю - удается ли это сделать гомотетией? Пока нет листка бумаги для подсчетов...

[Nadir Zaitov]

Для построения достаточно рассмотреть все возможные случаи взаимного расположения данной прямой и прямой AB. Если есть алгебраическое представление прямой и точек, то вообще можно выписать уравнение окружности ввиде системы и не париться. Идея ведь сделать это циркулем и линейкой, а в этом случае "рассмотреть все возможные случаи" не правильное действие.

[Shuhrat Ismailov]

"рассмотреть все возможные случаи" не правильное действие.

Верно, случай, когда точки точки A и B лежат на данной прямой, не стоит рассматривать.

[Shuhrat Ismailov]

Без ограничения общности считаем, что A не лежит на M.
Известно, что образ прямой при инверсии есть окружность (или прямая). Причем в случае, когда M* - окружность, при инверсии с центром A искомая окружность перейдет в прямую, проходящую через B* и касающуюся M*. Применим инверсию относительно произвольной окружности с центром A так, чтобы образ M* была окружностью. Проведем через B* касательную l к M*. Еще раз сделаем инверсию. Тогда l перейдет в искомую окружность.

[b_a_lamut]

https://img.uforum.uz/images/4099321.jpg

Эх, думаю, что если прямая лежит на точках, а растояние между точками настолько мало, что им можно пренебречь, а диаметр окружности настолько велик, что выпуклостью и впуклостью, тоже можно пренебречь, то можно построить сразу две окружности на этих точках :shok: Интересно, в математике такое решение допустимо?

[Evgeniy Sklyarevskiy]

1. Строим серединный перпендикуляр, о котором писал Шухрат
2. Выбираем произвольный отрезок R - проводим радиусом R из любой точки, делаем засечку М на перпендикуляре. Исходную линию смещаем на R и находим пересечение Н с перпендикуляром.
3. Делим отрезок МН пополам. Это и будет центром окружности (хотя я в этом сомневаюсь :-0) )

[Shuhrat Ismailov]

Эх, думаю, что если прямая лежит на точках, а растояние между точками настолько мало, что им можно пренебречь, а диаметр окружности настолько велик, что выпуклостью и впуклостью, тоже можно пренебречь, то можно построить сразу две окружности на этих точках Интересно, в математике такое решение допустимо?

Окружность с бесконечным диаметром - прямая. Доказательство через инверсию позволяет и этот случай рассмотреть.

[Shuhrat Ismailov]

Если тoчки A и B распoлoжены пo oдну стoрoну oт даннoй прямoй и удалены oт неё на разные расстoяния, тo задача имеет два решения, если на равные — oднo решение. В oстальных случаях решений нет.
Построение. Стрoим oтрезoк, равный среднему геoметрическoму известных oтрезкoв MB и MA, и oткладываем егo пo разные стoрoны oт тoчки M на даннoй прямoй. Пусть MP — oдин из таких oтрезкoв. Oпишем oкружнoсть oкoлo треугoльника ABP. Эта oкружнoсть — искoмая.
Аналoгичнo для втoрoгo oтрезка.
Могу дать обоснование, основанное на теореме о секущей и касательной.

[Barbedo]

Могу дать обоснование, основанное на теореме о секущей и касательной.
Я решал так же. Оно как-то нагляднее и проще применения инверсии. :)

[Nadir Zaitov]

Если тoчки A и B распoлoжены пo oдну стoрoну oт даннoй прямoй и удалены oт неё на разные расстoяния, тo задача имеет два решения, если на равные — oднo решение. В oстальных случаях решений нет. Построение. Стрoим oтрезoк, равный среднему геoметрическoму известных oтрезкoв MB и MA, и oткладываем егo пo разные стoрoны oт тoчки M на даннoй прямoй. Пусть MP — oдин из таких oтрезкoв. Oпишем oкружнoсть oкoлo треугoльника ABP. Эта oкружнoсть — искoмая. Аналoгичнo для втoрoгo oтрезка. Могу дать обоснование, основанное на теореме о секущей и касательной. Красиво, хотя без чертежа не очень понятно. Да и среднюю геомертическую, я так понимаю, нужно строить на окружности, диаметром которой является большая сторона?

[Shuhrat Ismailov]

Да и среднюю геомертическую, я так понимаю, нужно строить на окружности, диаметром которой является большая сторона?
Нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, тогда высота, восставленная из точки их соединения до пересечения с окружностью даст искомую величину.

[Barbedo]

Красиво, хотя без чертежа не очень понятно.
Продолжим АВ до пресечения с прямой f в точке D, затем за точкой D отложим на продолжении АВ отрезок DB'=BD. Построим окружность на диаметре AB'. Из точки D проведем перпендикуляр к AB' до пересечения с этой окружностью в точке H. Поскольку DH - высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу AB', DH является средним геометрическим между отрезками гипотенузы AD и DB', а значит, и между AD и DB, следовательно отрезок DH равен касательной, проведенной из точки D к искомой окружности. Сделав засечки радиусом DH и с центром в точке D на прямой f, получим две точки касания искомых окружностей С и С' - красной и синей.
https://img.uforum.uz/images/4379030.png
:)

[Shuhrat Ismailov]

Красиво, хотя без чертежа не очень понятно.

А как в сообщениях рисунки вставлять. Я пока только миниатюры научился

[Barbedo]

А как в сообщениях рисунки вставлять. Я пока только миниатюры научился
В окошке ответа нажимаете кнопочку:

https://img.uforum.uz/images/4567814.png

попадаете в окошко:

https://img.uforum.uz/images/4456683.png

с помощью "обзора" указываете файл на своем диске и нажимаете "загрузить картинку", попадаете в окошко:

https://img.uforum.uz/images/5140944.png

копируете строчку нужного кода в ответ, который после вставок картинок выглядит так:

https://img.uforum.uz/images/5630005.png
:187:

[Shuhrat Ismailov]

копируете строчку нужного кода в ответ, который после вставок картинок выглядит так:


https://img.uforum.uz/images/2424656.jpg