Окружность с точками

[Shuhrat Ismailov]

Окружность разбита 2009 красными и 2009 синими точками на 4018 равных дуг. Докажите, что суммарная длина хорд с красными концами равна, суммарной длине хорд с синиими концами.

[Nadir Zaitov]

Шухрат, тут не так много математиков. Подбирайте задачки по-проще, но по-интереснее.

[Shuhrat Ismailov]

Шухрат, тут не так много математиков. Подбирайте задачки по-проще, но по-интереснее.


Ок... Просто решил апробировать задачку для 8-классников....
Больше не буду....

[Barbedo]

Шухрат, тут не так много математиков. Подбирайте задачки по-проще, но по-интереснее.

Странная просьба... Очень интересная задача!

[Nadir Zaitov]

Странная просьба... Очень интересная задача! Задача, а не задачка. Может я не прав но задачи, даже олимпиадные, на сообразительность интереснее тех, что нужно решать длинным и нудным способом или нужно гадать, что заложено в условие задачи, как в этой.

[Shuhrat Ismailov]

Решение. Пусть х - сумма, растояний от одной отмеченной точки до всех остальных. Пусть у - суммарная длина всех красно-синих хорд. Тогда, 2009х — сумма расстояний от красных вершин до всех остальных, в которой каждая красно-красная хорда, была посчитана, ровна два, раза, а каждая красно-синяя ровно один раз, поэтому (2009х — у) есть удвоенная длина, хорд с красными концами. Аналогично, (2009х — у) есть удвоенная длина хорд с синими концами, т.е. их длины равны.