Новости про число Пи

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Почему-то этот ряд неожиданно дает число Пи:

x = x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x)))))))

И рождает несколько вопросов.

Подробности в арбузном блоге http://blog.arbuz.uz/2009/02/15/novosti-pro-chislo-pi/

[Nadir Zaitov]

x=x+sin(x) - это один из древнейших итерационных алгоритмов вычисления числа Пи. Скорость вычисления числа - 2n точных чисел, при n точных числах в предыдущей итерации. Скорость схождения действительно фантастическая.

[Dolphin]

Если начальное значение х задавать 1, 2, 3, 4, 5, 6 - то сходится к Пи. Если задать 6.5, 7, 8, 9 - то сходится к 2*Пи. Если задать х=20, то сходится к 6*Пи. Закономерность не отследил, может, кто-то из читателей установит ее.
Закономерность есть. Если исходное число больше пи менее, чем в 2 раза - получится пи. Если исходное число больше пи более, в 2 раза, но менее, чем в 3 раза - 3 пи.... итд.

[Nadir Zaitov]

Закономерность есть. Если исходное число больше пи менее, чем в 2 раза - получится пи. Если исходное число больше пи более, в 2 раза, но менее, чем в 3 раза - 3 пи.... итд. Тогда почему в окресности 0 Пи не сходится к 0. Я вообще удивлен, что сходится к 2*Пи. Должно сходится к точкам (2n+1)*Пи. Это было бы логично, так как 2n*Пи для x=x+sinx не является устойчивым решением.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

x=x+sin(x) - это один из древнейших итерационных алгоритмов вычисления числа Пи. Скорость вычисления числа - 2n точных чисел, при n точных числах в предыдущей итерации. Скорость схождения действительно фантастическая.

Странно, что я его не знал - хотя копал тему и заюзал почти все алгоритмы вычисления Пи.

[Nadir Zaitov]

Кстати проверил. 6,5, 7, 8, 9 - сходятся к 3*Пи. Очипятка там. И к 6Пи ничего не сходится, а сходится к 7Пи.

[Nadir Zaitov]

Странно, что я его не знал - хотя копал тему и заюзал почти все алгоритмы вычисления Пи. В институте с помощью этого алгоритма находил до 10 тыс. точных знаков. Дальше были проблемы с памятью. Лень было на диски все сбрасывать :) Если найду дома, сброшу Вам программу на Паскале.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Странно, что я его не знал - хотя копал тему и заюзал почти все алгоритмы вычисления Пи. В институте с помощью этого алгоритма находил до 10 тыс. точных знаков. Дальше были проблемы с памятью. Лень было на диски все сбрасывать :) Если найду дома, сброшу Вам программу на Паскале.

А Паскаль откуда брал синус? Вложенная функция тоже через ряды считается?

[Nadir Zaitov]

Вложенная функция тоже через ряды считается? Ряд Тейлора. Считается быстро за счет факториала. Самое сложное было - синус быстро подсчитать. Одна итерация в результате шла до 6 часов. (Пришлось писать самому библиотеку со своей математикой больших чисел)

[Nadir Zaitov]

Обещанное во вложении.

Используется еще более быстрый итерационный алгоритм: x=x+sin(x)+sin(x)^3/6 - дает в 4 раза больше точных знаков (если не больше - должно быть в 8 раз больше - нужно формулу вспомнить) при начальной точности в N знаков.

Заметьте, что синус нужно считать только 1 раз. Доказывалось через разложение arctg(1)=Пи/4, однако уже не помню доказательство. Могу подумать на досуге и дать "следующий член" в разложении для еще более быстрого подсчета Пи.

ЕС, может тему перенести в "Разминку мозгами"?

[Nadir Zaitov]

Евгений Семенович, Вы еще тут? :)
Разобрался и с доказательством и с дальнейшим уточнением формулы. Замучался. Доказательство получилось такое:
Пусть мы имеем число П близкое к Пи. При этом П-Пи=d. Заметим, что sin(d)=sin(П-Пи)=-sin(П).
Далее для "маленьких" d (это и было существенно) d=arcsin(sin(d))=-arcsin(sin(П)).

Далее просто sin(П) можно вычислить, а arcsin заменить урезанным рядом Тейлора для арксинуса (так как d -число "маленькое", то это возможно). Например:

с одним членом ряда Тейлора - arcsin(x)~x - и мы сразу получаем вашу формулу: Пи=П+sin(П); - точность порядка O(d^3);

с двумя членами - arcsin(x)~x+x^3/6 - и мы сразу получаем мою формулу: Пи=П+sin(П)+sin(П)^3/6; - точность порядка O(d^5);

с третим членом - arcsin(x)~x+x^3/6+x^5*3/40 - и мы получаем более продвинутую формулу: Пи=П+sin(П)+sin(П)^3/6+sin(П)*x^5*3/40; - точность порядка O(d^7);

То есть если Вам известны точно 50 первых чисел числа Пи, то в результате 1-й итерации с тремя членами Вы получите точность в 600 знаков после запятой точно... а так около 650 знаков. Третей итерации мне уже не было нужно.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Евгений Семенович, Вы еще тут? :)
Разобрался и с доказательством и с дальнейшим уточнением формулы. Замучался. Доказательство получилось такое:
Пусть мы имеем число П близкое к Пи. При этом П-Пи=d. Заметим, что sin(d)=sin(П-Пи)=-sin(П).
Далее для "маленьких" d (это и было существенно) d=arcsin(sin(d))=-arcsin(sin(П)).

Далее просто sin(П) можно вычислить, а arcsin заменить урезанным рядом Тейлора для арксинуса (так как d -число "маленькое", то это возможно). Например:

с одним членом ряда Тейлора - arcsin(x)~x - и мы сразу получаем вашу формулу: Пи=П+sin(П); - точность порядка O(d^3);

с двумя членами - arcsin(x)~x+x^3/6 - и мы сразу получаем мою формулу: Пи=П+sin(П)+sin(П)^3/6; - точность порядка O(d^5);

с третим членом - arcsin(x)~x+x^3/6+x^5*3/40 - и мы получаем более продвинутую формулу: Пи=П+sin(П)+sin(П)^3/6+sin(П)*x^5*3/40; - точность порядка O(d^7);

То есть если Вам известны точно 50 первых чисел числа Пи, то в результате 1-й итерации с тремя членами Вы получите точность в 600 знаков после запятой точно... а так около 650 знаков. Третей итерации мне уже не было нужно.

Спасибо! очень интересно. можно напишу в Арбузном блоге? а то никто так и не объяснил, откуда берется пи в этом процессе :-)

[Nadir Zaitov]

Конечно можно... с ссылкой на форум было бы приятно и мне :)

[Nadir Zaitov]

Кстати ряд:
x = x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x)))))))
расходится. Вы его проверяли? Сходится такой:
x = x + Sinx + Sin(x + Sin(x + Sin(x)) + Sin(x + sin(x)+Sin(x + Sin(x))), что в сущностия является разложением итераций типа x=x+sin(x). Не сразу заметил очипятку.

[Nadir Zaitov]

расходится. ...млин. Не расходится, сходится не быстрее чем x+sin(x). Проверил не аккуратно.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Написал http://blog.arbuz.uz/2009/02/18/snova-o-chisle-pi/ - спасибо.

[Nadir Zaitov]

Написал http://blog.arbuz.uz/2009/02/18/snova-o-chisle-pi/ - спасибо.
Я поздно обнаружил очипятку тут:
50 первых чисел числа Пи Должно было быть "цифр" или "знаков". Может стоит поправить? Не красиво. И еще - как посмотреть комментарии других в самой теме? Я так понял их там нет.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Написал http://blog.arbuz.uz/2009/02/18/snova-o-chisle-pi/ - спасибо.
Я поздно обнаружил очипятку тут:
50 первых чисел числа Пи Должно было быть "цифр" или "знаков". Может стоит поправить? Не красиво. И еще - как посмотреть комментарии других в самой теме? Я так понял их там нет.

Исправил

комментируют в основном в ЖЖ:
http://sklyarevskiy.livejournal.com/1289830.html

[Shuhrat Ismailov]

Почему-то этот ряд неожиданно дает число Пи:

x = x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x + Sin(x)))))))

И рождает несколько вопросов.

Подробности в арбузном блоге http://blog.arbuz.uz/2009/02/15/novosti-pro-chislo-pi/

А вот еще один факт: Биллиардная система для числа Пи.
О ней в 2000 году мне сообщил Гриша Гальперин в приватной беседе...
Затем я нашел публикацию.
Цитирую:

"ПРОЦЕДУРА. ПОЛОЖИМ на положительную числовую полуось х => 0 два биллиардных шарика с массами m и М > m, и будем предполагать, что в начале координат х = 0 расположена абсолютно упругая стенка, отражающая налетающий на нее шарик. При отражении от стенки скорость шарика меняется на строго противоположную. Размеры шариков несущественны, и для простоты мы будем считать их точечными частицами.
Фиксируем натуральное число N. Следующая процедура позволяет опреде¬лить любое наперед заданное количество N последовательных цифр числа Pi:
(1) Массы т и М подбираем так, что М/m = 100^N;
(2) Шар т располагаем между стенкой х = 0 и шаром М;
(3) Запускаем шар М в сторону шара т с произвольной скоростью;
(4) Подсчитываем общее количество ударов в системе (т. е. число столкновений между шарами плюс число отражений шара m от стенки);
(5) Записываем полученное число в десятичной системе и обозначаем его через Pi(N).
ТЕОРЕМА. А) Число ударов в описанной динамической системе всегда конечно и не зависит от начальных положений шариков и начальной скорости шара М.
Б) Число Pi(N) ударов в системе равно 314159265358979323.... (1)
(N десятичных знаков Pi).

Удивительный подход, основанный на сведении системы к биллиардной в угле arctan(100^N).

[Shuhrat Ismailov]

см. http://offline.computerra.ru/offline/2003/492/26870/page2.html

[Evgeniy Sklyarevskiy]

см. http://offline.computerra.ru/offline/2003/492/26870/page2.html

В «Зоне Пи» на Арбузе есть еще статьи про число Пи и два клуба числа Пи, там много неожиданных проявлений Пи.

[Shuhrat Ismailov]

C разрешения ЕС выкладываем сведения про число Пи, которых нет в зоне Пи на сайте ЕС
http://www.arbuz.uz/x_pi.html
Прислали инфу про метод нахождения Пи от Хонаса Кастильо Толосы из Колумбии.
Он использует в знаменателях членов следующего ряда
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\pi&space;=2+\frac{1}{1}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{10}&space;+&space;\frac{1}{15}&space;+&space;\frac{1}{21}\ldots
треугольные числа.
Напомню, что треугольными числами называются числа вида http://latex.codecogs.com/gif.latex?T_{n}=\frac{n(n+1)}{2}. Это название связано с тем, что http://latex.codecogs.com/gif.latex?T_{n} равно числу кругов в правильном треугольнике, сторона которого содержит http://latex.codecogs.com/gif.latex?n кругов (cм. рис.)
https://img.uforum.uz/images/wflartb9810721.png
Доказательство простое, я его не привожу, ибо не тот раздел. Предлагаю просчитать на компе

[Nadir Zaitov]

Доказательство простое, я его не привожу, ибо не тот раздел.Действительно - не в том разделе открыли.

[Djalolatdin Rakhimov]

Доказательство простое, я его не привожу, ибо не тот раздел.Действительно - не в том разделе открыли.

Забанить? :)

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Забанить? Перенесите плз в Мозговую разминку, там более в тему, пообсуждаем.

[Nadir Zaitov]

Доказательство простоеА на чем основывается?
Или это тупо нужно ряд посчитать?

[Shuhrat Ismailov]

Доказательство простоеА на чем основывается?
Или это тупо нужно ряд посчитать?
Идея следующая.
Пусть А — сумма слагаемых, стоящих на нечетных местах и В — сумма всех остальных слагаемых.
Потом А раскладывается в сумму двух рядов, первый из которых суть ряд Маклорена для -ln(x+1) при x=1 (т.е. равен -ln(2), а второй - удвоенный ряд Лейбница со значением Пи/2, стало быть А=Пи/2-ln(2).
Аналогично В раскладывается в сумму двух рядов, первый из которых равен ln(2), а второй равен Пи/2-2. Стало быть В=ln(2)+Пи/2-2.
В итоге получаем А+В=Пи

[Nadir Zaitov]

В итоге получаем А+В=ПиЧестно говоря ряд порядка 1/(n^2) - весьма медленно сходится. Более быстрые алгоритмы мы с ЕС описывали тут (http://uforum.uz/showthread.php?t=7919).

[Shuhrat Ismailov]

Более быстрые алгоритмы мы с ЕС описывали тут.
Давайте тему туда перенесем

[Nadir Zaitov]

Более быстрые алгоритмы мы с ЕС описывали тут.
Давайте тему туда перенесем
Я не могу. Нужно попросить супермодераторов или администраторов.

Вот адрес темы куда переносить: http://uforum.uz/showthread.php?t=7919

[Timur Salikhov]

Вот адрес темы куда переносить: http://uforum.uz/showthread.php?t=7919
Обращение к модераторам: Перенесите плз в Мозговую разминку, там более в тему, пообсуждаем.
Оффтоп: ЕС, может тему перенести в "Разминку мозгами"?
Вы определитесь уже куда и что переносить :))) тема изначально была там, ЕС просил перенести в разминку, теперь просите обратно.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Сейчас в правильном разделе как мне кажется

[Nadir Zaitov]

Сейчас в правильном разделе как мне кажетсяСогласен.

Вы определитесь уже куда и что переносить )) тема изначально была там, ЕС просил перенести в разминку, теперь просите обратно.


Я думал та тема (http://uforum.uz/showthread.php?t=7919) тоже в Разминке для мозгов. Удивился, узнав, что она была в разделе ЕС.
Предлагаю ее перенести в "Разминку для мозгов" и объединить с этой. Получилось, что 2 темы об одном и том же в принципе.

[Timur Salikhov]

Предлагаю ее перенести в "Разминку для мозгов" и объединить с этой. Сделано.

[Shuhrat Ismailov]

Разделим длину реки на расстояние по прямой от ее истока до устья. Полу-
чим величину, которая характеризует извилистость реки (чем более извилистая река, тем больше это отношение). Утверждается, что если
взять среднее значение этой величины по большому количеству рек, то оно окажется примерно равным 3,14! И чем больше рек включено в это вы-
числение, тем равенство точнее.
Кто возьмется проверить?

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Кто возьмется проверить? Получается, что реки в среднем текут по полукругу! :-0)))

[Nadir Zaitov]

Получается, что реки в среднем текут по полукругу! :-0)))Явно не правильно. В лучшем случае Пи пополам должно было бы быть (длинна полуокружности на диаметр).
Разделим длину реки на расстояние по прямой от ее истока до устья. Получим величину, которая характеризует извилистость реки (чем более извилистая река, тем больше это отношение). Утверждается, что если
взять среднее значение этой величины по большому количеству рек, то оно окажется примерно равным 3,14! И чем больше рек включено в это вы-
числение, тем равенство точнее.
Кто возьмется проверить?С ходу я. даже если соединим концы по хорде, проходящей через тело планеты, то у нас нет рек, огибающих полушарие, при этом большинство крупных рек течет "почти по прямой", а Пи предполагает что кусочно реки льются по полуокружности для (пи/2) или почти по полной окружности (для Пи) что явно не так. Большинство сибирских рек почти прямолинейны на крупных участках. Кривизна "горных рек" редко приводит к поворотам на 180 градусов даже для получения кусочно картинки для пи/2.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Учитывая, что реки текут произвольным образом можно утверждать эту гипотезу о множестве кривых линий (или ломаных), проведенных между двумя точками.

[Nadir Zaitov]

Учитывая, что реки текут произвольным образом можно утверждать эту гипотезу о множестве кривых линий (или ломаных), проведенных между двумя точками.Не-а.

[Shuhrat Ismailov]

Это утверждение приведено в брошюре "Математический клуб «Кенгуру»
Выпуск № 11 (9-10 классы). " , подготовленный Институтом продуктивного обучения и Центром технологии тестирования «Кенгуру-Плюс».
Санкт-Петербург, 2005 г.
Я тоже не поверил и поэтому попросил проверить

[Shuhrat Ismailov]

Нашел в книге Simon Singh. Fermat's Enigma.
http://www.amazon.com/Fermats-Enigma-Greatest-Mathematical-Problem/dp/0385493622
это:
"Professor Hans-Henrik Stolum, an earth scientist at Cambridge University has calculated the ratio between teh actual length of rivers from source to mouth and their direct length as the crow flies. Although the ratio varies from river to river, the average value is slightly greater than 3, that is to say that the actual length is roughly three times greater than the direct distance. In fact the ratio is approximately 3.14, which is close to the value of the number pi... The ratio of pi is most commonly found for rivers flowing across very gently sloping planes, such as those found in Brazil or the Siberian tundra."

Перевод: Professor Hans-Henrik Stolum, ученый-географ из Кембриджского университета подсчитал соотношение между фактической длиной реки от истока до устья и прямолинейную длину по прямой. Хотя соотношение варьируется от реки к реке, среднее значение чуть больше 3, то есть фактическая длина примерно в три раза больше, чем по прямой. На самом деле это соотношение составляет примерно 3,14, что близко к значению числа пи ... Отношение, равное числу пи наиболее часто встречаются в реках, впадающих по очень пологой плоскости, например, в Бразилии или сибирской тундре.

Автор Simon Singh и книга солидные , имеют большой индекс цитируемости, не думаю, что есть ошибка. По-моемому, нужно учитывать кривизну Земли.

[Nadir Zaitov]

Это утверждение приведено в брошюре "Математический клуб «Кенгуру» Явная глупость. Видимо прикололись.

[Nadir Zaitov]

Автор Simon Singh и книга солидные , имеют большой индекс цитируемости, не думаю, что есть ошибка. По-моемому, нужно учитывать кривизну Земли.Видимо для отдельной реки это случайность, а не общее правило.

[Shuhrat Ismailov]

Пистолет — юбилей известной константы;
Пижон — многоженец, у которого количество жен равно пи;
Питон — разновидность тритона;
Пирог — волшебный зверь, приравниваемый к 3,14... едино-
рогам;
Пиастры — осенние цветы с количеством лепестков от 3 до 4;

[Nadir Zaitov]

Пианист - не менее, чем трижды рукоблуд.

[Shuhrat Ismailov]

https://img.uforum.uz/images/mesmrsa2295922.jpg - пиво!

https://img.uforum.uz/images/hbzcubn3741421.jpg дорожная разметка перед пивной

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Пирожное - более чем три рожи
Пикапер - магистр Йода, снявший 3,14 тёлки
Пилюли - определенное количество люлей :-0)

[Nadir Zaitov]

Пикапер - магистр Йода, снявший 3,14 тёлкиЧуть больше трех пиратов на службе у отечества :)

[infoliokrat]

Видимо прикололись.
А до какого знака есть хоть какой-то смысл (физический, натуралистический, субъективный, а не абстрактно-математический) вычислять эту мировую КОНСТАНТУ? Ведь даже правильный 256-угольник можно кругом считать. тем более что идеальных кругов в мире даже нет.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

А до какого знака есть хоть какой-то смысл (физический, натуралистический, субъективный, а не абстрактно-математический) вычислять эту мировую КОНСТАНТУ? Ведь даже правильный 256-угольник можно кругом считать. тем более что идеальных кругов в мире даже нет. Мне кажется надо столько знаков, чтобы при полете на Луну ошибиться не более, чем на 10 метров.

[BeliOn]

А сколько для этого знаков надо?

[Vitaliy Fioktistov]

А до какого знака есть хоть какой-то смысл (физический, натуралистический, субъективный, а не абстрактно-математический) вычислять эту мировую КОНСТАНТУ? Ведь даже правильный 256-угольник можно кругом считать. тем более что идеальных кругов в мире даже нет. Мне кажется надо столько знаков, чтобы при полете на Луну ошибиться не более, чем на 10 метров.

А почему не к Юпитеру и не на 50 метров?

[Nadir Zaitov]

А почему не к Юпитеру и не на 50 метров?А почему не к другой галактике и точность 2 метра? Короче спор выеденного яйца не стоит. Пи, кстати, можно использовать как "генератор случайных" чисел и тогда нужно цифр чем больше тем лучше.

[BeliOn]

Можно и для другой галактике, если у вас есть такие данные. Но для луны мне вполне хватит, раз уж о ней первой заговорили.)

[infoliokrat]

Пи, кстати, можно использовать как "генератор случайных" чисел и тогда нужно цифр чем больше тем лучше.
А есть и утверждения, что в ПИ числе возможна любая комбинация цифр, что там содержится (в зашифрованном виде) любая информация и т.п. Да и сам я в это почти поверил, так как на разных форумах мне по-разному (от математически двоично-логично до командно-матерно убедительно объясняли и объясняют, что после ЗПТ может быть ЛЮБАЯ комбинация цифр в подобных числах). Но с тем, что брать (вычислять) такое количество цифр, которое самый мощный комп в н/вр не вычислит в течение Фсей жизни (средней) человека- что-то мне не очень охота согласиться-соглашаться. Вот для куражу, чтобы "переплюнуть всех" - это понятно...

[Nadir Zaitov]

Да и сам я в это почти поверил, так как на разных форумах мне по-разному (от математически двоично-логично до командно-матерно убедительно объясняли и объясняют, что после ЗПТ может быть ЛЮБАЯ комбинация цифр в подобных числах). Это не так. Вот вам задачка, чтоб сохранить ясность ума. Допустим возьмем такое рациональное число как 1/9. В десятичной записи оно выглядит так: 0,111111....
Теперь создадим такую последовательность рациональных чисел {A(N)}:

А(0)=0,111111111111111...
А(1)=0,101111111111111...
А(2)=0,101101111111111...
A(3)=0,101101110111111...
A(4)=0,101101110111101...

Т.е. в последовательности на для N того числа на месте отстоящим вправо на N+1 месте от последнего нуля в десятичной записи N-1-го числа в запись вставляется нолик. (кстати - хорошая задачка - написать итеративную функцию по определению A(N) по A(N-1)).

Докажите, что предельное число:

1. Предел последовательности {A(n)} существует (на самом деле она очень быстро сходится). Допустим это число A'.

2. A' - иррационально.

3. В десятичной записи A' не встречается никакая другая комбинация цифр, кроме огромного количества единиц с некоторым количеством нулей, причем чем больше единиц, тем меньше в последовательности нулей (в относительном показателе), причем для длинных чисел этот показатель стремится к нулю, хотя нулей в десятичной записи безусловно бесконечное множество.
Но с тем, что брать (вычислять) такое количество цифр, которое самый мощный комп в н/вр не вычислит в течение Фсей жизни (средней) человека- что-то мне не очень охота согласиться-соглашаться.А там нужны по 256 бит части, а их как раз не так много нужно...

[JH]

Пикапер - магистр Йода, снявший 3,14 тёлкиПикапер - магистр Йода, которому отрезали 0.14

[Наташа]

а еще можно посчитать любой знак числа Пи не вычисляя предыдущие:)

[Evgeniy Sklyarevskiy]

а еще можно посчитать любой знак числа Пи не вычисляя предыдущие Не знал, спасибо. Интересно, как это делается?

[Nadir Zaitov]

а еще можно посчитать любой знак числа Пи не вычисляя предыдущие Не знал, спасибо. Интересно, как это делается?
Говорите как - я не знал.
Надеюсь трудоемкость не превысит вычисление всех предыдущих знаков, а то "спасибо" поменяю на антиспасибо и буду долго ругаться.

[Vitaliy Fioktistov]

а еще можно посчитать любой знак числа Пи не вычисляя предыдущие Не знал, спасибо.
Вы не знаете, что копипаститео чем пишете? http://arbuz.uz/u_piclub.html

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Вы не знаете, что копипаститео чем пишете? http://arbuz.uz/u_piclub.html Там нет про не вычисляя предыдущие пришлось читать весь этот бред :-0)

Кстати, я настаиваю на Луне и 10 метрах :-0)

[Shuhrat Ismailov]

Вы не знаете, что копипаститео чем пишете? http://arbuz.uz/u_piclub.html
там вроде о другом написано

[Vitaliy Fioktistov]

Вы не знаете, что копипаститео чем пишете? http://arbuz.uz/u_piclub.html
там вроде о другом написано

Второй сверху:
И, если верить работе американского физика Дэвида Бейли и канадских математиков Питера Борвина и Саймона Плофе (David Bailey, Peter Borewin, Simon Plouffe), таких повторений найдено никогда и не будет. Доказали они это просто: составили компьютерную программу, которая вычисляет любой знак в числе Пи почти ничего не зная... о знаках предыдущих. Достижение, считавшееся до сих пор невозможным (Пи представляет собой отношение длины окружности к ее диаметру и допускает вычисление себя со сколь угодно большой точностью — но начать все же нужно с самого первого знака после запятой), стало реальностью благодаря применению теории хаоса: в ней существует предположение, что в нормальных числах одни числовые последовательности неким образом зависят от соседних с ними чисел (т. н. Гипотеза А).

Третий сверху:
Как считает Дэвид Бэйли из Национальной лаборатории Лоуренс Беркли в США, нормальность некоторых математических констант связана с гипотезами из области хаотической динамики. Одна из них, так называемая "гипотеза А", утверждает, что последовательность чисел определенного вида "пляшет" между двумя другими числами. Бэйли и его канадские коллеги - математики Питер Борвин и Саймон Плуфф написали компьютерную программу, вычисляющую произвольную цифру числа "пи", не вычисляя предыдущие, - раньше это считалось невозможным.

[Nadir Zaitov]

Да... но где алгоритм?

[Shuhrat Ismailov]

Да... но где алгоритм?
Нашел. Основан на формуле Бэйли — Боруэйна — Плаффа (Bailey–Borwein–Plouffe formula (http://en.wikipedia.org/wiki/Bailey–Borwein–Plouffe_formula)):
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/math/4/2/c/42c087cc88d2d26016a1a4dbda0171fb.png
В английской википедии написано следующее
The discovery of this formula came as a surprise. For centuries it had been assumed that there was no way to compute the nth digit of Pi without calculating all of the preceding n − 1 digits.
Перевод:
Открытие этой формулы стало неожиданностью. На протяжении веков считалось, что не было никакой возможности для вычисления n-й цифры Pi без вычисления всех предыдущих n - 1 цифр

И еще. Я чувствовал, что без модулярной арифметики не обойтись. Кажется, я не ошибся.
Осталось проанализировать вычислительные особенности алгоритма, чтобы Надир не ругался

[Vitaliy Fioktistov]

Да... но где алгоритм?

Вот, нарылось:

From: Simon Plouffe
Newsgroups: sci.math
Subject: The 40 billion'th binary digit of Pi is 1
Date: 5 Oct 1995 23:20:57 GMT
Organization: CECM


THE TEN BILLIONTH HEXADECIMAL DIGIT of Pi is 9

By: Simon Plouffe, Peter Borwein and David Bailey.

The following is part of a paper titled "On The Rapid Computation of
Various Polylogarithmic Constants". The full text, as well as
Fortran code, is available in

http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/

as P123 under the link "Computing Pi and Related Matters".

ABSTRACT:

We give algorithms for the computation of the d-th digit of certain
transcendental numbers in various bases. These algorithms can be
easily implemented (multiple precision arithmetic is not needed),
require virtually no memory, and feature run times that scale nearly
linearly with the order of the digit desired. They make it feasible to
compute, for example, the billionth binary digit of log(2) or pi on a
modest work station in a few days run time.

Indeed we computed the 10 billionth hexadeximal digit of pi as well as
the billionth hexadecimal digits of pi^2, log(2) and log^2(2), the
billionth decimal digit of log (9/10) and the five billionth decimal
digit of log(1 - 10^{-96}).


These calculations rest on three observations. First, the d-th digit
of 1/n is "easy" to compute. Secondly, this scheme extends to
certain polylogarithm and arctangent series. Thirdly, very special
types of identities exist for certain numbers like pi, pi^2, log(2) and
log^2(2). These are essentially polylogarithmic ladders in an integer
base. A number of these identities that we derive in this work appear
to be new, for example the critical identity for the binary digits of
pi is:



infinity
-----
\ -n / 4 2 1 1 \
pi = ) 16 | ------- - ------- - ------- - ------- |
/ \ 8 n + 1 8 n + 4 8 n + 5 8 n + 6 /
-----
n = 0

################################################## ######################

Various strings of output are given below. The fourth entry, for
example, gives the 10^10-th through 10^10+13-th hexadecimal digits of
pi after the "decimal" point. Converting this to base two gives the
folowing string of binary "digits" of pi starting at the 40 billionth
place:

10010010000111000111001111000110100000111000111110 110010...


CONSTANT: BASE: POSITION: DIGITS FROM POSITION:

pi 16 10^6 26C65E52CB4593
10^7 17AF5863EFED8D
10^8 ECB840E21926EC
10^9 85895585A0428B
10^10 921C73C6838FB2


log(2) 16 10^6 418489A9406EC9
10^7 815F479E2B9102
10^8 E648F40940E13E
10^9 B1EEF1252297EC


pi^2 16 10^6 685554E1228505
10^7 9862837AD8AABF
10^8 4861AAF8F861BE
10^9 437A2BA4A13591

log^2(2) 16 10^6 2EC7EDB82B2DF7
10^7 33374B47882B32
10^8 3F55150F1AB3DC
10^9 8BA7C885CEFCE8


log(9/10) 10 10^6 80174212190900
10^7 21093001236414
10^8 01309302330968
10^9 44066397959215


=============


/* This program employs the recently discovered digit extraction scheme
to produce hex digits of pi. This code is valid up to ic = 2^24 on
systems with IEEE arithmetic. */

/* David H. Bailey 960429 */

#include < stdio.h >
#include < math.h >

main()
{
double pid, s1, s2, s3, s4;
double series (int m, int n);
void ihex (double x, int m, char c[]);
int ic = 1000000;
#define NHX 16
char chx[NHX];

/* ic is the hex digit position -- output begins at position ic + 1. */

s1 = series (1, ic);
s2 = series (4, ic);
s3 = series (5, ic);
s4 = series (6, ic);
pid = 4. * s1 - 2. * s2 - s3 - s4;
pid = pid - (int) pid + 1.;
ihex (pid, NHX, chx);
printf ("Pi hex digit computation\n");
printf ("position = %i + 1\n %20.15f\n %12.12s\n", ic, pid, chx);
}

void ihex (double x, int nhx, char chx[])

/* This returns, in chx, the first nhx hex digits of the fraction of x.
*/

{
int i;
double y;
char hx[] = "0123456789ABCDEF";

y = fabs (x);

for (i = 0; i < nhx; i++){
y = 16. * (y - floor (y));
chx[i] = hx[(int) y];
}
}

double series (int m, int ic)

/* This routine evaluates the series sum_k 16^(ic-k)/(8*k+m)
using the modular exponentiation technique. */

{
int k;
double ak, eps, p, s, t;
double expm (double x, double y);
#define eps 1e-17

s = 0.;

/* Sum the series up to ic. */

for (k = 0; k < ic; k++){
ak = 8 * k + m;
p = ic - k;
t = expm (p, ak);
s = s + t / ak;
s = s - (int) s;
}

/* Compute a few terms where k >= ic. */

for (k = ic; k <= ic + 100; k++){
ak = 8 * k + m;
t = pow (16., (double) (ic - k)) / ak;
if (t < eps) break;
s = s + t;
s = s - (int) s;
}
return s;
}

double expm (double p, double ak)

/* expm = 16^p mod ak. This routine uses the left-to-right binary
exponentiation scheme. It is valid for ak <= 2^24. */

{
int i, j;
double p1, pt, r;
#define ntp 25
static double tp[ntp];
static int tp1 = 0;

/* If this is the first call to expm, fill the power of two table tp. */

if (tp1 == 0) {
tp1 = 1;
tp[0] = 1.;

for (i = 1; i < ntp; i++) tp[i] = 2. * tp[i-1];
}

if (ak == 1.) return 0.;

/* Find the greatest power of two less than or equal to p. */

for (i = 0; i < ntp; i++) if (tp[i] > p) break;

pt = tp[i-1];
p1 = p;
r = 1.;

/* Perform binary exponentiation algorithm modulo ak. */

for (j = 1; j <= i; j++){
if (p1 >= pt){
r = 16. * r;
r = r - (int) (r / ak) * ak;
p1 = p1 - pt;
}
pt = 0.5 * pt;
if (pt >= 1.){
r = r * r;
r = r - (int) (r / ak) * ak;
}
}

return r;
}

[infoliokrat]

Вот, нарылось:
"Прошу простіть велікодушно", ВОПРОСОВ тоже ТРИ нарылось?
1. информационный: как ВАС и спрашивали: а по времени это конкурирует каким образом? (с вычислением и БЕЗ вычисления предыдущих? Я на своем не проверю.... )
2. Если не затруднит, ТО ВАШЕ лично мнение какое? Сколько шт. цифр числа ПИ "не для куражу надо вычислять?"
3. С учетом непоколебимости уверенности (пока), что "защита информации" требует... макс. числа знаков- какого именно? (чтобы комп всю жизнь считал? Этоже ТОЖЕ будет конечное число...)

[infoliokrat]

после ЗПТ может быть ЛЮБАЯ комбинация цифр в подобных числах). Это не так. Вот вам задачка, чтоб сохранить ясность ума. Допустим...
Уточните, что "Это не так":
1. Это= ЛЮБАЯ комбинация цифр
2. не = не СОВСЕМ (до какого количества цифр ОДИНАКОВЫХ подряд ТАК?)
3. ТАК = а как именно не так?
(информационно=субъективно=объективно?) Для НЕ всех систем счисления, по вашему СУБЪЕКТИВНОМУ взгляду, по объективным ограничениям (времени, ВСЕЛЕНСКОНАТУРАЛЬНЫМ параметрам, по НЕТИЗВЕСТНЫМ пока причинам?)
Что касается, задачка, чтоб сохранить ясность ума. - то в данной теме данная задачка ОНА приотодвинута, отодвинута (задвинута на периферию) ДАННЫМ Наташей сообщением :можно посчитать любой знак числа Пи не вычисляя предыдущие
поэтому УТАЩУ ка ЕЁ
(Задачку только!) к себе (в свою тему, о расходимости ГР)

Сообщение от Наташа http://uforum.uz/images/buttons/viewpost.gif (http://uforum.uz/showthread.php?p=696156#post696156)
а еще можно посчитать любой знак числа Пи не вычисляя предыдущие
Не знал, спасибо. Интересно, как это..

[Nabiev Toirkhoja]

Число Пи в пикселах (http://habrahabr.ru/post/142830/#habracut)
http://habrastorage.org/storage2/930/edf/1cc/930edf1cc18a22eaec698ebb8b57cf7d.jpg

Дизайн-студия TWO-N сгенерировала гипнотическое изображение (http://two-n.com/pi/), где пикселами закодированы четыре миллиона цифр после запятой в числе Пи. Математическую константу ещё никто не записывал таким образом.

http://habrastorage.org/storage2/fc5/ce7/0c4/fc5ce70c4f1554bc49ac9fc03fd1b431.png

В апплете TWO-N закодировано четыре миллиона первых знаков после запятой. Картинка масштабируется, можно посмотреть легенду с цифрами. Есть поиск произвольных последовательностей.

http://habrastorage.org/storage2/9c9/363/fc2/9c9363fc2f604fa649a86c0d4bef45b8.png
Кстати, студия TWO-N продаёт цветные плакаты с первым миллионом пикселов — оказывается, на числе Пи можно даже зарабатывать.

[infoliokrat]

закодировано четыре миллиона первых знаков после запятой
Причина возврата к теме по ИКС ТРОЙНАЯ (но если будут "минусы" за ее подъем- ведь тут принято малозначимые посты ... не обужусь):
1. абстрактная- раз 4 000 000 цифр, то это явно больше чем ГУГОЛ, так может и инфолиогуголплекс можно просчитать!!
2. субъективная - красиво и своеобразно: ПИ в пикселах..
3. объективно - вычисление ЛЮБОЙ цифры сразу - классно (мне особенно интересно, какая по счету цифра требуется для ПИ при окружности ВСЕЛЕНСКОНАТУРАЛЬНОЙ)

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Дизайн-студия TWO-N сгенерировала гипнотическое изображение, где пикселами закодированы четыре миллиона цифр после запятой в числе Пи. Математическую константу ещё никто не записывал таким образом. Слабость подобных картинок (а я тоже когда-то рисовал их) в том, что они критично зависят от количества цифр/пикселей/квадратиков в строке — при определенном числе случайный хаос ПИ складывается в фантастический узор с посланием землянам из Космоса. Ищите и обрящете.

[infoliokrat]

Слабость подобных картинок (а я тоже когда-то рисовал их) в том, что они критично зависят от количества цифр/пикселей/квадратиков в строке...
а сила их же, вероятно в том, что можно наглядно в той или иной степени сравнить со своим представлением о числе ПИ.
На мой взгляд можно привести такую аналогию: стрелочная и цифровая индикация в обыкновенных часах. (при стрелочной индикации "легче" представить сколько времени осталось до "круглого" мысленно выбранного часа).

[Shuhrat Ismailov]

Космический смысл числа П
https://img.uforum.uz/images/ipgmwzz6131425.gif
https://img.uforum.uz/images/vzbsjza9123904.gif