Дела треугольные

[Barbedo]

В равносторонний треугольник со стороной а вписана окружность. На окружности отмечена произвольная точка. Чему равна сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до данной точки?
:)

[Erkin Kuchkarov]

Вот же что человека интересует...

[Nadir Zaitov]

Вот же что человека интересует... "Требование" DJ переносить все задачи в отдельные темы. Смотрите теперь рубрику! А что вы ожидали увидеть? Вверх направленный треугольник или вниз или сразу Давидову звезду?

[b_a_lamut]

В равносторонний треугольник со стороной а вписана окружность. На окружности отмечена произвольная точка. Чему равна сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до данной точки?
:)

Думаю, что если из двух вершин опустить перпендикуляры на противоположные стороны треугольника, то расстояние от точки пересечения этих перпендикуляров до любой из вершин возвести в квадрат и умножить на три, то найдём то, что ищем :)

[Barbedo]

Вот же что человека интересует...
А разве есть что-то более увлекательное в этом мире? :)

[Barbedo]

Думаю, что если из двух вершин опустить перпендикуляры на противоположные стороны треугольника, то расстояние от точки пересечения этих перпендикуляров до любой из вершин возвести в квадрат и умножить на три, то найдём то, что ищем :)
Склонен не согласиться с Вами, коллега. :)
если не думая - то 2a^2
И с Вами. :)

[Barbedo]

Вот же что человека интересует... "Требование" DJ переносить все задачи в отдельные темы. Смотрите теперь рубрику! А что вы ожидали увидеть? Вверх направленный треугольник или вниз или сразу Давидову звезду?
Дисциплина прежде всего. :buba:

[b_a_lamut]

Склонен не согласиться с Вами, коллега.

с Наступающим! :)
Вот, что нас учёных объединяет, так это то, что одни из нас отстаивают свои заблуждения, другие с этими заблуждениями не соглашаются :)

Не настаиваю :)

[Barbedo]

с Наступающим! :)

:drinks:

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Дисциплина прежде всего. :buba:

С Надиром и Баламутом не согласился.... а с ДЖ сразу... каааанечно.... ;-)

[Barbedo]

Дисциплина прежде всего. :buba:

С Надиром и Баламутом не согласился.... а с ДЖ сразу... каааанечно.... ;-)
А кто это - ДЖ ?

[b_a_lamut]

А кто это - ДЖ ?

Темнота, начальство нужно знать в лицо :buba:

[Evgeniy Sklyarevskiy]

5а^2/4 ?????

[b_a_lamut]

В равносторонний треугольник со стороной а вписана окружность. На окружности отмечена произвольная точка. Чему равна сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до данной точки?
:)

Если предположить, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до произвольно взятой точки на окружности - величина постоянная, то точка, лежащая на окружности в месте касания треугольника с окружностью будет равна сумме квадратов высоты треугольника и двух половинок стороны (a), т.е., (h) в квадрате, плюс (1/2а) в квадрате, плюс (1/2a) в квадрате :shok:

[b_a_lamut]

В равносторонний треугольник со стороной а вписана окружность. На окружности отмечена произвольная точка. Чему равна сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до данной точки?
:)

Если предположить, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до произвольно взятой точки на окружности - величина постоянная, то точка, лежащая на окружности в месте касания треугольника с окружностью будет равна сумме квадратов высоты треугольника и двух половинок стороны (a), т.е., (h) в квадрате, плюс (1/2а) в квадрате, плюс (1/2a) в квадрате :shok:

Эх, конечно же не точка будет равна всему тому, что я наговорил, а сумма квадратов расстояний от вершин до любой точки на окружности, если, конечно, кто-то докажет, что эта величина постоянная для данного условия :)

[Barbedo]

А кто это - ДЖ ?

Темнота, начальство нужно знать в лицо :buba:

Над геометрией нет начальства :biggrin:

[Barbedo]

5а^2/4 ?????
Решение в студию! :)

[Barbedo]

Эх, конечно же не точка будет равна всему тому, что я наговорил, а сумма квадратов расстояний от вершин до любой точки на окружности, если, конечно, кто-то докажет, что эта величина постоянная для данного условия :)
Именно это и требуется доказать по ходу решения :)

[Evgeniy Sklyarevskiy]

5а^2/4 ?????
Решение в студию! :)

Я рассуждал так - раз от выбранной точки ответ не зависит - значит можно выбирать любую точку - я выбрал точку касания :-)
Считается элементарно - две половинки сторон + медиана-высота-биссектриса :-)

Конечно это слегка халтура - надо решить для общего случАя...

[Nadir Zaitov]

Склонен не согласиться с Вами, коллега. :)
если не думая - то 2a^2
И с Вами. :)Ну да. Ошибочка. Не думая в уме 3/4 принял за 3/2. Ответ "1 1/4 а^2" глубоко не думая.
Возьмем произвольную точку. Если сумма квадратов расстояний - константа, то выберем точку касания треуголника и вписанной окружности - тогда все решается легко: (a/2)^2+(a/2)^2+(a)^2-(a/2)^2. Получается 1 1/4 а^2.

[Nadir Zaitov]

Кстати, то, что расстояние до окружности - константа, я думаю доказывать не трудно в рамках аналитической геометрии.
Решение нужно, или можно пропустить?

[Nadir Zaitov]

Кстати, то, что расстояние до окружности - константа, я думаю доказывать не трудно в рамках аналитической геометрии.
Решение нужно, или можно пропустить?
Всеж решился.
Нудновато, на то пардон!
Для начала начертим три точки равнобедренного треугольника (c центром в начале координат и одним углом строго вверх - "фалический символ древних иудеев"):
(x1,y1)=(0,1);
(x2,y2)=(cos 30, -sin 30);
(x3,y3=(-cos 30, -sin 30)

стразу заметим, что x1+x2+x3=0; y1+y2+y3=0; xi^2+yi^2=1

Найдем множество точек, равноудаленных от трех данных:

(x-x1)^2+(x-x2)^2+(x-x3)^2+(y-y1)^2+(y-y2)^2+(y-y3)^2=С, где С- некоторая константа.

Раскрываем скобки и приводим подобные:

3x^2+2(x1+x2+x3)x+(x1^2+x2^2+x3^2)+3y^2+2(y1+y2+y3 )y+(y1^2+y2^2+y3^2)=С

Вспоминая некоторые свойства данного треугольника получаем:
3x^2+3y^2+3=С, или а это уранение x^2+y^2=D - уравнение окружности с центром в центре треугольника (в начале координат).

А значит дальше достаточно решить задачу в частном случае, что мы со Скляревским и сделали.

[Barbedo]

[quote=Nadir Zaitov;166469]
Всеж решился.

Красиво получилось! Спасибо!:)
Подождем, может, кто с помощью элементарной геометрии решит?

[Nadir Zaitov]

Красиво получилось! Спасибо! Подождем, может, кто с помощью элементарной геометрии решит? Зато общо. Теперь и 2a^2 точно расстояние до любой точки описанной вокруг равностороннего треугольника.

[Nadir Zaitov]

Нашел в разделе треугольники на сайте у Barbedo (http://geom.uz)
Построить треугольник по стороне а, медиане m и радиусу R описанной окружности. Простая задачка на построение. У меня получилось аж 2 зеркалных друг-другу треуголтника.

[Barbedo]

Нашел в разделе треугольники на сайте у Barbedo (http://geom.uz)
Построить треугольник по стороне а, медиане m и радиусу R описанной окружности. Простая задачка на построение. У меня получилось аж 2 зеркалных друг-другу треуголтника.
А какой случай рассматривали: медиана опущена на сторону а или на одну из других сторон? :)

[Nadir Zaitov]

А какой случай рассматривали: медиана опущена на сторону а или на одну из других сторон? На сторону а. Иначе грустно совсем ;).

[Barbedo]

А какой случай рассматривали: медиана опущена на сторону а или на одну из других сторон? На сторону а. Иначе грустно совсем ;).
http://geom.uz/wp-content/reshenia/r_4_mediana.html

[Nadir Zaitov]

А какой случай рассматривали: медиана опущена на сторону а или на одну из других сторон? На сторону а. Иначе грустно совсем ;).
http://geom.uz/wp-content/reshenia/r_4_mediana.html Не сразу поймешь, какие свойства треугольника использывались, хотя интересно.