Парабола безопасности

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Пушка стреляет, меняет угол наклона на 1 градус, снова стреляет, пока не обойдет 360 градусов (пушка приподнята над землей). Найти линию, огибающую все траектории снарядов.

[Nadir Zaitov]

Пушка стреляет, меняет угол наклона на 1 градус, снова стреляет, пока не обойдет 360 градусовНачальное значение пушки не указано.
Если 0°, то на 270° разрыв (особое решение).

[Shuhrat Ismailov]

Пушка стреляет, меняет угол наклона на 1 градус, снова стреляет, пока не обойдет 360 градусов (пушка приподнята над землей). Найти линию, огибающую все траектории снарядов.
Парабола безопасности

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Начальное значение пушки не указано.
Если 0°, то на 270° разрыв (особое решение). не важно, пусть начало 0°. Разрыва не будет, кривая вроде плавная, хотя может быть пик, не имеющей касательной.


Парабола безопасности Там не парабола (я об огибающей), Barbedo смотрел — жуткая какая-то линия :-0))

[Nadir Zaitov]

Там не парабола (я об огибающей), Barbedo смотрел — жуткая какая-то линия :-0)):), заинтересовали.

[Nadir Zaitov]

Давайте решать. Начнем с обозначений:

Пусть S(t) - некоторая точка в момент времени t траектории полета снаряда.

Тогда:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?S=S_0+\overrightarrow&space;vt-\frac{\overrightarrow{g}t^2}2

Будем для простоты считать, что S0=0, v0=1, g=1

Тогда все это можно переписать так:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left\{\begin{matrix}&space;x=t\times&space;\cos\alp ha&space;\\&space;y=&space;t\times&space;\sin&space;\alpha&space;-&space;\frac{t^2}2&space;\end{matrix}\right.

Выразим Y через X.

Получим семейство кривых:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?y(x)=&space;x\tan{C}-&space;\frac{x^2}&space;{2{\cos^2&space;C}}

Теперь нужно избавиться от параметра С за счет перехода к дифурам и найти их особое решение. На самом деле мы и к дифурам не перейдем, так как семейство у нас уже есть. Я сразу попробую найти С-дискриминанту (дифференцируем уравнение системы кривых по параметру С).

http://latex.codecogs.com/gif.latex?0&space;=&space;\frac&space;{x}&space;{\cos^2\alpha}&space;-&space;\frac{x^2\sin&space;\alpha}&space;{\cos^3&space;\alpha}

Упрощая которое получаем, что:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;0&space;=&space;1&space;-&space;x\tan&space;{C}

Следовательно для особого решения:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;\tan&space;{C}=\frac&space;1&space;x

Заметим также, что:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac&space;1&space;{\cos^2C}-1=\tan^2C

Подставляя значения С в уравнение семейства кривых получаем:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?y=1-\frac&space;{x^2}&space;2&space;\left(1+\frac1&space;{x^2}\right)

Раскрываем скобки и получаем:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?y=\frac12-\frac&space;{x^2}&space;2

Где я ошибся? Парабола с ветвями направленными вниз. И луч x=0 направленный по оси OY в минус бесконечность никогда не касается искомого особого решения, как я и предполагал.

[Nadir Zaitov]

Вынес в отдельную тему, так как на практике задачка совсем не простая оказалась. Требует знания дифуров на уровне определения особого решения.
Пока решал нашел у себя столько ошибок, аж страшно стало.

[Nadir Zaitov]

Вот картинка для углов от 5° до 65° (от вертикали) и красным нарисована "огибающая"

https://img.uforum.uz/images/xkbahuh7369259.png

[German Stimban]

Вот картинка для углов от 5° до 65° (от вертикали) и красным нарисована "огибающая"
Это если пушка стоит на земле, а если на возвышении?

[Shuhrat Ismailov]

Где я ошибся? Парабола с ветвями направленными вниз. И луч x=0 направленный по оси OY в минус бесконечность никогда не касается искомого особого решения, как я и предполагал.
Вы не ошиблись, Надир. Известно, что найденная в конце вами парабола не является геометрическим местом особых точек, т.к. ни одна из С-параметрического семейства парабол не имеет особых точек. Значит, найденная вами парабола является огибающей семейства траекторий. Т.к. ни одна точка за её пределами недостижима для снаряда, поэтому она называется параболой безопасности,

[Nadir Zaitov]

Шухрат, если уж совсем строго, то к слову x=0 - семейство особых точек как ни крути и оно появляется когда я сократил С-дискриминанту на x/cos²C. :) Ни при каком параметре С оно не появляется, однако решением задачи является. Вообще лопасти парабол схлопываются вокруг X=0 при tanС → ∞

Кстати, заметьте интересный факт. Каждая парабола семейства дважды касается огибающую. Дело в том, что выстрел под углом 0° и 180° - это ветви одной и той же параболы. Даже так выстрел под углом http://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha и под углом http://latex.codecogs.com/gif.latex?-\alpha - это ветви одной параболы и обе касаются огибающую, что удивительно,так как обычно огибающая семейства касалась кривые лишь в одной точке.

Это если пушка стоит на земле, а если на возвышении?Я привел пример картинки. Даже на нем снаряд уходит ниже нуля. При углах выше 45° видно, что касание уже идет в точках ниже горизонта. при 45° касание идет на уровне горизонта.