Пятая прямая

[Barbedo]

В некой профессии сотни лет решается разными способами следующая задача:

на плоскости имеются 4 прямые общего положения (не параллельны и не проходят через одну точку). Необходимо провести пятую прямую так, чтобы три расстояния между точками ее пересечения с четырьмя исходными прямыми были равны друг другу.

Как бы вы подошли к ее решению? Рассматриваются любые методы: аналитический, графический, с применением любых чертежных инструментов, "точные" и приближенные построения.
https://img.uforum.uz/images/prdcaej8680081.png

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Я бы решал аналитически — известны уравнения 4-х прямых, параметры искомой прямой - переменные искомые. Пишем уравнение, находим точки пересечения и величины отрезков, приравниваем попарно, получаем систему уравнений, решив которую найдем параметры пятой прямой. Можно сделать программу, которая это решает.

[Timofeus]

В некой профессии сотни Если не секрет, в какой?

[Barbedo]

Я бы решал аналитически — известны уравнения 4-х прямых, параметры искомой прямой - переменные искомые. Пишем уравнение, находим точки пересечения и величины отрезков, приравниваем попарно, получаем систему уравнений, решив которую найдем параметры пятой прямой. Можно сделать программу, которая это решает.
Принято. Я пробовал. Пришел к системе двух уравнений 4-й степени с двумя неизвестными. Наверное можно написать такую программу.

[Barbedo]

В некой профессии сотни Если не секрет, в какой?
Если раскрыть профессию, решение нетрудно будет найти в сети. Предлагаю обождать, сохраняя интригу, чтобы народ успел насладиться собственными размышлениями над задачей (или над профессией). :)

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Можно (программно, естественно) менять k и b приближаясь пошагово к решению. Но так пропустим другие решения, получив одно из них.

Еще можно решать в частных производных но пока не придумал как именно :-0))

[Shuhrat Ismailov]

Я бы решал аналитически — известны уравнения 4-х прямых, параметры искомой прямой - переменные искомые. Пишем уравнение, находим точки пересечения и величины отрезков, приравниваем попарно, получаем систему уравнений, решив которую найдем параметры пятой прямой. Можно сделать программу, которая это решает.
Принято. Я пробовал. Пришел к системе двух уравнений 4-й степени с двумя неизвестными. Наверное можно написать такую программу.
Так как систему координат мы вольны выбирать, то советую уравнение искомой прямой взять в простейшем виде: y=b. Должно помочь, так как ординаты точек пересечения будут одинаковыми.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

ординаты точек пересечения будут одинаковыми. и равны нулю, что существенно облегчит вычисления!

UPD. Вообще-то берется разница координат, так что абсолютное значение не важно...

[Shuhrat Ismailov]

ординаты точек пересечения будут одинаковыми. и равны нулю, что существенно облегчит вычисления!
UPD. Вообще-то берется разница координат, так что абсолютное значение не важно...
Ординаты будут равны b, хотя, как Вы правильно заметили
Вообще-то берется разница координат, так что абсолютное значение не важно...

[Nadir Zaitov]

y=bЭто только в случае, что в классе таких прямых имеется всегда решение. Очевидно, что это не так.

[Shuhrat Ismailov]

Это только в случае, что в классе таких прямых имеется всегда решение. Очевидно, что это не так.
Согласен. Даже если конфигурация не зависит от системы координат

[Barbedo]

y=bЭто только в случае, что в классе таких прямых имеется всегда решение. Очевидно, что это не так.
"Очевидно" - не слишком сильный аргумент, сэр.

[Barbedo]

Так как систему координат мы вольны выбирать, то советую уравнение искомой прямой взять в простейшем виде: y=b. Должно помочь, так как ординаты точек пересечения будут одинаковыми.
Если систему координат привязываем к искомой прямой, то при этом известные k и b данных прямых превращаются в дополнительные 8 неизвестных параметров, не так ли? Разве это облегчит решение?..

[Barbedo]

Задача флотская. Для определения курса и скорости неприятельского судна моряки исходя из предположения, что курс этот и скорость постоянны, брали пеленг на неприятельский корабль из четырех разных точек, засекая промежутки времени между измерениями. Четыре луча пеленга наносились на карту. Далее решалась упомянутая задача с нанесением на карту курса неприятельского судна.

[Nadir Zaitov]

Нужна классификация общих случаев.

4 прямые параллельны друг-другу. Решение очевидно: либо сразу все прямые (если данные прямые попарно уже на одинаковом расстоянии от ближайшей к ней прямой) либо никакая.

3 прямые параллельны друг-другу, одна пересекает их. Решений тоже почти очевидно:
- либо две крайние параллельные прямые на одном расстоянии от средней из них, и тогда решений очень много- целых 2 пучка прямых, проходящих через две легко получаемые точки четвертой данной прямой.
- либо две крайние параллельные прямые проходят на кратном 2-м расстоянии от средней из них, и тогда решений - пучок прямых, проходящих через точку четвертой прямой;
- либо решений вообще нет и не может быть.

2 пары параллельных прямых. Решения всегда есть. Их ровно 4. Получаются также достаточно просто аналитически.

Все прямые проходят через одну точку. Такой вариант нужно рассмотреть (пока не знаю как подойти) но видимо решение очень просто - либо есть куча решений, либо ни одного в зависимости от углов. Идея в том, что для трех прямых можно подобрать угол, что все прямые параллельные пересекающие под этим углом будут отсекать на заданных трех прямых, проходящих через одну точку равные отрезки. И следовательно четвертая прямая либо под нужным углом отрубает соответствующий отрезок, либо нет. Конечно там много углов и случаев и нужно все смотреть, но скорее всего все сводится к тангенсам и достаточно просто.

Существуют три прямые, пересечение которых образует треугольник. Т.е. есть смысл сразу решать именно этот случай. Над которым я и ломаю голову.
Кстати. Заметим что аффинные преобразования не портят соотношения отрезков на прямой и, стало быть, можно считать именно эти три прямые уже известными и подобрать для них самые простые уравнения:

x=0;
y=0;
x+y=1;

(Кстати четвертую можно записать в виде x/A+y/B=1, где A и B всегда больше или равны 1. Так как если нет, то можно выбрать другой треугольник (другие 3 прямые образуют треугольник) или сделать другое аффинное преобразование данного треугольника (привести к указанные выше уравнениям те же прямые, но в другом порядке. Надеюсь это понадобится).

Задача следующая: найти прямые, на которых данные три прямые отсекают отрезки в соотношении 1:1 и 1:2. На этих прямых выделить геометрическое место точек, через которые должна проходить четвертая прямая.

Затем взять четвертую прямую - какая бы она не была (а только она в общем случае включает в себя все степени свободы задачи) и пересечь с геометрическим местом точек. По точкам "вспомнить" прямые, которые она создавала и вуаля - рещение задачи.

Легко написать теорию... теперь буду думать как сделать, так как вариантов достаточно много.

[Timofeus]

Т.к. терзают сомнения относительно того, станут ли моряки решать системы уровнений со скольки-то там неизвестными, то предложу такой вариант: сначала строят несколько (множество) равных отрезков между тремя прямыми. В подходящем на глаз месте ищут третий отрезок.

[Nadir Zaitov]

Т.к. терзают сомнения относительно того, станут ли моряки решать системы уровненийХм... одновременно решились писать про данную задачку? Интересно.. она валялась нерешенной не один день.

[Timofeus]

одновременно решились писать про данную задачку Не знаю как вы, а я решил ответить после комментария Barbedо. :187:

[Nadir Zaitov]

Не знаю как вы, а я решил ответить после комментария Barbedо. Надо же!!! Все очнулись одновременно. :)

[Barbedo]

Нужна классификация общих случаев.
4 прямые параллельны друг-другу.
3 прямые параллельны друг-другу, одна пересекает их.
2 пары параллельных прямых.
Все прямые проходят через одну точку.

В условии сказано: "4 прямые общего положения (не параллельны и не проходят через одну точку)." Думалось, что само собой, но можно уточнить: попарно непараллельны или взаимно непараллельны.

[Nadir Zaitov]

В условии сказано: "4 прямые общего положения (не параллельны и не проходят через одну точку)." Думалось, что само собой, но можно уточнить: попарно непараллельны или взаимно непараллельны.А в чем проблема рассмотреть общий случай - т.е. все варианты - и тем самым сделать полноценный алгоритм решения?

[Barbedo]

А в чем проблема рассмотреть общий случай - т.е. все варианты - и тем самым сделать полноценный алгоритм решения?
Для полного кайфа, конечно, здорово было бы. :)

[Nadir Zaitov]

Для полного кайфа, конечно, здорово было бы.Вот и получается, что вопрос решается для 4-х вариантов выше.
Для пятого варианта думаю. Не хотелось бы решать "в лоб". Логика аналитического решения понятна. Но с пеленгами скорее всего просто решается на чертежной доске. Морякам проще чертить линейкой, чем решать сложные уравнения.