Функциональные задачки

[Nadir Zaitov]

Тут вспомнились задачки, которые не так очевидны в решении как 2+2=4. Для их решения не всегда имеются стандартные пути.
К таким задачкам относятся функциональные уравнения.

Функция f непрерывна в точке 0 и выполняется равенство

2f(2x)=f(x)+x.

"Угадайте" что это за функция.

[iDead]

f(x)=x/3 ?

[Nadir Zaitov]

f(x)=x/3 ?Ага. А решение?

[iDead]

Ага. А решение? Можно чуток по позже?
А то задача - интересная, наверное, другие тоже захотят решить её. К тому же мне, имхо, просто повезло в начале угадать форму функции, а после решение задачи - уже было делом техники.

[Nadir Zaitov]

Найти f.

f(x)=x(x+1)+f(x/2)

[Nadir Zaitov]

К тому же мне, имхо, просто повезло в начале угадать форму функции
Вы сразу искали в некотором классе функций?

[iDead]

Вы сразу искали в некотором классе функций? почти сразу.
Но это я угадал форму функции тогда. И только сейчас, кажется, понял, почему решение имеет именно такую форму. Хотя, не совсем уверен.

[Nadir Zaitov]

И только сейчас, кажется, понял, почему решение имеет именно такую форму. Хотя, не совсем уверен.В данном случае решение одно и единственное. Обычно это целые классы функций, иногда с несколькими параметрами.

[Timofeus]

f(x)=x(x+1)+f(x/2) 4/3 x^2 + 2x ?

Почему-то подставляя вместо х другой аргумент, получаю 1/3 x^2 + 2x, но тогда уже не подходит ответ.

[Shuhrat Ismailov]

Функция f непрерывна в точке 0 и выполняется равенство
2f(2x)=f(x)+x.
"Угадайте" что это за функция.
Положим t=2x, получим соотношение
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(t)=\frac{1}{2}f(\frac{t}{2})+\frac{t}{ 2}
Так как
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(\frac{t}{2})=\frac{1}{2}f(\frac{t}{4}) +\frac{t}{4},
то
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(t)=\frac{1}{4}f(\frac{t}{4})+\frac{t}{ 2}+\frac{t}{8}
Продолжая процесс, на n -ом шаге получим
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(t)=\frac{1}{2^{n}}f(\frac{t}{2^{n}})+\ frac{t}{2}+\frac{t}{8}+...+\frac{t}{2^{n}}.
Устремим n к бесконечности и воспользуемся непрерывностью функции (хотя достаточно ее ограниченности в окрестности нуля), получим
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(t)=\frac{2t}{3}
(2/3 - это сумма бесконечной геометрической прогрессии в правой части с первым членом 1/2 и знаменателем 1/4)

[Shuhrat Ismailov]

Найти f.

f(x)=x(x+1)+f(x/2)
Сначала заметим, что f(0)=0.
Из уравнения получим цепочку равенств
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)-f(\frac{x}{2})=x(x+1),&space;f(\frac{x}{2})-f(\frac{x}{4})=\frac{x}{2}(\frac{x}{2}+1),...,&space;f(\ frac{x}{2^{n}})-f(\frac{x}{2^{n+1}}),
складывая которые, получим
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)=f(\frac{x}{2^{n+1}})+x^{2}(1+\frac{ 1}{4}+...+\frac{1}{4^{n}})+x(1+\frac{1}{2}+...+\fr ac{1}{2^{n}})
Устремляя n к бесконечности и учитывая непрерывность в нуле, окончательно получим
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)=\frac{4}{3}x^{2}+2x.
Осталось заметить, что данная функция удовлетворяет уравнению.

[Nadir Zaitov]

Найти f.

f(x)=x(x+1)+f(x/2)
Сначала заметим, что f(0)=0. <---- Как раз тут ошибочка!
Из уравнения получим цепочку равенств
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)-f(\frac{x}{2})=x(x&plus;1),&space;f(\frac{x}{2})-f(\frac{x}{4})=\frac{x}{2}(\frac{x}{2}&plus;1),...,&space;f(\ frac{x}{2^{n}})-f(\frac{x}{2^{n&plus;1}}),
складывая которые, получим
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)=f(\frac{x}{2^{n&plus;1}})&plus;x^{2}(1&plus;\frac{ 1}{4}&plus;...&plus;\frac{1}{4^{n}})&plus;x(1&plus;\frac{1}{2}&plus;...&plus;\fr ac{1}{2^{n}})
Устремляя n к бесконечности и учитывая непрерывность в нуле, окончательно получим
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)=\frac{4}{3}x^{2}&plus;2x,
Осталось заметить, что данная функция удовлетворяет уравнению.
Соответственно:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)=\frac{4}{3}x^{2}&plus;2x&plus;C

где C=f(0)

Очевидно добавление к функции любой константы равенства не изменит.

[Shuhrat Ismailov]

Как раз тут ошибочка!
Точно, Надир. Latex убивает. Спасибо.
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)=\frac{4}{3}x^{2}&plus;2x&plus;f(0)

[iDead]

Ага. А решение? Решил набрать свой ответ на ворде, а потом вставить потом его как изображение, так как ещё не до конца разобрался как набирать формулы на форуме:

https://img.uforum.uz/images/vvtbbok7577160.png

[Shuhrat Ismailov]

Решил набрать свой ответ на ворде
на самом деле не все так просто.
Рассмотрим простейшее уравнение Вашего вида
f(2x)=х+f(x).
Легко видеть, что разрывная функция, равная 1 в нуле и x во всех остальных точках x удовлетворяет уравнению, но она не в том виде, который Вы привели.

[Shuhrat Ismailov]

Рассмотрим задачи попроще
1) 2f(x)+f(1-x)=x-2
2) xf(x)+f(-1/x)=2

[Nadir Zaitov]

Рассмотрим задачи попроще

Кажется они решаются обе одинаково - замена переменных.

Решу первую:
2f(x)+f(1-x)=x-2

2f(x)+f(1-x)=x-2 (1)

Пусть t=1-x, тогда:
f(x)+2f(1-x)=-x-1 (2)

(я тут сразу переименовал в x - что сразу получить систему)

Для каждого конкретного x имеется система из двух уравнений:

2f(x)+f(1-x)=x-2
f(x)+2f(1-x)=-x-1

где f(x) и f(1-x) - искомые.

Исключаем f(1-x) (умножаем верхнее уравнение на -2 почленно и складываем с нижним):

-3f(x)=3-3x

f(x)=x-1

Подставляем в исходную задачу и все сходится.

[Nadir Zaitov]

http://upload.wikimedia.org/math/7/c/f/7cfa09d2eee86acccdc318ebe1d2786f.png
Задача та же. Решить в классе непрерывных функций.

[iDead]

http://upload.wikimedia.org/math/7/c/f/7cfa09d2eee86acccdc318ebe1d2786f.png
Задача та же. Решить в классе непрерывных функций.
https://img.uforum.uz/images/tvketaw2758096.png

[Shuhrat Ismailov]

На самом деле решением уравнения (3), а следовательно и уравнения
http://upload.wikimedia.org/math/7/c/f/7cfa09d2eee86acccdc318ebe1d2786f.png
является функция f(x)=kx^2

[iDead]

На самом деле решением уравнения
http://upload.wikimedia.org/math/7/c/f/7cfa09d2eee86acccdc318ebe1d2786f.png
является функция f(x)=kx^2Точно, не заметил.
Но то, что я привел - это не строгое решение, а скорее больше "способ как догадаться правильного ответа". Вот теперь думаю над точным решением данной задачи.

[Nadir Zaitov]

На самом деле решением уравнения (3), а следовательно и уравнения
http://upload.wikimedia.org/math/7/c/f/7cfa09d2eee86acccdc318ebe1d2786f.png
является функция f(x)=kx^2

Вопрос ведь в другом. Как доказать, что на классе непрерывных функций это только такие решения. На классе разрывных функций или на неплотном множестве можно поиграться и нарисовать много разных функций, как мне кажется.

[Shuhrat Ismailov]

то, что я привел - это не строгое решение, а скорее больше "способ как догадаться правильного ответа". Вот теперь думаю над точным решением данной задачи.
Вопрос ведь в другом. Как доказать, что на классе непрерывных функций это только такие решения.
https://img.uforum.uz/images/zgnnref4935758.jpg