Просмотр полной версии : Старая задачка из Кванта
Nadir Zaitov
26.02.2013, 18:49
Куб А со стороной 1 метр повернули на 45 градусов вокруг основной диагонали и получили куб Б.
Найти площадь поверхности фигуры, оказавшейся в пересечении кубов А и Б.
Oleg Pak
27.02.2013, 06:34
Сейчас ещё выпускают этот журнал? В своё вермя выписывали журнал "Квант". Абалденно трудные задачки там были(математика и физика). Никогда не забуду как ломал мозг над ними. Успешно решал только задачки из какого-то детского раздела этого журнала.
Nadir Zaitov
27.02.2013, 12:18
Успешно решал только задачки из какого-то детского раздела этого журнала.Так и они там были не самые легкие. Как минимум для квантового компьютера :).
Sобщ=4,5кв.м.
могу предположить, что объем отсеченной фигуры будет=0,75куб.м.
Nadir Zaitov
27.02.2013, 16:29
Sобщ=4,5кв.м.
могу предположить, что объем отсеченной фигуры будет=0,75куб.м.
Решение где?
Shuhrat Ismailov
27.02.2013, 21:13
Куб А со стороной 1 метр повернули на 45 градусов вокруг основной диагонали и получили куб Б.
Найти площадь поверхности фигуры, оказавшейся в пересечении кубов А и Б.
Решение где?
Конфигурация страшная. Нужно отрезать 6 пирамид и смотреть что получится.
Тому, кто осилит, предлагаю рассмотреть небольшое обобщение задачи:
Пусть куб А со стороной 1 метр повернули на х градусов вокруг основной диагонали и получили куб Б. Обозначим через S(х) площадь поверхности и через V(х) объем фигуры пересечения
1) Найти S(х)
2) Найти V(х)
3) При каких х вышеуказанные площадь S(х) и объем V(х) достигают своего наименьшего значения. Одинаковы ли эти х?
Ясно, что наибольшие значения достигается при х=0
Решение где?в записной книжке)))) среди записей пошли формулы, рисунки))) Сын подошел и спрашивает: мам это что бухгалтерия. отвечаю - геометрическая бухгалтерия))). ответила для мотивации.
быстро написать могу решение нахождения объема.
если площадь поверхности 2 кубов 6 кв.м - 100%
то площадь поверхности фигуры 4,5кв.м -х%
из пропорции получаем 37,5%
объем 2 кубов - 2куб.м - 100%
то объем фигуры -х куб.м - 37,5%
получаем 0,75куб.м
в решении нахождения площади поверхности фигуры используется теорема пифагора и формула нахождения площади равнобедренного треугольника. Потом полученная площадь умножается на 12.
ответ правильный?
Nadir Zaitov
28.02.2013, 11:20
из пропорции получаем:) А всегда пропорция по площади и по объему работает? Не говоря уже, что фигуры принципиально различной формы.
Потом полученная площадь умножается на 12. ответ правильный?Потом полученная площадь умножается на 12.Вот тут самое главное фигуру представить/нарисовать.
Вот тут самое главное фигуру представить/нарисовать.легко объясню, Нодир ака.))))
представляем куб основной диагональю вертикально. Поворачиваем его на 45гр. Из трех сторон снизу и сверху становится по 6 сторон только не куба, а...фигуры (не знаю как называется). Две пирамиды склеенные основаниями. Вот как-то так.))
Решение где?в записной книжке)))) среди записей пошли формулы, рисунки))) Сын подошел и спрашивает: мам это что бухгалтерия. отвечаю - геометрическая бухгалтерия))). ответила для мотивации.
быстро написать могу решение нахождения объема.
если площадь поверхности 2 кубов 6 кв.м - 100%
то площадь поверхности фигуры 4,5кв.м -х%
из пропорции получаем 37,5%
объем 2 кубов - 2куб.м - 100%
то объем фигуры -х куб.м - 37,5%
получаем 0,75куб.м
в решении нахождения площади поверхности фигуры используется теорема пифагора и формула нахождения площади равнобедренного треугольника. Потом полученная площадь умножается на 12.
ответ правильный?
https://img.uforum.uz/thumbs/dcymrfq3204400.jpg (https://img.uforum.uz/images/dcymrfq3204400.jpg)
Зарина, нужно "срезать" торчащие куски кубов, проведя ножом по каждой грани каждого куба, останется тело, похожее на толстое веретено, нужно площадь этого тела определить.
Зарина, нужно "срезать" торчащие куски кубов, проведя ножом по каждой грани каждого куба, останется тело, похожее на толстое веретено, нужно площадь этого тела определить.Уважаемый, меня достали Ваши замечания. написать решение, то бишь формулы для меня, ну очень трудно. Дала ответ. Если правильно, пусть Нодир ака подтвердит. Если нет, то с удовольствием прочту правильное решение другого.
Zarina Umarova, уважаемая, сочувствую Вам. Примите искренние соболезнования.
Oleg Pak
01.03.2013, 07:17
Вот тут самое главное фигуру представить/нарисовать.
Пытался представить. Получаетя, что для совпадения кубов при вращении, необходимо повернуть куб на 120 гр. При повороте на 60 гр. будут торчать 6 равнобедренных пирамидок с ребрами по 0.5 и сторонами основания по корень из 0.5. А вот представить фигуру при вращении на 45 гр. не могу.:dash2: Сейчас распилю детский кубик и тогда, кажется, смогу представить.:)
Zarina Umarova, уважаемая, сочувствую Вам. Примите искренние соболезнования.взаимно. мериться с Вами отказываюсь. Соболезнования приняты, надеюсь, на этом Вы успокоитесь.
Timur Vakhabov
01.03.2013, 11:11
Вот тут самое главное фигуру представить/нарисовать.
Пытался представить. Получаетя, что для совпадения кубов при вращении, необходимо повернуть куб на 120 гр. При повороте на 60 гр. будут торчать 6 равнобедренных пирамидок с ребрами по 0.5 и сторонами основания по корень из 0.5. А вот представить фигуру при вращении на 45 гр. не могу.:dash2: Сейчас распилю детский кубик и тогда, кажется, смогу представить.:)
Начертить не проще? И, по-моему, совпадение будет при вращении на 180, а не на 120 гр.
Nadir Zaitov
01.03.2013, 11:13
Начертить не проще? И, по-моему, совпадение будет при вращении на 180, а не на 120 гр.Почему же? Как раз 120 градусов.
Timur Vakhabov
01.03.2013, 11:18
Начертить не проще? И, по-моему, совпадение будет при вращении на 180, а не на 120 гр.Почему же? Как раз 120 градусов.
Пойду чертить :)
Nadir Zaitov
01.03.2013, 11:25
Пойду чертить От вершины (угла куба) отходят ровно три луча (грани куба). Если представить куб поставленный на попа (на одну из вершин так, чтобы соответствующая главная диагональ была вертикальна), и если взглянуть сверху, то по симметрии, лучи (грани) будут ровно на 120° отстоять друг от друга. Стало быть поворот на 120 градусов нас приведет к совпадению фигуры с собой.
Timur Vakhabov
01.03.2013, 11:57
Пойду чертить От вершины (угла куба) отходят ровно три луча (грани куба). Если представить куб поставленный на попа (на одну из вершин так, чтобы соответствующая главная диагональ была вертикальна), и если взглянуть сверху, то по симметрии, лучи (грани) будут ровно на 120° отстоять друг от друга. Стало быть поворот на 120 градусов нас приведет к совпадению фигуры с собой.
Смотри что написал Олег
Пытался представить. Получаетя, что для совпадения кубов при вращении, необходимо повернуть куб на 120 гр. При повороте на 60 гр. будут торчать 6 равнобедренных пирамидок с ребрами по 0.5 и сторонами основания по корень из 0.5. А вот представить фигуру при вращении на 45 гр. не могу.:dash2: Сейчас распилю детский кубик и тогда, кажется, смогу представить.:)
Не о совпадении с самим собой, а совпадении с первым кубом.
Или я что-то не понимаю?
При пересечении двух кубов под углом в 45гр ребра кубов будут пересекаться по середине своих длин. Если от двух вершин провести прямые через точки пересечения ребер, то получим фигуру с 12 равными гранями - равнобедренными треугольниками. Для нахождения площади всей фигуры необходимо найти площадь одной грани и умножить ее на 12. Длина длинного ребра фигуры равен кв.корень из 1,25м. Длина короткого ребра кв.корень из 0,5м. Находим площадь треугольника. Предварительно находим высоту - (3кв.корня из 2)/4. => площадь равна 3/8кв.м. Площадь всей фигуры 4,5кв.м.
Объем: Фигура состоит из 12 пирамид. Каждая пирамида имеет прямой трехгранный угол. Причем длина одного из ребер является высотой к основанию и прамиды и половиной общей диагонали куба - кв.корень из 3/2м. Площадь основания маленько пирамиды составит (0,5кв.корень из 3)/4. Находим объем - 0,0625куб.м. и умножаем на 12. Общий объем 0,75куб.м.
Nadir Zaitov
01.03.2013, 13:05
Не о совпадении с самим собой, а совпадении с первым кубом. Или я что-то не понимаю?В условии сказано, что второй куб получается из первого в результате поворота.
При пересечении двух кубов под углом в 45гр ребра кубов будут пересекаться по середине своих длин.Я не мостак рисовать, но вот вид сверху на верхние "пирамидки", из которых состоит куб. При повороте на 45° пересечение создает правильный 6-угольник, как было бы при повороте на 60°?
https://img.uforum.uz/images/vmuzkom9055868.png
Nadir Zaitov, такие комментарии Зарину "достают", не трогай! Она права, смирись.
Я не мостак рисовать, но вот вид сверху на верхние "пирамидки", из которых состоит куб. При повороте на 45° пересечение создает правильный 6-угольник, как было бы при повороте на 60°? согласна... блин, ну тогда грани не будут равнобедренными треугольниками.. тогда площадь грани придется находить через произведение сторон треугольника на синус угла - кв.корень из /2. А стороны соответственно из соотношения длин ребер от точки их пересечения и расстояния между вершинами кубов.
Еще подумала... если от двух вершин на диагональ куба провести перпендикуляр/проекцию, то можно найти расстояние между вершинами куба.... А нельзя еще повернуть чуток.. до 60гр?)))))
Nadir Zaitov, такие комментарии Зарину "достают", не трогай! Она права, смирись.не к тому, что скоро 8 марта, женщины всегда правы! Но задачка уж больно классная, хотелось бы знать правильное решение.
Еще просьба к Вам, уважаемый, мне не нравится Ваше излишнее внимание ко моей персоне)) (глупой, умной и тд). Можно без провокаций? Буду очень признательна.
Nadir Zaitov
02.03.2013, 09:09
блин, ну тогда грани не будут равнобедренными треугольниками.. тогда площадь грани придется находить черезВысота та же самая:) Вам найти длину основания нужно и без всяких синусов площадь считается.
Nadir Zaitov
02.03.2013, 12:22
Вообще, для наглядности, может кто автокадом или еще чем владеет, чтоб нарисовать результирующую фигуру?
У меня есть идея написать программку, но это долго, муторно, но только на 1 задачку - не эффективно.
я сдаюсь... нашла расстояния между вершинами кубов - меньшее =кв.корень из3*кв. корень ((2 - кв.корень из 2)/4), большее = (3кв.корня из2 - кв.корень из6)/4. Думаю, нужно будет завязать на равенстве отношений частей пересекающихся ребер кубов, расстояниями между вершинами и углами. И там чудесным образом найдется длина основания.
Timofeus
28.05.2013, 16:08
Фигурка вышла занятная.
7681 7682 7683
Фигурка вышла занятная.
Занятная... но вряд ли соответствует условию... боковые вершины повернутого куба должны торчать из граней старого таким образом, что ребра нового пересекают грани старого, не пересекаясь с его ребрами (кроме вершин основной диагонали). Нет?
Timofeus
28.05.2013, 16:34
Занятная... но вряд ли соответствует условию... боковые вершины повернутого куба должны торчать из граней старого таким образом, что ребра нового пересекают грани старого, не пересекаясь с его ребрами (кроме вершин основной диагонали). Нет?
Если я правильно понял условие
Найти площадь поверхности фигуры, оказавшейся в пересечении кубов А и Б. , то имеется в виду только общий объем.
Nadir Zaitov
28.05.2013, 18:14
то имеется в виду только общий объем.там поворот не 60°, а 45°. Картинка должна быть чуть другой.
b_a_lamut
29.05.2013, 04:05
Куб А со стороной 1 метр повернули на 45 градусов вокруг основной диагонали и получили куб Б.
Найти площадь поверхности фигуры, оказавшейся в пересечении кубов А и Б.
Вот, нарисовал. Считать будем, если правильно нарисовал?
https://img.uforum.uz/images/uhvmaxw6961567.jpg
Timofeus
29.05.2013, 09:41
там поворот не 60°, а 45°. Картинка должна быть чуть другой. Сегодня пробовал повторить с чистого листа, получилось то же самое.
Вот, нарисовал. Считать будем, если правильно нарисовал?
Сегодня пробовал повторить с чистого листа, получилось то же самое.
Нет, братцы. При повороте на 45 торчащие куски нового над старым не являются правильными пирамидами, основания этих пирамид - неправильные треугольники.
Nadir Zaitov
29.05.2013, 13:06
неправильные треугольники.Вид сверху даст действительно 6-угольник с равными сторонами, но средние линии сторон не будут проходить через центр.
b_a_lamut
29.05.2013, 14:30
Нет, братцы.
Эх, это я вспомнил планету Страгипула (http://stragipul.info/?p=32) и разрезал её по экватору.
b_a_lamut
29.05.2013, 14:34
неправильные треугольники.Вид сверху даст действительно 6-угольник с равными сторонами, но средние линии сторон не будут проходить через центр.
Наверное так?
https://img.uforum.uz/images/crktlpm2841474.jpg
Nadir Zaitov
29.05.2013, 15:53
Наверное так?Вы что-то пересечение не дочертили.
Timofeus
29.05.2013, 17:03
Дочертился до этого ZHqA3ZEONvU
b_a_lamut
30.05.2013, 03:45
Дочертился до этого
Ещё вариант. Немного по другому.
https://img.uforum.uz/images/zsluqry4565661.jpg
Визуально очень похоже, что общая часть двух кубов выглядит именно как у Тимофеуса на видео: 12-гранник, все грани треугольники - основания пирамид, отрезанных кубами друг от друга:
https://img.uforum.uz/images/gneojzx4688972.png
Но надо бы проверить, доказать, что ребра повернутого куба, не пересекающие ось поворота, пересекутся с аналогичными ребрами первичного куба. Тогда можно будет утвердить визуализацию и приступить к вычислениям :)
Рассмотрим нашу фигуру в двух проекциях:
https://img.uforum.uz/images/bcujatp4648795.png
Обратим внимание на красные и зеленые штрих-пунктирные линии. Предствами себе, что мы обратно совместили оба куба, а затем начали поворачивать их вокруг главной диагонали в противоположные стороны синхронно. Тогда уходящие вправо части куба симметричны уходящим влево относительно неподвижного радиального луча. Вследствие этой симметрии при любом относительном угле поворота ребра кубов, не пересекающие главную диагональ, будут пересекать друг друга по линиям симметрии - красным и зеленым. Следовательно, можно считать доказанным, что общая часть двух кубов ограничена 12-ю равными треугольниками, общая площадь которых составит общую площадь поверхности фигуры, а общий объем двух кубов за вычетом объема 12-ти треугольных пирамид (см. AB'EF), отсекаемых кубами друг от друга, составит объем общей части кубов. Теперь можно перейти к вычислениям.
https://img.uforum.uz/images/pgsdlqu9620473.png
На виде сверху радиус описанной окружности, равный проекции ребра куба, составляет 1/2^0,5. В правильном треугольнике ACB угол <AF1B=180°-60°-22,5°=97,5°. Горизонтальную проекцию AF1 найдем по теореме синусов:
sin60°/AF1=sin97,5°/AB
AF1=AB*sin60°/sin97,5°
Аналогично находим горизонтальную проекцию AE1 треугольника DAC:
sin60°/AE1=sin(180°-60°-37,5°)/AD
AE1=AD*sin60°/sin82,5°
Обратим внимание на то, что AB=AD, а sin82,5°=sin97,5°. Отсюда следует, что AE1=AF1=
=((½)^0,5*3^0,5/2)/(¼*(3^0,5*(2+2^0,5)^0,5+(2-2^0,5)^0,5))
Это видно также в том, что треугольники E1F1C (черный куб) и E1F1B’ (синий куб) имеют общее основание и симметричны относительно прямой ss. Кроме того, в горизонтальной проекции <E1AF1=22,5°+37,5°=60°, значит, треугольник E1AF1 равносторонний.
Площадь треугольника AF1E1 равна:
S1=½ AE1*AF1*sin60°=½(AB1*sin60°/sin82,5°)^2*sin60°=
=½ * ½ * ¾ * 3^0,5/2 / (sin82,5°)^2
=3/32*3^0,5/(1/8*(4+2^0,5(1+3^0,5)))=
=3/4*3^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5))
Истинная площадь треугольника AEF после поворота грани ABCD вокруг прямой gg на 45° до совпадения этой грани с горизонтальной плоскостью:
Saef=S1/cos45°=S1*2^0,5=
=3/4*6^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5))
Соответственно, площадь поверхности фигуры, оказавшейся в пересечении кубов А и Б:
S=12*Saef=9*6^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5)) ≈ 2,803
__________________
Для справки:
sin22,5°=((1-cos45°)/2)^0,5=(2-2^0,5)^0,5/2
cos22,5°=((1+cos45°)/2)^0,5=(2+2^0,5)^0,5/2
sin82,5°=sin(60°+22,5°)=sin60°cos22,5+sin22,5°cos6 0°=
=3^0,5/2*(2+2^0,5)^0,5/2+(2-2^0,5)^0,5/2*½=
=¼*(3^0,5*(2+2^0,5)^0,5+(2-2^0,5)^0,5)
(sin82,5°)^2=1/16*(3*(2+2^0,5)+2*3^0,5*2^0,5+2-2^0,5)=
=1/16*(6+3*2^0,5+2*3^0,5*2^0,5+2-2^0,5)=
=1/16*(8+2*2^0,5+2*3^0,5*2^0,5)=
=1/8*(4+2^0,5+3^0,5*2^0,5)=
=1/8*(4+2^0,5*(1+3^0,5))
b_a_lamut
01.06.2013, 01:11
На виде сверху радиус описанной окружности...
Ужас! :)
На виде сверху радиус описанной окружности...
Ужас! :)
Где ужас? :)
b_a_lamut
01.06.2013, 01:24
Где ужас?
Я хотел сказать - супир! :)
b_a_lamut
01.06.2013, 01:40
На виде сверху радиус описанной окружности...
Вот мне интересно, меняется ли площадь сечения, в зависимости от угла? Или для всех сечений на две равные части, площадь будет равна при любом разрезе?
Хотя ужас уже в первой строчке "На виде сверху радиус описанной окружности, равный проекции ребра куба, составляет 1/2^0,5."
Это ж грани наклонены к горизонту под 45°. А ребра-то под 30°. Значит, ребро в горизонтальной проекции составляет 3^0,5/2.
Уточняем расчеты:
AE1=AF1=
=(3^0,5/2*3^0,5/2)/(¼*(3^0,5*(2+2^0,5)^0,5+(2-2^0,5)^0,5))
Площадь треугольника AF1E1 равна:
S1=½ AE1*AF1*sin60°=½(AB1*sin60°/sin82,5°)^2*sin60°=
=½ * ¾ * ¾ * 3^0,5/2 / (sin82,5°)^2
=9/64*3^0,5/(1/8*(4+2^0,5(1+3^0,5)))=
=9/8*3^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5))
Истинная площадь треугольника AEF после поворота грани ABCD вокруг прямой gg на 45° до совпадения этой грани с горизонтальной плоскостью:
Saef=S1/cos45°=S1*2^0,5=
=9/8*6^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5))
Соответственно, площадь поверхности фигуры, оказавшейся в пересечении кубов А и Б:
S=12*Saef=27/2*6^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5)) ≈ 4,205
:)
Вот мне интересно, меняется ли площадь сечения, в зависимости от угла? Или для всех сечений на две равные части, площадь будет равна при любом разрезе?
Зависит. При малых углах поворота общая часть двух кубов сравнима с кубом, а при угле поворота в 60 градусов торчащие пирамиды максимальны, соответственно минимальная и площадь, и объем общей части кубов. Как-то так, я думаю. Не зря же в формуле площади участвуют углы, производные от половинного угла поворота.
JackDaniels
01.06.2013, 02:03
Barbedo, ничего не понял, но и проекции и выкладки красивы.
b_a_lamut
01.06.2013, 02:18
Не зря же в формуле площади участвуют углы
Смею предположить, что при разрезе куба по противоположным граням, площадь сечения будет прямоугольным. Меняя угол разреза по оси, прямоугольник будет превращаться в параллелограмм, при этом площадь сечения оставаться неизменной. Или, предположение слишком смелое? :shok:
b_a_lamut
01.06.2013, 02:35
Или, предположение слишком смелое?
Точно погорячился :) Площадь сечения будет меняться в определённых пределах. Нужно ли находить углы поворота для максимума и минимума?
Будете смеяться, но опять нашел ошибку в том же месте. Придется подробнее этот момент.
Рассмотрим сечение AC1B куба с вертикальной главной диагональю:
https://img.uforum.uz/images/sndnvfn6128259.png
На виде сверху радиус описанной окружности, равный горизонтальной проекции ребра куба, составляет 1*cosφ=(2/3)^0,5.
Заново уточняем расчеты:
В правильном треугольнике ACB угол <AF1B=180°-60°-22,5°=97,5°. Горизонтальную проекцию чевианы AF1 найдем по теореме синусов:
sin60°/AF1=sin97,5°/AB
AF1=AB*sin60°/sin97,5°
Аналогично находим горизонтальную проекцию чевианы AE1 треугольника DAC:
sin60°/AE1=sin(180°-60°-37,5°)/AD
AE1=AD*sin60°/sin82,5°
Обратим внимание на то, что AB=AD, а sin82,5°=sin97,5°. Отсюда следует, что AE1=AF1=
=((2/3)^0,5*3^0,5/2)/(¼*(3^0,5*(2+2^0,5)^0,5+(2-2^0,5)^0,5))
Это видно также в том, что треугольники E1F1C (черный куб) и E1F1B’ (синий куб) имеют общее основание и симметричны относительно прямой ss. Кроме того, в горизонтальной проекции <E1AF1=22,5°+37,5°=60°, значит, треугольник E1AF1 равносторонний.
Площадь треугольника AF1E1 равна:
S1=½ AE1*AF1*sin60°=½(AB1*sin60°/sin82,5°)^2*sin60°=
=½ * 2/3 * ¾ * 3^0,5/2 / (sin82,5°)^2
=1/8*3^0,5/(1/8*(4+2^0,5(1+3^0,5)))=
=3^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5))
Истинная площадь треугольника AEF после поворота грани ABCD вокруг прямой gg на 45° до совпадения этой грани с горизонтальной плоскостью:
Saef=S1/cos45°=S1*2^0,5=
=6^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5))
Соответственно, площадь поверхности фигуры, оказавшейся в пересечении кубов А и Б:
S=12*Saef=12*6^0,5/(4+2^0,5(1+3^0,5)) ≈ 3,738
Задачка, конечно, зубодробильная, может еще где нахомутал :)
Рассуждая о зависимости площади общей части от угла поворота, сделал вывод о неверности предыдущих расчетов, но в чем именно гнездится, пока не вижу. Итак:
На виде сверху радиус описанной окружности, равный горизонтальной проекции ребра куба, составляет 1*cosφ
=(2/3)^0,5.
Пусть угол поворота куба β будет произвольным 0°<β<60°.
В правильном треугольнике ACB угол
<AF1B=180°-60°-β/2=120°-β/2. Горизонтальную проекцию чевианы AF1 найдем по теореме синусов:
sin60°/AF1=sin(120°-β/2)/AB
AF1=AB*sin60°/(120°-β/2)
Аналогично находим горизонтальную проекцию чевианы AE1 треугольника DAC:
sin60°/AE1=sin(180°-60°-(60°-β/2))/AD
AE1=AD*sin60°/sin(60°+β/2)
Обратим внимание на то, что AB=AD, а sin(60°+β/2)=
=sin(90°-30°+β/2)=sin(90°+30°-β/2)=sin(120°-β/2)
Отсюда следует, что AE1=AF1=
=((2/3)^0,5*sin60°/sin(60°+β/2)
Это видно также в том, что треугольники E1F1C (черный куб) и E1F1B’ (синий куб) имеют общее основание и симметричны относительно прямой ss. Кроме того, в горизонтальной проекции
<E1AF1=120°-β/2-(60°-β/2)=60°, значит, треугольник E1AF1 равносторонний.
Площадь треугольника AF1E1 равна:
S1=½ AE1*AF1*sin60°=
=½(AB1*sin60°/sin(60°+β/2))^2*sin60°=
=½ * 2/3 * ¾ * 3^0,5/2 / (sin(60°+β/2))^2=
=1/8*3^0,5/(sin(60°+β/2))^2
Истинная площадь треугольника AEF после поворота грани ABCD вокруг прямой gg на 45° до совпадения этой грани с горизонтальной плоскостью:
Saef=S1/cos45°=S1*2^0,5=
=1/8*6^0,5/(sin(60°+β/2))^2
Соответственно, площадь поверхности фигуры, оказавшейся в пересечении кубов А и Б:
S=12*Saef=3/2*6^0,5/(sin(60°+β/2))^2
Поскольку (sin(60°+β/2))^2 полого возрастает на участке 0°<β/2<30°, легко определить, что минимальная площадь общей части двух кубов будет наблюдаться при β/2=30°, т.е. при относительном повороте на 60°, и составит
S=12*Saef=3/2*6^0,5 ≈ 3,674,
а максимальная, соответственно, при β=0°:
S=12*Saef=3/2*6^0,5/(sin(60°)^2=2*6^0,5 ≈ 4,899
Упс! Подмечаем острым глазом, что при нулевом повороте площадь должна равняться 6, а вовсе не 4,899.
Значит, где-то в решение вкралась и затаилась ошибка! Может кто углядел ее? Будем искать. :)
Значит, где-то в решение вкралась и затаилась ошибка! Может кто углядел ее? Будем искать. :)
Нашел. Придется перерисовывать и переделывать. Надеюсь на успех :)
Timur Vakhabov
02.06.2013, 11:09
Значит, где-то в решение вкралась и затаилась ошибка! Может кто углядел ее? Будем искать. :)
Нашел. Придется перерисовывать и переделывать. Надеюсь на успех :)
Вот что крест животворящий чайхана в субботу вечером с людьми делает! :)
Респект!
Источник ошибки заключался в привычке рисовать куб в изометрии таким образом, что ближняя к нам вершина (С) совпадает с дальней от нас (A1). На самом деле, если расположить главную диагональ куба вертикально и смотреть на нее вдоль горизонта, то вид куба на фронтальной проекции будет иным (соотношения показаны на виде слева):
https://img.uforum.uz/images/eagmgjs8695511.png
На виде сверху радиус описанной окружности, равный горизонтальной проекции ребра куба, составляет 1*cosφ
=(2/3)^0,5.
Пусть угол поворота куба β будет произвольным 0°<β<60°.
В правильном треугольнике ACB угол
<AF1B=180°-60°-β/2=120°-β/2. Горизонтальную проекцию чевианы AF1 найдем по теореме синусов:
sin60°/AF1=sin(120°-β/2)/AB
AF1=AB*sin60°/(120°-β/2)
Аналогично находим горизонтальную проекцию чевианы AE1 треугольника DAC:
sin60°/AE1=sin(180°-60°-(60°-β/2))/AD
AE1=AD*sin60°/sin(60°+β/2)
Обратим внимание на то, что AB=AD, а sin(60°+β/2)=
=sin(90°-30°+β/2)=sin(90°+30°-β/2)=sin(120°-β/2)
Отсюда следует, что AE1=AF1=
=((2/3)^0,5*sin60°/sin(60°+β/2)
Это видно также в том, что треугольники E1F1C (черный куб) и E1F1B’ (синий куб) имеют общее основание и симметричны относительно прямой ss. Кроме того, в горизонтальной проекции
<E1AF1=120°-β/2-(60°-β/2)=60°, значит, треугольник E1AF1 равносторонний.
Площадь треугольника AF1E1 равна:
S1=½ AE1*AF1*sin60°=
=½(AB1*sin60°/sin(60°+β/2))^2*sin60°=
=½ * 2/3 * ¾ * 3^0,5/2 / (sin(60°+β/2))^2=
=1/8*3^0,5/(sin(60°+β/2))^2
Истинная площадь треугольника AEF после поворота грани ABCD вокруг прямой gg на (90°-φ) до совпадения этой грани с горизонтальной плоскостью:
Saef=S1/cos(90°-φ)=S1*3^0,5=
=(3/8)/(sin(60°+β/2))^2
Соответственно, площадь поверхности фигуры, оказавшейся в пересечении кубов А и Б:
S=12*Saef=(9/2)/(sin(60°+β/2))^2
Поскольку (sin(60°+β/2))^2 полого возрастает на участке 0°<β/2<30°, легко определить, что минимальная площадь общей части двух кубов будет наблюдаться при β/2=30°, т.е. при относительном повороте на 60°, и составит
S=12*Saef= 9/2 = 4,5 а максимальная, соответственно, при β=0°:
S=12*Saef=(9/2)/(sin(60°)^2=6
Составим таблицу искомой площади в зависимости от угла поворота β (с шагом 5°):
https://img.uforum.uz/images/heilyjg4500068.png
Проверим «вручную» для угла β=45°:
S=12*Saef=(9/2)/(sin(60°+β/2))^2=(9/2)/(sin82,5°)^2=
=(9/2)/(1/8*(4+2^0,5*(1+3^0,5))) ≈ 4,578
:)
vBulletin® v3.8.5, Copyright ©2000-2025, Jelsoft Enterprises Ltd. Перевод: zCarot