Решить сложное диофантово уравнение со всеми неизвестными

[николай москвитин]

Здравствуйте! Вот уравнение, с которым я никак не мог справиться, несмотря на значительные усилия. Тем не менее идеи были. Это уравнение возникло в процессе решения одной достаточно сложной задачи, и само полегче, чем она.

4q^2a^2 + r^2b^2 + p^2c^2 - 4b^2p^2 - c^2q^2 - a ^2r^2=0
Все переменные- неизвестные целые.

С уважением

[Akmal Bafoev]

примерные границы значений известны или какой то может быть от минус до плюс бесконечности? если ограничены, то тупым перебором попробовать

[николай москвитин]

примерные границы значений известны или какой то может быть от минус до плюс бесконечности?
вообще все положительны. А вот уже в множестве натуральных чисел значения возможно неограничены. Т.е. это неизвестно- всё равно как неизвестно, бесконечно ли число простых чисел-близнецов (скорее всего, данное уравнение всё же решить проще, чем эту задачу). Могу обрадовать, что есть уже численное решение (там была замена, я сейчас посчитаю для этого уравнения).

[николай москвитин]

вообще нет! Замена была сделана, но она не охватила всех случаев.

[Nadir Zaitov]

николай москвитин, сколько решений Вам нужно?
На самом деле, если вопрос состоит в поиске всех решений, то конечно нужно будет напрягаться.
А так с ходу берите все переменные равной единой константе k - решение.

[николай москвитин]

А так с ходу берите все переменные равной единой константе k - решение. Как раз этот случай не соотвествует задаче. По краней мере три числа из указанных должны быть различны.

[николай москвитин]

николай москвитин, сколько решений Вам нужно? Все! Но для первого раза хотя бы одно (именно, чтобы три из них были различны, даже вроде нужно, чтобы четыре были различны)! Перебором получится вряд ли, переменных то 6...

[николай москвитин]

Поделюсь ходом рассуждения: заменяем квадраты на переменные первой степени. Получаем "линейное" уравнение (линейное оно относительно новых переменных).
В этом уравнении группируем подобные слагаемые (относительно любых множителей), получаем уравнение и систему. Ну и возвращаемся и решаем ещё шесть уравнений. :) Правда, вычислять и осуществлять это...

[Nadir Zaitov]

Как раз этот случай не соотвествует задаче. По краней мере три числа из указанных должны быть различны.В условии задачи не было.
Тогда так:
b = q
a = p
с = r

Поделюсь ходом рассуждения: заменяем квадраты на переменные первой степени. Получаем "линейное" уравнение (линейное оно относительно новых переменных).
В этом уравнении группируем подобные слагаемые (относительно любых множителей), получаем уравнение и систему. Ну и возвращаемся и решаем ещё шесть уравнений. Правда, вычислять и осуществлять это...
Поделюсь логикой подбора "хоть одного решения".
Переменные b и q, a и p попарно входят симметрично.
Предположите их равными. Будет шикарный лифт по переменным. Найдите частное решение в виде соотношения от переменных a и b.
По идее r и c тоже симметрично входят, т.е. можно было спуститься и по ним и получить уж очень частное решение от 3-х различных переменных a, b, c - но это уж очень просто.
Достаточно указать a=p, b=q и сразу лифт дает с=r

[николай москвитин]

Надир, расскажу Вам, с чем связано это уравнение.
(a^2+b^2-c^2)/2ab=(p^2+q^2-r^2)/2pq. Я сделал удачную замену: b+a=a’, b-a=b’, с оставляем на месте, аналогично q+p=p’,q-p=q’, r остаётся на месте.
Как видите,в каждой из частей этого равенства переменные равны быть не могут.
Это целочисленные треугольники, у которых есть по равному углу.
Ясно, что меня не интересуют равные треугольники.

[Nadir Zaitov]

Ясно, что меня не интересуют равные треугольники.(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29), (12, 35, 37), (9, 40, 41)
Все попарно разные, не кратные, попарно соответствуют требованию.

Нужно еще? Читай тут про Пифагоровы числа (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B8%D1%84%D0%B0%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%BE%D 0%B2%D0%B0_%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B9%D0%BA%D0%B0). Их уже очень много.

[Shuhrat Ismailov]

Нужно еще? Читай тут про Пифагоровы числа. Их уже очень много.
Примечательно, что не только пифагоровы тройки попарно соответствуют задаче.
Можно целочисленные тройки - решения уравнения
http://latex.codecogs.com/gif.latex?a^{2}+b^{2}-2abcos\alpha&space;=c^{2} при различных http://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha
Пары таких троек доставляют решение уравнения Николая.
Кроме уравнения Пифагора я, например, знаю, как решаются уравнения
http://latex.codecogs.com/gif.latex?a^2+b^2-ab=c^2,
http://latex.codecogs.com/gif.latex?a^2+b^2+ab=c^2

[Nadir Zaitov]

при различных http://latex.codecogs.com/gif.latex?\alphaВидимо при различных рациональных http://latex.codecogs.com/gif.latex?\cos\alpha

[николай москвитин]

Nadir, сегодня дошло... :) По сути надо решать только уравнения вида {k_1}^2+{k_2}^2={k_3}^2 и k_1=k_4K_5... ну и простейшие линейные уравнения. Это даст решение только для треугольников с разными сторонами. Ещё три случая: разносторонний и равносторонний, разносторонний и равнобедренный и два равнобедренных.

[николай москвитин]

просмотрел все остальные случаи- решать надо те же типы уравнений.

[Nadir Zaitov]

По сути надо решать только уравнения вида {k_1}^2+{k_2}^2={k_3}^2 и k_1=k_4K_5А преобразования в студию можно?

[николай москвитин]

4q^2a^2+r^2b^2+p^2c^2-4b^2p^2-c^2q^2-a^2r^2=0.
a^2(4q^2-r^2)+b^2(r^2-4p^2)+c^2(p^2-q^2). Возьмём c>b>a и r>q>p для случая разносторонних треугольников.



4q^2-r^2=d^2 (1)

r^2-4p^2=e^2 (2)

q^2-p^2=f^2 (3)

a^2d^2+b^2c^2-c^2f^2=0
ad=k_1 (4); be=k_2(5); cf=k_3(6).
Можно доказать, что возможны только варианты:
{k_1}^2={k_2}^2+{k_3}^2 (7)

Или
{k_2}^2={k_1}^2+{k_3}^2 (8)

Надо последовательно решить все эти уравнения (1-8) в обратном порядке.

[Nadir Zaitov]

r>q>pЕсли отсортировали a, b и с, то сортировать другие переменные вы не имеете права.

[николай москвитин]

Здравствуйте!

Если отсортировали a, b и с, то сортировать другие переменные вы не имеете права. __________________

Nadir, но в таком случае не будет выполняться неравенство треугольника либо в знаменателе будет ноль... Хотя конечно что мой опыт в математике и что Ваш опыт... :)

[Nadir Zaitov]

Хотя конечно что мой опыт в математике и что Ваш опыт...r,p,q входят в уравнения не симметрично. Стало быть сортируя их вы ограничиваете количество возможных решений.
Я могу быть неправ в случае, когда сортировка в другом порядке приводит к отсутствию решений.

Что касается неравенства треугольника, то например 2-я и первая сторона могут играть.

николай москвитин, подумал, что следующая "мысля" вас переубедит.

Сделаем такое построение:
Возьмем некоторый "очень" острый угол на плоскости с вершиной в точке A и лучами b и с. "очень" - это, например, меньше 10°. Соответственно на лучах b и с фиксируем некоторые точки B и C.

Причем так, чтобы, например, стороны AС>CB>BA.
Это ведь не будет ведь означать, что все другие треугольники, которые я могу построить на этом угле A должны быть отсортированы именно также. Например, симметричный треугольник относительно биссектрисы будет иметь обратную сортировку: AС<CB<BA

[николай москвитин]

следующая "мысля" вас переубедит.
Nadir,переубедился! И затея с квадратами была, конечно, неправильная- вот там я сузил число решений совсем здорово! :)