Построение одним прямым углом

[николай москвитин]

В этом месяце придумал задачу:


Условие: четырёхугольник ABCD с прямыми углами B и D, причём CD>BC.
Построить одним прямым углом точку E на стороне CD, такую, что BE=ED, не ставя ни одной точки вне четырёхугольника.


http://imageshack.us/photo/my-images/24/50888596.png/

[Timofeus]

Мне кажется, или АС делит ВД пополам?

[николай москвитин]

Timofeus, это может и не быть так. Объясню: ABCD- вписанный, значит, указанный вами случай- это когда BC=CD. Но в условии другое соотношение.

[Barbedo]

https://img.uforum.uz/images/zipiagc6041446.png
Проводим диагонали AC и BD. Поскольку углы B и D прямые, AC будет диаметром описанной окружности четырехугольника. Строим CG перпендикулярно BC и CF перпендикулярно CD. Теперь проведем отрезок GF, являющийся диагональю параллелограмма AFCG. GF разделит диаметр AC пополам в точке O. Поскольку искомый треугольник BED равнобедренный, его вершина E лежит на радиусе описанной окружности четырехугольника ABCD, перпендикулярном хорде BD. Проводим OE перпендикулярно BD.

[николай москвитин]

Да, Barbedo. Одному человеку удалось решить за 6 шагов...Решение в 7 шагов будет следующим: отмечается произвольная точка E на стороне BC.окружность с радиусом ED пересечёт диагональ BD в точке F. Ну и строится прямая, параллельная EF через точку B.

[Barbedo]

...окружность с радиусом ED пересечёт диагональ BD в точке F
Николай, а как строится окружность прямым углом? Или она не строится, а только подразумевается? Поясните, пожалуйста.

[николай москвитин]

Николай, а как строится окружность прямым углом? Или она не строится, а только подразумевается?
Barbedo, я перепутал. Всё гораздо интереснее. Из E проводится перпендикуляр на BD, через точку его основания F проводится прямая, перпедикулярная AD. дальше уже легко построить точку, симметричную D относительно F. Как-то так. Дальше понятно.

[b_a_lamut]

Николай, а как строится окружность прямым углом? Или она не строится, а только подразумевается?

Если что, то все шишки на Barbedo. Пошёл у него на поводу, предположив, что окружность есть и есть её центр.
Тогда, с помощью прямого угла находим точку F. Она делит сторону BD пополам. Прямую OF продолжаем до пересечения со стороной CD (точка Е). Получаем равнобедренный треугольник BED.

https://img.uforum.uz/images/uzksgjh9043361.jpg

[JH]

А разве "прямоугольной" частью прямого угла можно пользоваться более одного раза? Я из условия так понял, что прямой угол можно строить только единожды.

[b_a_lamut]

А разве "прямоугольной" частью прямого угла можно пользоваться более одного раза? Я из условия так понял, что прямой угол можно строить только единожды.

Я вроде бы так и сделал, найдя точку F. Остальное само построилось, без применения прямого угла.

[JH]

А разве "прямоугольной" частью прямого угла можно пользоваться более одного раза? Я из условия так понял, что прямой угол можно строить только единожды.

Я вроде бы так и сделал, найдя точку F. Остальное само построилось, без применения прямого угла.

Я не к Вашему решению, а к решению Barbedo. В Вашем же, боюсь, что вы сделали неправильное предположение о том, что центр известен.

[Barbedo]

А разве "прямоугольной" частью прямого угла можно пользоваться более одного раза? Я из условия так понял, что прямой угол можно строить только единожды.
Да, интересно. Я не углядел этого требования в условии, фразу "одним прямым углом" понял так, что без циркуля и без второго прямого угла и третьего. Есть ведь ряд задач, которые с помощью одного прямого угла не решить, а с помощью нескольких - можно.
Николай, поясните, пожалуйста, как понимать условие - "только с помощью прямого угла" или "используя только прямой угол и только единожды"?

[Barbedo]

Из E проводится перпендикуляр на BD...
По условию E - искомая точка, поэтому непонятно, откуда стартует перпендикуляр.

[николай москвитин]

А разве "прямоугольной" частью прямого угла можно пользоваться более одного раза? Я из условия так понял, что прямой угол можно строить только единожды. Вовсе не обязательно. Сам я использовал его более одного раза. Да здесь и не получится использовать его лишь один раз.

[b_a_lamut]

Построить одним прямым углом точку E на стороне CD, такую, что BE=ED, не ставя ни одной точки вне четырёхугольника.

Решил задачу двумя перестановками прямого угла, но пришлось ставить одну точку вне четырёх угольника, что не удовлетворяет условие задачи. Хотелось бы узнать правильный ответ.

https://img.uforum.uz/images/zhzlsgx4359058.jpg

[николай москвитин]

http://s019.radikal.ru/i613/1211/bb/691762eb12a8.jpg (http://www.radikal.ru)