Созвездие Южный Крест

[Barbedo]

Доказать, что в любом вписанном четырехугольнике ABCD с точкой P пересечения диагоналей AB*BC*PD=AD*DC*PB.

[николай москвитин]

Как красиво доказать не знаю, но есть специальная формула для длин диагоналей четырёхугольника, теорема косинусов, теорема синусов. Хотя предложу всё же один вариант: использовать то, что треугольники CBP и DAP подобны и их площади относятся как квадраты соответственных сторон (+ теорема о вписанном угле).

[николай москвитин]

В общем подобие треугольников. Доказывается вроде элементарно даже, но у меня никак не получается вывести соотношение. См.: BP/AP=BC/AD (подобие треугольников СBP и DAP). Отсюда: AP*BC=BP*AD. Домножаем на CD. Надо в итоге доказать: AP*BC*CD=AB*BC*PD, т.е. AP*CD=AB*PD. Но это верно из подобия треугольников ABP и DCP. Доказано.

[Shuhrat Ismailov]

Известно, что S(ABC):PB=S(ACD):PD , но S(ABC)=0.5*AB*BC*sinB, S(ACD)=0.5*AD*DC*sin(180-B), значит AB*BC/PB=AD*DC/PD

[Nadir Zaitov]

Известно, что S(ABC):PB=S(ACD):PDА вдруг это известно «ввиду условия задачи»?
Нужно более конструктивное доказательство.

[Shuhrat Ismailov]

Известно, что S(ABC):PB=S(ACD):PDА вдруг это известно «ввиду условия задачи»?
Нужно более конструктивное доказательство.
Спасибо, Надир. Писал навскидку, времени не было формулы и рисунки выписывать.
Сегодня взялся
Доказательство.
Докажем сначала соотношение http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{S(ABC)}{PB}=\frac{S(ADC)}{PD} (*)
Для этого опустим высоты http://latex.codecogs.com/gif.latex?BE,DF вышеупомянутых треугольников (см. рис.)
https://img.uforum.uz/images/zxbgakf9568184.jpg
Отметим, что прямоугольные треугольники http://latex.codecogs.com/gif.latex?BEP,DFP подобны (у них равные углы). Отсюда имеем
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{BF}{PB}=\frac{DE}{PD}
Учитывая это, получим
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{S(ABC)}{PB}=\frac{AC\cdot&space;BF}{2\cd ot&space;PB}=\frac{AC\cdot&space;DE}{2\cdot&space;PD}=\frac{S(ADC)}{ PD}
Равенство (*) доказано.
С другой стороны
http://latex.codecogs.com/gif.latex?S(ABC)=\frac{1}{2}AB\cdot&space;BC\cdot&space;sin(\a ngle&space;ABC) и
http://latex.codecogs.com/gif.latex?S(ACD)=\frac{1}{2}AD\cdot&space;CD\cdot&space;sin(\a ngle&space;ADC)=\frac{1}{2}AD\cdot&space;CD\cdot&space;sin(180^{\cir c}-\angle&space;ABC)=\frac{1}{2}AD\cdot&space;CD\cdot&space;sin(\angle&space; ABC)
Подставляем в (*) и сокращая полученные лроби, получаем
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{AB\cdot&space;BC}{PB}=\frac{CD\cdot&space;AD}{ PD} т.е.

http://latex.codecogs.com/gif.latex?AB\cdot&space;BC\cdot&space;PD=CD\cdot&space;AD\cdot&space;PB

[Shuhrat Ismailov]

Перепутал буквы E. F
Поэтому перепишу некоторые формулы, при доказательстве (*).

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{BE}{PB}=\frac{DF}{PD}
Учитывая это, получим
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{S(ABC)}{PB}=\frac{AC\cdot&space;BE}{2\cd ot&space;PB}=\frac{AC\cdot&space;DF}{2\cdot&space;PD}=\frac{S(ADC)}{ PD}
Равенство (*) доказано.