Просмотр полной версии : Шестнадцать веков тому назад...
Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, то прямая, проходящая через точку их пересечения перпендикулярно одной из его сторон, делит противоположную ей сторону пополам.
Доказать.
Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали
У меня сложилось впечатление, что таковым может быть только квадрат.
У меня сложилось впечатление, что таковым может быть только квадрат.
Например, такой:
https://img.uforum.uz/images/kpdeohp6417728.jpg
Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, то прямая, проходящая через точку их пересечения перпендикулярно одной из его сторон, делит противоположную ей сторону пополам.
Доказать.
Легко доказывается, что все выделенные цветом треугольники подобны. Так же легко доказывается, что голубые еще и равны.
https://img.uforum.uz/images/dseasci8619822.jpg
Так же легко доказывается, что голубые еще и равны.
хотя... неправильно
равность голубых треугольников доказывается не так легко
ведь в произвольном они не будут равны
только во вписанном
авность голубых треугольников доказывается не так легко
Вроде легко же, если исходить из того, что гипотенуза делится пополам.
https://img.uforum.uz/images/rxnftrd3712835.jpg
Мне кажется надо исходить из свойств:
Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°
И
Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
Вроде легко же, если исходить из того, что гипотенуза делится пополам. Так нам как раз и надо доказать что гипотенуза делится пополам.
Вот то же самое построение для произвольного четырехугольника. Голубые треугольники все так же остались подобными, но не равными.
https://img.uforum.uz/images/ckdcdmk7583865.jpg
А вот что меняется от "вписанности" четырехугольника - что-то никак не добью.
Так нам как раз и надо доказать что гипотенуза делится пополам. Мне вот так удалось доказать: Из верхней вершины верхнего голубого треугольника опустил перпендикуляр на нижний "серо-розовый" треугольник. Потом доказал, что зеленый треугольник равен "голубо-желтому" треугольнику слева. Далее, воспользовался теоремой Фалеса.
https://img.uforum.uz/images/auvdgut2567466.jpg
И все-таки, как оно связано с "вписанностью" четырехугольника? На рисунке ниже вывел его за границы окружности. Все подобия сохранились, кроме равности голубых треугольников.
https://img.uforum.uz/images/eupcmul1705452.gif
И все-таки, как оно связано с "вписанностью" четырехугольника? На рисунке ниже вывел его за границы окружности. Все подобия сохранились, кроме равности голубых треугольников.красные углы:
https://img.uforum.uz/images/cfcmjjv7273446.jpg
Timofeus
24.09.2012, 21:50
красные углы:То, что они равны, не очевидно (может и не равны вовсе). А выходят равными нижний красный угол и сверху в зеленой зоне.
То, что они равны, не очевидно (может и не равны вовсе).Углы, вписанные в окружность и опирающиеся на одну и ту же хорду либо равны (если находятся по одну сторону от хорды) либо дополняют друг друга до 180° (если находятся по разные стороны от хорды).
Углы, вписанные в окружность и опирающиеся на одну и ту же хорду либо равны (если находятся по одну сторону от хорды) либо дополняют друг друга до 180° (если находятся по разные стороны от хорды). А в таком случае все просто доказывается моим самым первым рисунком без дополнительных телодвижений по подобию треугольников и равенству катета.
Барбедо, а при чем тут 16 веков?
А в таком случае все просто доказывается моим самым первым рисунком без дополнительных телодвижений по подобию треугольников и равенству катета. в первом рисунке ещё не разобрался. А вот во втором - понял как.
Итак, окончательное решение:
https://img.uforum.uz/images/ebrfdye5672674.png
1) Отмеченные цветом треугольники подобны.
2) Желтый и голубой треугольники равны.
3) Соответственно, общая сторона этих двух треугольников, делящая катет большого треугольника пополам, также делит и гипотенузу пополам.
в первом рисунке ещё не разобрался. А вот во втором - понял как.
Ну я имел в виду самый первый "цветной" рисунок. Без вашего зеленого треугольника. Он не нужен.
Барбедо, а при чем тут 16 веков?
Насчет 16 я немного погорячился. Но это на самом деле теорема Брахмагупты (ок. 598—660), им же самолично и доказанная.
:)
vBulletin® v3.8.5, Copyright ©2000-2025, Jelsoft Enterprises Ltd. Перевод: zCarot