Докажем теорему Нагеля

[Barbedo]

В произвольном треугольнике ABC отрезок CO, соединяющий вершину C с центром O описанной окружности, перпендикулярен отрезку A1B1, соединяющему основания высот AA1 и BB1.

[vits]

Но если сам Нагель доказал, какой смысл нам доказывать

[Nadir Zaitov]

Но если сам Нагель доказал, какой смысл нам доказыватьВопрос в красоте и неочевидности. Смысл понять вообще как к доказательству подойти.

[Timofeus]

Имхо, ключ тут такой: если доказать, что А1B1 параллельно A2В2, то дальше можно доказать уже основную часть.

http://www.img.uz/s?e25laoj
http://img.uz/d/2012/09/505973b69f851.jpg

[vits]

По телеку видел какой-то ботаник что-то доказал, ему премию миллион баксов хотели подарить, он правда отказался их получать,
Мне бы хотя-бы сто баксов дали, по любому бы этого Нагеля доказал

[JackDaniels]

какой-то ботаник что-то доказал
Вы не про Перельмана часом? :)

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Мне бы хотя-бы сто баксов дали, по любому бы этого Нагеля доказал Зачем вам столько денег?

[JackDaniels]

по любому бы этого Нагеля доказал
За $200 гипотезу Ходжа слабо? ;)

[vits]

по любому бы этого Нагеля доказал
За $200 гипотезу Ходжа слабо? ;)
Вы мне сейчас хорошую идею подбросили, попробую решить какую нибудь из оставшихся задач тысячелетия (например Гипотеза Римана) и заработать миллион

[JackDaniels]

по любому бы этого Нагеля доказал
За $200 гипотезу Ходжа слабо? ;)
Вы мне сейчас хорошую идею подбросили, попробую решить какую набуть из оставшихся задач тысячелетия (например Гипотеза Римана) и заработать миллион

Аппетиты-то растут не по дням, а по часам… :)

— Удачи! она вам понадобится :biggrin:

[b_a_lamut]

Чертёж условия. Для наглядности. Безвозмездно :)

https://img.uforum.uz/images/fslecbl5510914.jpg

[b_a_lamut]

Продолжим прямую А1В1 до пересечения с окружностью в точках Е и D. Точки Е и D соединяем с центром окружности и получаем равнобедренный треугольник DOE с основанием DE. Соединяем точки Е и D с точкой С. Получаем треугольник DCE. Доказываем, что треугольники DCO и ECO равны и, что треугольник DCE тоже равнобедренный, с тем же основанием – DE. Прямая линия, в равнобедренном треугольнике, заключённом в описанную окружность и, проходящая через вершину треугольника и центр окружности является для этого треугольника медианой, биссектрисой и высотой. Со всеми вытекающими последствиями. Или, что-то не доказано?


https://img.uforum.uz/images/bsnerfk8794262.jpg

[Barbedo]

Доказываем, что треугольники DCO и ECO равны
Каким образом?

[b_a_lamut]

Каким образом?
Точно. Сложно, да и не нужно.

Вот, гораздо проще. Если между двумя точками пересечения высот со сторонами описанного треугольника (А1 и В1) провести прямую до пересечения с данной окружностью ( точки D и E), то эти точки будут равноудалены от вершины треугольника из которого высота не проведена (точка С). Эта теорема, наверное давно доказана. Значит треугольник DCE равнобедренный. Если через вершину равнобедренного описанного треугольника и центр окружности провести прямую, то она и предстанет перед нами во всех трёх ипостасях (Эта теорема, наверное тоже давно доказана). А так как прямая А1В1 лежит на стороне треугольника то и СО будет перпендикулярна А1В1

Чёрными тонкими линиями – для остальных двух случаев. Неужто опять пошёл по неправильному пути? :shok:


https://img.uforum.uz/images/mvaccdz7878352.jpg

[Timofeus]

Вот, гораздо проще. Если между двумя точками пересечения высот со сторонами описанного треугольника (А1 и В1) провести прямую до пересечения с данной окружностью ( точки D и E), то эти точки будут равноудалены от вершины треугольника из которого высота не проведена (точка С). Эта теорема, наверное давно доказана. У меня ощущение, что она доказана Нагелем :biggrin:.

[b_a_lamut]

У меня ощущение, что она доказана Нагелем .

Я говорил о двух других теоремах. Их авторов, к сожалению не знаю. А вообще-то, Пифагор когда ещё скроил штаны, а миллионы детишек до сих пор учатся у него кроить и заново доказывают, чтобы убедиться, что его выкройка совершенна и модна на все времена :)

[Timofeus]

Я говорил о двух других теоремах.Я имел в виду, что утверждение эти точки будут равноудалены от вершины треугольника из которого высота не проведена...исходит из того , что СО и ЕД перпендикулярны, что и является предметом теоремы. :)

[b_a_lamut]

исходит из того , что СО и ЕД перпендикулярны, что и является предметом теоремы.

Интересно посмотреть решение Barbedo. У него всегда красивые решения :)

[Barbedo]

Интересно посмотреть решение Barbedo. У него всегда красивые решения :)
Благодарю за сарказм, коллега:)

Решал таким образом:
https://img.uforum.uz/images/tbmtvnk7336944.png
Поскольку угол ортотреугольника C1=A+B-C=180°-2С и C1H является его биссектрисой, то угол CC1B1=90°-C. Тогда угол AC1B1 = C. С другой стороны угол AOB=2C, соответственно угол С1AO=90°-C. Следовательно, угол C1KA= 180° - AC1B1 - С1AO=90°.

Но о существовании этой теоремы рассказал мне Николай Москвитин. Хорошо бы найти и поглядеть, как доказал теорему сам Нагель.
:)

[b_a_lamut]

Благодарю за сарказм, коллега :)

Ой, никакого сарказма :) Всегда с нетерпением жду ваши задачи и красивые решения, особенно в области геометрии. Они для меня наиболее интересны, так как в них я наименее компетентен. С вашим доказательством буду разбираться (пока не могу охватить весь объём сразу).

Коллега, скажите, что в моём решении осталось не доказанным? Ваши замечания важны для меня. С уважением, b_a_lamut.

[Barbedo]

Коллега, скажите, что в моём решении осталось не доказанным?

Если между двумя точками пересечения высот со сторонами описанного треугольника (А1 и В1) провести прямую до пересечения с данной окружностью ( точки D и E), то эти точки будут равноудалены от вершины треугольника из которого высота не проведена (точка С). Эта теорема, наверное давно доказана.
Тимофеус прав. Она, конечно, доказана Нагелем. И именно это и требуется доказать нам.

[b_a_lamut]

Тимофеус прав. Она, конечно, доказана Нагелем. И именно это и требуется доказать нам.

Понятно. Непонятно, как связано доказательство того, что угол C1KA=90° и то, что СО перпендикулярна А1В1, если на чертеже СО отсутствует?

[Barbedo]

Непонятно, как связано доказательство того, что угол C1KA=90° и то, что СО перпендикулярна А1В1, если на чертеже СО отсутствует?
Прошу простить мою невнимательность. В условии - доказать, что CO перпендикулярно A1B1, а в решении, - что AO перпендикулярно B1C1. Оно без разницы.

[b_a_lamut]

Прошу простить мою невнимательность.

Ой, это я невнимательный :)

[Timofeus]

Поскольку угол ортотреугольника C1=A+B-C=180°-2С и C1H является его биссектрисой, то угол CC1B1=90°-C. Тогда угол AC1B1 = C. С другой стороны угол AOB=2C, соответственно угол С1AO=90°-C. Следовательно, угол C1KA= 180° - AC1B1 - С1AO=90°.
Что то я ни черта немного не понял. Откуда C1=A+B-C? Можно подробное доказательство?

[Barbedo]

Откуда C1=A+B-C? Можно подробное доказательство?
https://img.uforum.uz/images/tbmtvnk7336944.png
В прямоугольном треугольнике ACC1
AC1=ACcosA (I)
В прямоугольном треугольнике ABB1
AB1=ABcosA (II)
Тогда в треугольнике AB1C1 по теореме косинусов
C1B1^2=(cosA)^2*(AC^2+AB^2-2AC*AB*cosA)=(cosA)^2*CB^2
Отсюда
C1B1=CB*cosA (III)
Из I,II,III следует, что треугольник AB1C1 подобен треугольнику ABC и коэффициент подобия равен cosA.
Таким образом мы доказали одно из свойств ортотреугольника – он отсекает от исходного треугольника подобные ему треугольники.
Но тогда <AC1B1=<ACB и <BC1A1=<ACB, а значит
<A1C1H=90°-<BC1A1=90°-<AC1B1=<B1C1H
Так мы доказали, что высота CC1 исходного треугольника является биссектрисой угла A1C1B1 ортотреугольника и еще одно свойство ортотреугольника: ортоцентр треугольника является центром вписанной окружности его ортотреугольника.
Обозначим теперь углы при вершинах исходного треугольника A,B и C, а при вершинах ортотреугольника A1, B1 и C1 и перепишем найденное в виде:
½ С1=90°-C
½ B1=90°-B
½ A1=90°-A
Или
С1=180°-2С=A+B+C-2C=A+B-C
B1=180°-2B=A+B+C-2B=A+C-B
A1=180°-2A=A+B+C-2A=B+C-A

[b_a_lamut]

Откуда C1=A+B-C? Можно подробное доказательство?

Это описка. Вместо С1..., угол С1=180 градусов, а А1С1В1=А+В-С. Остальное верно.

[b_a_lamut]

В прямоугольном треугольнике ACC1

Ой, пока писал, не видел ваш комментарий.