Прямоугольный корень

[Barbedo]

Дан отрезок AB и отрезок единичной длины. С помощью двух прямых углов (прямоугольных угольников) построить отрезок длиной, равной кубическому корню длины отрезка AB.

[Nadir Zaitov]

Дан отрезок AB и отрезок единичной длины. С помощью двух прямых углов (прямоугольных угольников) построить отрезок длиной, равной кубическому корню длины отрезка AB.Нет ни циркуля ни линейки? Однако обжали - я в таком варианте вообще решения не вижу пока.

[Barbedo]

Нет ни циркуля ни линейки? Однако обжали - я в таком варианте вообще решения не вижу пока.
Циркуля действительно нет, а в качестве линейки можно использовать любой из угольников :)

[Timofeus]

Можно построить график у=х^3, затем приложить к нему по у отрезок, х покажет куб. корень из у :).
А вообще, тоже не припомню формул с куб. зависимостями, от которых исходить.

[Nadir Zaitov]

Циркуля действительно нет, а в качестве линейки можно использовать любой из угольниковЕсли допустить, что с помощью прямого угла можно двигаясь по некой прямой (совмещать вершину прямого угла) достроить некоторый отрезок, пересекающий эту прямую под прямым углом до треугольника, то задача выеденного яйца не стоит. Нужно тогда определиться с допустимыми операциями.

[Timofeus]

задача выеденного яйца не стоит. Нужно тогда определиться с допустимыми операциями.
Чёт не понятен ход мысли. Можно подробнее?

[JH]

Я правильно понимаю, что если отрезок короче единичного, то кубический корень будет длиннее этого отрезка?

[Shuhrat Ismailov]

Дан отрезок AB и отрезок единичной длины. С помощью двух прямых углов (прямоугольных угольников) построить отрезок длиной, равной кубическому корню длины отрезка AB.
Выход в пространство допустИм?
Если да, то с помощью двух угольников можно попытаться построить куб с диагональю, равной заданному отрезку АВ. Ребро данного куба и будет искомым отрезком.

[Timofeus]

Shuhrat Ismailov, там вроде получается умноженный на корень из трех, а нужен куб. корень самого отрезка.

JH, получается, так.

[Shuhrat Ismailov]

Shuhrat Ismailov, там вроде получается умноженный на корень из трех, а нужен куб. корень самого отрезка.
Верно. Не додумал

[Barbedo]

Если допустить, что с помощью прямого угла можно двигаясь по некой прямой (совмещать вершину прямого угла) достроить некоторый отрезок, пересекающий эту прямую под прямым углом до треугольника, то задача выеденного яйца не стоит. Нужно тогда определиться с допустимыми операциями.

Аксиома линейки. Линейка (односторонняя) позволяет построить прямую, проходящую через две данные точки.

Аксиома циркуля. Циркуль позволяет построить окружность с центром в данной точке и радиусом, равным длине данного отрезка.

Аксиомы двусторонней линейки. Двусторонняя линейка позволяет:
а) выполнить любое построение, выполнимое линейкой;
б) в каждой из полуплоскостей, определяемых построенной прямой, построить прямую, параллельную этой прямой и проходящую от нее на расстоянии h, где h - фиксированный элемент для данной двусторонней линейки (ширина);
в) если построены две точки А и В, то установить, будет ли АВ > h, и если AB > h , то построить 2 пары параллельных прямых, проходящих соответственно через А и В и отстоящих одна от другой на расстоянии h.

Аксиомы угла. Угол α позволяет: а) сделать все построения, выполнимые линейкой; б) через данную точку плоскости провести прямую под углом α к некоторой данной прямой; в) если построены отрезок АВ и фигура Ф , то установить, содержит ли фигура Ф точку, из которой отрезок АВ виден под углом α , и если такая существует, то построить ее.

[Barbedo]

Я правильно понимаю, что если отрезок короче единичного, то кубический корень будет длиннее этого отрезка?

Да

[Barbedo]

Выход в пространство допустИм?

Наверное допустим, но тогда придется построения выполнять в аксонометрической какой-то проекции или в проекциях по типу начерталки... Надеюсь, этого не понадобится.
:)

[Shuhrat Ismailov]

Пусть длина отрезка, кубический корень из которого нужно построить, равна a.
Рассмотрим рисунок
https://img.uforum.uz/images/kzaqseh9027124.jpg
Пояснения к рисунку.
k,l - две перпендикулярные прямые (оси координат), О – точка их пересечения.
На прямой k откладываем единичный отрезок и получаем точку А(1,0).
На прямой l откладываем отрезок длиной a и получаем точку D(0,-а).
Двигая двумя угольниками получаем две точки B (0,x), С(-y,0) (проверьте - это возможно)
Из прямоугольного треугольника АВС имеем:
1:x=x:y
Аналогично из прямоугольного треугольника DВС имеем
x:y=y:b
Значит, x^3=b, т.е. отрезок x -искомый

UPD. Я поздно заметил, что мои обозначения отличаются от обозначений Barbedo

[Barbedo]

Значит, x^3=b, т.е. отрезок x -искомый
Да!

Единственное, что меня немного смущает в этой старинной задаче, - перенос с поворотом отрезков на плоскости без помощи циркуля. Данные отрезки, к примеру, могут быть начерчены на плоскости рядом и параллельно друг другу или на одной прямой отложены с общим концом или отдельно, и нам сначала необходимо перенести их на прямоугольную систему координат, отложив единичный от нуля по иксу, а AB от нуля по игреку. Давайте подумаем, как это сделать без циркуля, с помощью лишь двух прямых углов, т.е. угольников, на которых нельзя делать засечки.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Аналогично из прямоугольного треугольника DВС имеем
x:y=y:b на чертеже не «b», а «a» обозначено, имейте в виду кто будет разбирать решение.

[Shuhrat Ismailov]

на чертеже не «b», а «a» обозначено, имейте в виду кто будет разбирать решение.
Правильно, я запутался в обозначениях.
Считаем «b» и «a» одинаковыми символами )

[Nadir Zaitov]

Двигая двумя угольниками получаем две точки B (0,x), С(-y,0) (проверьте - это возможно):) Доказывайте из аксиоматики угла плиз!

[Shuhrat Ismailov]

Доказывайте из аксиоматики угла плиз!
Я воспользовался аксиомами
1. Геометрическую фигуру можно перемещать в пространстве, не изменяя ни ее размеров, ни ее формы
2. Геометрические фигуры, которые совпадают после наложения, конгруэнтны (т.е. равны)

[Shuhrat Ismailov]

Единственное, что меня немного смущает в этой старинной задаче, - перенос с поворотом отрезков на плоскости без помощи циркуля. Данные отрезки, к примеру, могут быть начерчены на плоскости рядом и параллельно друг другу или на одной прямой отложены с общим концом или отдельно, и нам сначала необходимо перенести их на прямоугольную систему координат, отложив единичный от нуля по иксу, а AB от нуля по игреку. Давайте подумаем, как это сделать без циркуля, с помощью лишь двух прямых углов, т.е. угольников, на которых нельзя делать засечки.
Имхо, возможны два пути аксиоматического построения конструктивной геометрии.
1) задать аксиомы построения с привязкой к инструментам построения (кажется, Вы их сформулировали для линейки, циркуля и угольника)
2) задать общие аксиомы построения независимо от инструментов, а потом проверить их выполнимость на имеющемся наборе инструментов.
Какой путь выбираем?

[Shuhrat Ismailov]

Единственное, что меня немного смущает в этой старинной задаче, - перенос с поворотом отрезков на плоскости без помощи циркуля. Данные отрезки, к примеру, могут быть начерчены на плоскости рядом и параллельно друг другу или на одной прямой отложены с общим концом или отдельно, и нам сначала необходимо перенести их на прямоугольную систему координат, отложив единичный от нуля по иксу, а AB от нуля по игреку. Давайте подумаем, как это сделать без циркуля, с помощью лишь двух прямых углов, т.е. угольников, на которых нельзя делать засечки.
Имхо, возможны два пути аксиоматического построения конструктивной геометрии.
1) задать аксиомы построения с привязкой к инструментам построения (кажется, Вы их сформулировали для линейки, циркуля и угольника)
2) задать общие аксиомы построения независимо от инструментов, а потом проверить их выполнимость на имеющемся наборе инструментов.
Какой путь выбираем?
Проблема снимается и с вашей аксиоматикой.
Утверждение. Пусть задана прямая, точка О на ней и произвольный отрезок АВ.
Тогда с помощью угольника с прямым углом можно построить отрезок ОХ, лежащий на заданной прямой, причем ОХ= АВ.
Доказательство. Рассмторим рисунок.
https://img.uforum.uz/images/yrbdgix2416244.jpg
Пояснение к рисунку.
Строим прямую, параллельную АВ и проходящую через О.
Через точку А строим перпендикуляр, проходящий через О.
Получим точку С, причем ОС=АВ.
Аналогично можно построить точку D, симметричную С относительно О. Имеем OD=OC.
С помощью угольника строим прямоугольный треугольник XCD, причем вершина X лежит на заданной прямой.
Отрезок ОХ - искомый.

[Shuhrat Ismailov]

Что мне не нравится последний шаг.
Хотя думаю, что утверждение верно и для любого угла.

[Nadir Zaitov]

С помощью угольника строим прямоугольный треугольник XCD, причем вершина X лежит на заданной прямой.Мне сказали, что эта операция не кошерная.

[Barbedo]

С помощью угольника строим прямоугольный треугольник XCD, причем вершина X лежит на заданной прямой.Мне сказали, что эта операция не кошерная.
Согласно пункту в) аксиомы о допустимых операциях с углом "если построены отрезок АВ и фигура Ф , то установить, содержит ли фигура Ф точку, из которой отрезок АВ виден под углом α , и если такая существует, то построить ее." В данном случае отрезком служит отрезок CD, а фигурой Ф - прямая OX, и с помощью угла мы строим на этой прямой точку, из которой отрезок AB виден под прямым углом.
В чём некошерность, Надир?

[Nadir Zaitov]

В чём некошерность, Надир?Теперь я понял аксиому :) По ней (если можно откладывать) задача решается как 2x2=4 по программе 8-го класса геометрии (кажется где-то там теорему Пифагора учат - не помню уже)..

[Shuhrat Ismailov]

Согласно пункту в) аксиомы о допустимых операциях с углом "если построены отрезок АВ и фигура Ф , то установить, содержит ли фигура Ф точку, из которой отрезок АВ виден под углом α , и если такая существует, то построить ее." В данном случае отрезком служит отрезок CD, а фигурой Ф - прямая OX, и с помощью угла мы строим на этой прямой точку, из которой отрезок AB виден под прямым углом.
В чём некошерность, Надир?
Меня стали одолевать неустранимые сомнения, что точка Х может и не лежать на заданной прямой.

[Barbedo]

...задача решается как 2x2=4 по программе 8-го класса геометрии...
Угодить публике задачами очень трудно. Та выглядит слишком сложной, та - вообще заумной, эта чрезвычайно проста и т.д. Кроме того, у посетителей разминки различна мотивация к решению задач. Одних волнуют только красивые задачи независимо от сложности, других возбуждают только сложные, воспринимаемые как вызов, третьих - только сюжетные - поколбаситься с кайфом в комментах. Публикуя задачку, не всегда можешь предположить, сколько народу откликнется, будет ли всем интересно.
:)