Почему считается, что Гармонический ряд расходится?

[infoliokrat]

Количество натуральных чисел (№ слагаемых) Гармонического ряда (далее ГР) и количество этих всех слагаемых в ГР ОДИНАКОВОЕ!
Количество натуральных чисел не может же превышать счетную бесконечность. А по определению считается, что сумма ГР расходится до бесконечности...
Чем же бесконеность суммы ГР бесконечнее "самого большого" натурального числа, которое увеличивается с шагом +1?
Получается, только по определению. Может "определение" такое?

[infoliokrat]

Математики доказали, что для того, чтобы гармоническая сумма увеличивалась на 2,3 надо чтобы количество слагаемых в ГР возрастало аж в 10 раз! (Так это же в знаменателе ГР "натуральных не хватит"...)

[Nadir Zaitov]

Почему считается, что Гармонический ряд расходится?Потому, что частичную сумму n первых членов ряда снизу и сверху можно оценить функцией ln(n)... а она в бесконечности имеет предел бесконечность, хотя стремится к бесконечности "медленно".

[infoliokrat]

можно оценить функцией ln(n)... а она в бесконечности имеет предел бесконечность, хотя стремится к бесконечности "медленно".
Но ведь ln(n)... растет существенно медленнее и где-то там в ХВОСТЕ ГР, когда любое ОДНО конкретное n можно ОЦЕНИТЬ сходящейся Геометрической прогрессией (далее ГП) с показателем, например n/(n+1)...
Мысленно можно повторить такую процедуру натуральное число раз, пока (математически неточно), предполагаю что придется в знаменателях слагаемых ГР такие натуральные использовать, что они "почти несчетными станут"...

[Nadir Zaitov]

Блин. Как тяжело Вас читать. Интересно, вы философствуете без чтения теории или это тонкий способ издевательства над математиками?

[noganno]

Может вам стоит книжки по высшей математики почитать, а не мучить остальных ерундой?

[infoliokrat]

стоит книжки по высшей математики почитать, а не мучить остальных тяжело Вас читать. Интересно, вы философствуете без чтения теории
Нет ни малейшего желания помучить читателей, это сам мучаюсь (надеюсь не дурью), считая что ВСЕ во Вселенной счетно. Кстати и сабж раздела - разминка, а не соревнования по перетягиванию каната счетности. Считаю что считать как и что прочитать в разделе (только для любителей, для желающих, в т.ч. и из числа профессионалов) для разминки - решать читателям. А вдруг в деле отделения зерн истины от плевел сие может оказаться интересным.
Понял, что и В теме о Гимне я нахватал - как блох - минусов тоже из-за своего стиля изложения: так там по-своему своеобразно высказывался ЗА, и за то, чтобы непереборщить.
Поэтому сейчас о ГР скажу НЕ своими словами, а цитатой:В математике (http://uforum.uz/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D 0%BA%D0%B0) гармонический ряд (http://uforum.uz/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC %D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)) представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда (http://uforum.uz/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D 0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE)[1] (http://uforum.uz/showthread.php?p=703425#cite_note-mes-0):
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/8/e/0/8e0eb59d733c084513294a7bb5ae3794.png.Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/8/c/e/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png-я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/4/f/e/4fe69a16c7e7df05b75e266519ac0049.png от длины исходной струны

И какое такое понятие бесконечного количества членов соответствует максимально высокой гармонике, извлекаемой из НАТУРАЛЬНОЙ скрипичной струны? Тут, как по мне, то есть некоторое несоответствие (по крайней мере НЕТ 1-1 соответствия математического) между ВСЕМИ натуральными числами и числом слагаемых ГР, а ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»...

[Nadir Zaitov]

по крайней мере НЕТ 1-1 соответствия математическогоНазвание в математике имеют бессистемный характер. Все совпадения случайны. В реальном мире (мире физиков и других обывателей) идеальный мир математиков имеет только прототипов. У нас (математиков) преступления всегда раскрываются, добро побеждает зло, ГАИ взяток не берут, струны бываю сколь угодно малой длинны, а суммарная длина таких струны уходит в бесконечность.

[infoliokrat]

струны бываю сколь угодно малой длинны, а суммарная длина таких струны уходит в бесконечность.
Вот точность и бесконечность, присущие математике, "подозрительны".
Ведь считается что вечная живучесть ВЕРЫ людей в истинность математических выводов, в однозначность математических понятий непоколебима. Даже пословицы и поговорки об этом: типа ясно, Как дважды два.
Но вот что интересно: оказывается математическая бесконечность, которую иногда обозначают при перечислении чего-либо ...многоточием, даже для очевиднейшей последовательности натуральных чисел имеет разный смысл:
1 2 3 4 5 6 7 ... Это многоточие ... обозначает увеличение № на +1. А вот в выражении таком:
последовательным числам натурального ряда (http://uforum.uz/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D 0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE)[1] (http://uforum.uz/showthread.php?p=703425#cite_note-mes-0):
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/math/8/e/0/8e0eb59d733c084513294a7bb5ae3794.png
уже под многоточием понимается последовательность из слагаемых ГР.
А есть еще многоточие, обозначающее последовательность цифр в числе, например 3,14...
Оказывается, что натурального числа с бесконечным набором цифр. типа 9999999... не существует! Зато всегда можно получить СХОДЯЩУЮСЯ геометрическую прогрессию (далее ГП), в которой каждый последующий член = предыдущему, умноженному на 999...9/(999...9 +11), и которая сходится к ЛЮБОМУ натуральному +11, но будет меньше бесконечности гармонической суммы! Значит в числе 999...9 не может быть бесконечного числа цифр?
В конце концов получается так: определение расходимости ГР предполагает, что если для любого натурального всегда можно выбрать такое количество слагаемых ГР, что гармоническая сумма ПРЕВЫСИТ его=любое натуральное, - то это неоспоримый факт расходимости ГР.
А вот такая фраза: для любой сколь угодно большой суммы ГР всегда найдется натуральное, к которому сходится соответствующая Геометрическая прогрессия ... то это "не звучит".

[Nadir Zaitov]

оказывается математическая бесконечность, которую иногда обозначают при перечислении чего-либо ...многоточиемМноготочием обозначается "не математическое" понятие "и так далее...", которая ставится скорее для наглядности, чем для обозначения. Строгая математическая запись - это знак Сигма с интервалами суммирования (от 1 до ∞) и указанием формулы доя исчисления суммируемого члена (1/к).

А вот то, что "бесконечности" бывают разные - это не новость в математике. К сожалению для Вас я не смогу тут раскрыть суть матанализа в части теории пределов в нескольких фразах - советую Вам почитать.

Например, выражения, получаемые подобными пределами как "0 × ∞", "0 / 0", "∞ / ∞ " в зависимости от методов подхода к нулю и бесконечности могут иметь совершенно любые числовые результаты (выражения эти являются вариантами деления на ноль, а как говорят школьники "на ноль делить нельзя", хотя на самом деле можно, если аккуратно).

[DarkUser]

infoliokrat, Вы знаете, мне кажется это всемирный заговор математиков. Причем самым центром этого заговора является понятие бесконечности (есть еще деление на ноль, но тут даже посвященные не все истину знают).
Вот к примеру, любой математик, скажет вам что ряд 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... - расходится, хотя простым сложением можно выяснить что его сумма равна 1/4.

[Nadir Zaitov]

Вот к примеру, любой математик, скажет вам что ряд 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... - расходится, хотя простым сложением можно выяснить что его сумма равна 1/4.Как это? Расскажите. Я не в курсе, как его можно "подсчитать простым сложением". Это шутка какая-нибудь?

[DarkUser]

Как это? Расскажите. Я не в курсе, как его можно "подсчитать простым сложением". Это шутка какая-нибудь?
если вкратце, то так (http://ru.wikipedia.org/wiki/1_−_2_%2B_3_−_4_%2B_…#.D0.A1.D1.82.D0.B0.D0.B1.D0. B8.D0.BB.D1.8C.D0.BD.D0.BE.D1.81.D1.82.D1.8C_.D0.B 8_.D0.BB.D0.B8.D0.BD.D0.B5.D0.B9.D0.BD.D0.BE.D1.81 .D1.82.D1.8C).

[Nadir Zaitov]

если вкратце, то так.А где там "простое сложение"?
Для 4s=1 не следует, что s=1/4. Вот в чем прикол. Там умножение на 4 условное.

[DarkUser]

Там умножение на 4 условное.Ну, как по мне - вообще любые операции с бесконечностью - весьма условны. Иначе и появляются непонятки в виде "сходящегося" гармонического ряда, парадокса Галилея etc.

[Nadir Zaitov]

Иначе и появляются непонятки в виде "сходящегося" гармонического ряда, парадокса Галилея etc.Там речь об обобщенной сходимости. С нею я оказывается сталкивался, но очень сильно забыл. Помнится мы функциональные ряды предельным переходом по переменной сводили.

Например, можно условно суммирование расходящихся рядов представить так:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{k=0}^{\infty&space;}\frac{\left&space;(&space;-1\right&space;)^k}{k}=\lim_{x&space;\to&space;1}\sum_{k=0}^{\infty&space;} \frac{\left&space;(&space;-1\right&space;)^k}{k}x^{k}

Но как мне кажется, было доказательство, что расходящийся ряд можно так перетасовать, что можно заставить его сходиться к чему угодно.

Под знаком лимита все ряды сходятся :)

[infoliokrat]

было доказательство, что расходящийся ряд можно так перетасовать, что можно заставить его сходиться к чему угодно. как по мне - вообще любые операции с бесконечностью - весьма условны.
И, соответственно, интересны.'Nadir Zaitov
Например: (... пусть бесконечный набор цифр) сложим столбиком 1/3+1/3+1/3=3*1/3=0,99999...=0,999...99 =1= 1,000...01
Число 0,000...01 это что, разве НОЛЬ? Не эти ли "ненулевые нули" в неопределенностях учавствуют, которые приводил Nadir Zaitov...
(а может зря считается для недискретного мира, что любое число в иде десятичной дроби с разделительной ЗПТ можно цифрами записать в одну строку ОДНОЗНАЧНО?. Тогда и к бесконечным рядам "никаких претензий", пусть ведут себя как угодно, "беспредельщики же"=такие ряды.)

[Shuhrat Ismailov]

Но как мне кажется, было доказательство, что расходящийся ряд можно так перетасовать, что можно заставить его сходиться к чему угодно.
Было доказательство утверждения про условно сходящийся ряд (т.е. ряд, который сам сходится, а ряд из модулей его членов расходится). Такой ряд можно перетусовать так, чтобы получилась любая, наперед заданная сумма.
В то же время знакопостоянный расходящийся ряд как не тусуй, а сходящимся его не сделать. Тоже самое про абсолютно сходящийся ряд (т.е. ряд из соотв. модулей сходится , а сам не обязательно): как его не тусуй, а другую сумму не получишь.

[Nadir Zaitov]

Было доказательство утверждения про условно сходящийся рядВ то же время знакопостоянный расходящийся ряд как не тусуй, а сходящимся его не сделать.В отношении знакопеременного расходящегося ряда в общем случае ряда, но сходящегося в обобщенном смысле, видимо, можно сделать то же самое.

[infoliokrat]

сходящегося в обобщенном смысле, видимо, можно сделать то же самоеряд из соотв. модулей сходится , а сам не обязательно
Интересно, что СХОДИТСЯ т.н.
«Истончённый» гармонический ряд
Ряд Кемпнера (http://uforum.uz/w/index.php?title=%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%9A%D0%B5%D0 %BC%D0%BF%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B0&action=edit&redlink=1) (англ. (http://uforum.uz//en.wikipedia.org/wiki/Kempner_series))Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу <80[7] (http://uforum.uz/#cite_note-6). Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.
А чем хуже (чем "провинились") остальные цифры (кроме 9)? Если и для них применить УТВЕРЖДЕНИЕ аналогичное (правомочно или нет СИЕ- не знаю!), типа такого, что
Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры ?, то окажется, что оставшаяся сумма сходится...

[infoliokrat]

Это из ТЕМЫ о числе ПИ:
Ответы для п.1 - 3 очевидны: (надеюсь не только для инфолио). Если от 1/9 вычитать 1/00, потом 1/10000 и т.д. то
предел есть, ...

Сообщение от infoliokrat http://uforum.uz/images/buttons/viewpost.gif (http://uforum.uz/showthread.php?p=695419#post695419)
...после ЗПТ может быть ЛЮБАЯ комбинация цифр в подобных числах).

Это не так. Вот вам задачка, чтоб сохранить ясность ума. Допустим возьмем такое рациональное число как 1/9. В десятичной записи оно выглядит так: 0,111111....
Теперь создадим такую последовательность рациональных чисел {A(N)}:

А(0)=0,111111111111111...
А(1)=0,101111111111111...
А(2)=0,101101111111111...
A(3)=0,101101110111111...
A(4)=0,101101110111101...

Т.е. в последовательности на для N того числа на месте отстоящим вправо на N+1 месте от последнего нуля в десятичной записи N-1-го числа в запись вставляется нолик. (кстати - хорошая задачка - написать итеративную функцию по определению A(N) по A(N-1)).

Докажите, что предельное число:

1. Предел последовательности {A(n)} существует (на самом деле она очень быстро сходится). Допустим это число A'.

2. A' - иррационально.

3. В десятичной записи A' не встречается никакая другая комбинация цифр, кроме огромного количества единиц с некоторым количеством нулей, причем чем больше единиц, тем меньше в последовательности нулей (в относительном показателе), причем для длинных чисел этот показатель стремится к нулю, хотя нулей в десятичной записи безусловно бесконечное множество.


Оффтоп:
Цитата:
Сообщение от infoliokrat http://uforum.uz/images/buttons/viewpost.gif (http://uforum.uz/showthread.php?p=695419#post695419)
Но с тем, что брать (вычислять) такое количество цифр, которое самый мощный комп в н/вр не вычислит в течение Фсей жизни (средней) человека- что-то мне не очень охота согласиться-соглашаться.

А там нужны по 256 бит части, а их как раз не так много нужно...

[infoliokrat]

Прошу прощения у читателей: подразумевал не
Если от 1/9 вычитать 1/00, потом 1/10000 и т.д. то
предел есть, ...
так как в числе 1/9 каждый 0 записывается в определенной позиции. то первое вычитаемое будет не 1/00, а 1/100 и т.д. Т.е. каждая замена 1 на 0 уменьшает исходное число.
А(1)=0,101111111111111... меньше чем 1/9 и т.д. В итоге имеем:
1. предел в диапазоне от 1/9 до 0 - очевидно что есть.
2. дробь НЕпериодическая- то что и надо для иррациональных.
3. + (тоже все ТОЧНО так, как и есть на самом деле).
Вот именно этот последний пункт инфолиоНЕнравится. (Прошу сразу сильно не бить и ногами не топать: но в точной математике пока не знаю точного отличия: ВО СКОЛЬКО раз нулей будет больше чем единиц в бесконечной последовательности 1 и 0 записанных в 1 строку?)
Т.е. почему бесконечность всех 1, которая ОЧЕВИДНО "бесконечнее" всех 0, нами же записываемых в строгом соответствии с нами же установленным законом, не может быть ТОЧНО вычислена? (Явное преимущество для введения так называемого Вселенсконатурального числа... чтобы любая бесконечность с любой "бесконечностью" были сопоставимы.)

[infoliokrat]

Строгая математическая запись - это знак Сигма с интервалами суммирования (от 1 до ∞) и указанием формулы доя исчисления суммируемого члена (1/к).

А вот то, что "бесконечности" бывают разные - это не новость в математике. К сожалению для Вас я не смогу тут раскрыть суть матанализа в части теории пределов в нескольких фразах - советую Вам почитать.

Математика, почти как всеобщая методология, равноприемлемая для любых философий идеологий и цивилизаций (разве кроме народа ПИРАХА)...
Но именно то, что титанические усилия вычислений с любой точностью иногда далеки от реальности и подтолкнуло сгенерировать гипотезу Вселенсконатуральное число сгенирировать, т.е. считать Вселенную счетной (конечной, для ЛЮБЫХ практических расчетов), а то
что "бесконечности" бывают разные - это не новость в математике и оставить математикам.
Вот какой замечательный пример получился, после того как меня "подкузьмили на квантофоруме": там доказали, исходя из сходимости гармонического ряда, что озеро Байкал можно вычерпать наперстком, уменьшая его объем ...

На квантофоруме вспомнили, что ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД расходится и привели "доказательство" ПРАКТИЧЕСКОЕ: вычерпали озеро Байкал наперстком, который все уменьшается. Чушь очевиднейшая...

-- Представьте себе Байкал, из которого никакая Ангара не вытекает, и никакой Баргузин в него не впадает. Просто гигантское озеро с фиксированным объемом воды. А на берегу сидит Конфуций и пытается вычерпать Байкал наперстком. Причем не просто черпает каждый раз по наперстку, а уменьшает дозу: сначала целый наперсток, потом половинка, потом третья часть, потом четвертая... Так представляете -- рано или поздно он ведь его полностью вычерпает! Именно это мы с вами сейчас доказали.

А вид у него был мечтательный, повторю

Quote Selected
Воронеж - це Європа!
REPLY QUOTE
Математика для чайников №3 17 Март 2017 18:44 #617

Хайдук

ув. инфолиократ вычерпанию Байкала не поверит :lol:

Математика для чайников №3 17 Март 2017 19:09 #618
onedrey

Он просто не видел Конфуция

ОКАЗАЛОСЬ, что я все-таки прав: молекула воды не может бесконечно математически уменьшаться...

Там даже подсчитали, что меньше чем 100 грамм вычерпается только таким наперстком....

КвантоФорум :: Математика для чайников №3 (21/21)
quantoforum.ru http://quantoforum.ru/mathematics/2341-matematika-dlya-chajnikov-3?start=600#383649

[хожиакбар]

Вообще, миром правят числа, т.е. математика.
Т.е. математика это бог. Закономерности и связи математики есть и в действительности.Люди не способны их увидеть в действительности.
А кто их увидит тот приближается к богу.
:blink:

[alisherk]

Математика, почти как всеобщая методология, равноприемлемая для любых философий идеологий и цивилизаций (разве кроме народа ПИРАХА)...

злоупотребляли сегодня вечером?

[infoliokrat]

Математика, почти как всеобщая методология, равноприемлемая для любых философий идеологий и цивилизаций (разве кроме народа ПИРАХА)...

злоупотребляли сегодня вечером?
Чуть-чуть антибиотик - ТРИ таблетки в упаковке на весь курс лечения. См.
http://planeta.by/article/1488
У них в языке ТРИ гласных и восемь согласных... практически полностью лишен абстрактных понятий, таких как время, счет...

З павагай да неабыякавых

[infoliokrat]

Скоро лето, и от этого становится немножечко теплей (тут сейчас 1 градус Цельсия). А как сказал кум: все меньше времени остается для живого общения.
Что-то, наверно не только из-за поста, этот раздел форума "простаивает". Вот заглянул в профиль предыдущего пользователя, прочитал что в его стране На Арубе говорят на языке папьяменто, а также на английском, нидерландском и испанском. ― Google, вспомнил классическое: не понимают люди друг друга не потому что не могут, а потому что не хотят.

Предвижу мнение специалистов и "специалистов": а при чем здесь Гармонический ряд?
Так все дело в понятии ГАРМОНИЯ. В 1992 году придумывал свою инфолиократность (первоначально "триализм", потом "логософия", но после критики дфн завкаф, проф. местного техуниверситета - царства ему небесного, пришлось выбрать иное название предполагаемой гипотетической всеобщей методологии, ради которой и предположил дискретность и счетность всего,для чего и придал единичную систему счисления (запись любых чисел только 1й цифрой с разделительным знаком в одну строку) и предположил существование ОБРАТНОГО ФАКТОРИАЛа для любого положительного числа = инфолиофакториал, из-за которого и оказался на этом форуме).
Желающие использовали уже понятие триализма, тетра, пента и прочей кратности. Например: https://peacefromharmony.org/?cat=ru_c&key=543 Один из разработчиков, будучи кфн, на конференции местного педагогического университета, прочитав https://archive.is/73Lqv IKS– IНФОЛIЯКРАТНАЯ КАРЦIНА СУСВЕТУ
Страница 70. Тезисы Республиканской
научно-практической
конференции
(27-28 мая 1996 года)

В двух частях. Часть II.

Карнейчук М.С. (Брест)

Фiласофскiя плынi, нават з дапамогай сучасных iнфармацыйных тэхналогiй не знаходзяць адназначных цi верагодных адказаў на ўсеагульныя або агульначалавечыя пытаннi, якiя ляжаць у падмурку адвольных i ўсемагчымых фiласофскiх школ, канцэпцый i падыходаў. Многiя фiласофii застаюцца рабынямi сваiх функцый, накшталт уладкавання цi добраўпарадкавання сусвету.

Гэтыя абставiны дазваляюць выказваць меркаванне аб недасканаласцi ўсеагульных сучасных падыходаў: манiстычных, дуалiстыцных цi плюралiстычных, а таксама вылучыць чарговую “унiверсальную” гiпотызу – “трыялiзм”, якi ў рамках прынцыпа iнфолiякратнасцi мае права на iснаванне такое ж, як i iншыя.

Трыяда, як вядома, выкарыстоўвалася Гегелем як асноўны спосаб пабудовы фiласофскай сiстэмы... приглашал на саратовскую конференцию, после которой и появились тетрафилософия ... З павагай да неабыякавых