Как простыми словами объяснить простому человеку, что такое мнимые числа?

[tutusik]

Как простыми словами объяснить простому человеку, что такое мнимые числа, и где они применимы практически?

[alisherk]

Как простыми словами объяснить простому человеку, что такое мнимые числа, и где они применимы практически?
простому человеку мнимые числа не нужны.
никак не можете освоить?

[Eugenie]

Разве они бывают? вам это кажется! мнится, то есть )

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Как простыми словами объяснить простому человеку, что такое мнимые числа, и где они применимы практически? Я все надеюсь, что скоро запишу и выложу видео с рассказом про это.
Применяются комплексные числа в электротехнике/радиотехнике и при рисовании фракталов! :-0)
Пусть простой человек приедет если срочно, расскажу :-0)
Это обалденно красивая часть математики!

Пока можно прочесть http://arbuz.uz/z_complex.html

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Как предметно объяснить, то что предметно вроде бы не существует. Есть хороший пример: это как шахматы, люди сами придумали фигуры и правила... и математики изучают получившуюся модель веками :-0) + спорт + искусство

[Nadir Zaitov]

Как простыми словами объяснить простому человеку, что такое мнимые числа, и где они применимы практически?Ой, какой не простой вопрос.

Тут историю нужно рассказывать. "Мнимые числа" - это ведь устоявшееся название и не более. Некогда математики обнаружили, что удобно оперировать не простым набором чисел - т.е. теми, которые мы сейчас называем "действительными", а некоторым большим набором (другой "алгеброй" как говорят). Предположили, что среди чисел есть еще и число i, обладающее свойством i × i = -1. Обычно то квадрат любого числа положителен и в "действительных" числах такого "числа" нет! Такое число стали называть мнимой единицей, а комбинацию действительного и мнимого числа (это когда мнимую единицу умножают на действительное число, точнее приписывают к действительному числу символ i) - "комплексным числом".

Как позже выяснилось, у такого расширения много полезных свойств:
1) В физике - это активное и реактивное сопротивление, которые оказывается существенно легче записать через комплексные числа и использовать "комплексную" математику для расчетов.
2) Поворот вектора на плоскости вокруг некоторой точки можно свести к произведению и сложению комплексных чисел. И вообще вся двумерная графика - суть комплексные числа - математика на основе комплексных чисел позволяет гарантировать правильность поворота и не надо всегда заботиться о векторах или их вырожденности.
3) Отлично комплексные числа применяются в гидродинамике.
4) Скажем такая задача как определение входит ли некоторая точка в область, описанную набором других точек легко и просто решается методами теории чисел комплексного переменного, а вот сделать алгоритм разумный через обычные математические методы, доступные нам скажем по программе 10-летней школы - поверьте задача не простая. Особенно, если, как выясняется, многочлен имеет пересечения сторон или завитки вокруг искомой точки.
5) Решение уравнений третьей степени (кстати именно с них все и началось) часто не обходится без мнимых чисел.

[Nadir Zaitov]

Это сделали случайно? (как это было в случае многих открытий) Или же решали конкретную задачу? Или решали фундаментальную совершенно абстрактную задачу?Решение уравнений третьей степени (кстати именно с них все и началось) часто не обходится без мнимых чисел.
Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению. Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни многочлена выражаются через кубические корни из мнимых величин)
Сейчас в Википедии (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D 0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE) вычитал:Лейбниц, например, писал: «Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы».Я бы не сказал лучше. Очень здорово сказано.

[Nadir Zaitov]

Предметной аналогии/иллюстрации отношениям, выражаемым этими числами в предметном мире просто нет? Я правильно Вас понял?1. Почему? Наоборот - математика на плоскости (комплексные числа) становится более понятной, чем математика на прямой (действительные числа). Например, в комплексных числах все многочлены N-го порядка имеют всегда ровно N решений.
2. Примеры с гидродинамикой или с электропроводимостью Вас не устроили? Вы можете представить, что у предмета есть 2 уровня сопротивления или электропроводимости.

[Nadir Zaitov]

Вы гидродинамику упоминали, но ответ не развернули.Допустим вы хотите узнать как будет вести себя поток жидкости при встрече со стеной, не полностью перегораживающей поток. В обычной жизни нужно решать дифуры (иногда в частных производных и не совсем простые) и смотреть где и какие будут скорости и завихрения. А в случае с комплексными числами - преобразовать отображением (конформным) плоскость в объект, похожий на русло жиидкости - и вуаля - все линии течения получаются из прямых, параллельных грани полуплоскости...

В Википедии узнал, что это не только гидродинамика, но и все съожие дисциплины: Конформное отображение применяется в картографии, электростатике, механике сплошных сред (гидро- и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др.).

[Nadir Zaitov]

Хотя интересно, может кто-нибудь все таки сумеет найти простую и элегантную аналогию? Это как прямая и плоскость. Прямая действительные числа, Плоскость - комплексные числа.
На прямой -точки. На плоскости - векторы.
Сложение векторов = сложению комплексных чисел.
Умножение комплексных чисел - это сумма поворотов векторов относительноначала координат и оси OX, а длинна такого вектора = произведение длинн векторов сомножителей. Теперь понятнее?

[German Stimban]

Если надо просто объяснить что такое комплексное число, я бы начал так.

У тебя есть 1000 сумов и 55 монгольских тугриков. Их нельзя напрямую сложить и получить 1055 денежных единиц. К ним можно прибавлять как сумы, так и тугрики. Но в обычной жизни, тугрики тебе нафиг не нужны и только в специфических областях без них никак не обойтись.
ИМХО, вполне доступно чтобы просто понять что такое действительная, что такое мнимая часть.

[Nadir Zaitov]

А мнимая часть (как обозначено выше), это вектор с началом в 0, который параллелен оси У. Так? i - это символ поворота против часовой стрелки на 90°.

Все мнимые числа - повернутые на 90 градусов (относительно начала координат) действительные числа.

Что будет если повернуть на 180°? Правильно - положительное число перейдет в отрицательное - это и говорит формула i^2=-1 Т.е. если умножить на i два раза - то будет поворот на 180 градусов, что эквивалентно умножению на минус единицу.

Что будет если повернуть на 360°? Правильно - число не изменится. Это же и говорит формула i^4=(-1)^2=1, Т.е. если умножить на i четыре раза - то будет поворот на 360°, что эквивалентно умножению на единицу.

Так понятнее?

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Очень красивые картинки дает извлечение корня n-й степени из 1 — это будет n-угольник, а из -1 тоже n-угольник, но повернутый относительно первого, когда-то развлекался.

[Andrews]

Ведь у ноля, как правило, есть единица измерения. Например, ноль денег и ноль вольт разные величины, хотя обоих их НЕТ!
По правилам физики у нуля НЕТ единицы измерения !!!!

[Aziz Rakhimov]

Ведь у ноля, как правило, есть единица измерения. Например, ноль денег и ноль вольт разные величины, хотя обоих их НЕТ!
По правилам физики у нуля НЕТ единицы измерения !!!!

А можно пруфлинк ?

Правильно ли я понимаю, что, раз так, 0 градусов Цельсия и 0 градусов Кельвина - одно и то же ?

[Shuhrat Ismailov]

Но тогда как разрешается:
SQR (-1) = ???

Будем считать, что вектор на плоскости отождествлен с парой чисел http://latex.codecogs.com/gif.latex?(x,y)
Каждое действительное число http://latex.codecogs.com/gif.latex?a- это пара http://latex.codecogs.com/gif.latex?(a,0)
Для любых двух векторов http://latex.codecogs.com/gif.latex?(x,y),&space;(x',y'), помимо покоординатного сложения и умножения на действительное число введем операцию умножения
http://latex.codecogs.com/gif.latex?(x,y)\cdot&space;(x',y')=(xx'-yy',xy'+yx')
Отсюда для вектора http://latex.codecogs.com/gif.latex?i=(0,1)
имеем http://latex.codecogs.com/gif.latex?i^{2}=(0,1)\cdot(0,1)=-(1,0)=-1

[Aziz Rakhimov]

Все равно интересно поискать и найти предметную аналогию, если есть в математике, то должно быть и в природе.

Аналогия может оказаться так далека и неочевидна, что аж ой. Аналог групп Галуа, например, - это кубик Рубика. И вообще, математика НЕ требует явных аналогий в природе. Впрочем, это предмет ломания копий ученых 18-19 веков. Странно при этом одно - все математические, читсо абстрактные теории, рано или поздно нахоядт применение в физике, в реальной жизни.

Комплексные же числа родились из элементарной операции - замыкания поля вещественных чисел относительно умножения. То есть тупо задумались над тем, чтобы операция возведения в квадрат (умножения себя на себя) стала обратимой ДЛЯ ВСЕХ вещественных чисел.

А отражение на плоскости и тд - это уже следствия, очень удобные. Это применение в реальном мире.

Самые же удивительные свойства комплексных функций - это то, что из ее дифференцируемости автоматом следует дифференцируемость бесконечное число раз, и по небольшой области можно восстановить всю функцию. Вот это применяется очень широко. В тех же расчетах ламинарных течений и тд.