Последовательности, стремящиеся к нулю

[николай москвитин]

Тема "расслабительная"-специально для ЕС :)...но очень важная для меня. Это не задача, а задание: пусть все вспомнят, какие они знают последовательности, стремящиеся к нулю. И задание посерьёзней: определить, какая из них быстрее стремится к нулю. Далее: рассмотрим последовательность {an}, в которой все члены меньше каждого соответствующего по номеру члена одной из найденных последовательностей. Доказать, что такая последовательность также будет стремиться к нулю. Сам полного ответа не знаю, прошу помощи. :)

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Это не задача, а задание: пусть все вспомнят, какие они знают последовательности, стремящиеся к нулю. И задание посерьёзней: И еще более серьезное задание: найти последовательность, сумма членов которой стремится к нулю! :-0)

[николай москвитин]

И еще более серьезное задание: найти последовательность, сумма членов которой стремится к нулю!
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0......................... ........:)

[Evgeniy Sklyarevskiy]

0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0.. ну зачем же так? :-0)

1/2 -1/4 + 1/8 - 1/16.... или я ош?

[николай москвитин]

1/2 -1/4 + 1/8 - 1/16.... или я ош?
Думаю, эта не подходит,т.к. часть (1/8-1/16...) больше нуля. Получится сумма членов геом. прогресси со знаменателем 1/4...Итак, одна из требуемых последовательностей- бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Ещё есть гармонический ряд 1|n^s. (Мне важна не сумма, а лишь сами слагаемые). Но есть ли принципиально другие последовательности, стремящиеся к нулю?

[Nadir Zaitov]

1/2 -1/4 + 1/8 - 1/16.... или я ош?Очевидно ош!
Когда?

Правильно было бы так:

1/2 -1/4 - 1/8 - 1/16....

У Вас получилось так: 1/4 + 1/16 + 1/64 ..., что имеет очевидно положительный предел!

[Nadir Zaitov]

0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0........Попробуйте найти последовательность, которая стремиться к нулю быстрее!!!!

[Shuhrat Ismailov]

Далее: рассмотрим последовательность {an}, в которой все члены меньше каждого соответствующего по номеру члена одной из найденных последовательностей. Доказать, что такая последовательность также будет стремиться к нулю. Сам полного ответа не знаю, прошу помощи.
Это утверждение следует из леммы о двух милиционерах, Надир знает.

[Nadir Zaitov]

Это утверждение следует из леммы о двух милиционерах, Надир знает.Не следует. "Нижнего" милиционера нет!

См. внимательно:
Далее: рассмотрим последовательность {an}, в которой все члены меньше каждого соответствующего по номеру члена одной из найденных последовательностей.

Пусть есть последовательность {an} стремящаяся к нулю.
Тогда последовательность {an}-1 по определению удовлетворяет условию, но стремится к (-1).

Правильная формулировка должна быть такой:
Далее: рассмотрим последовательность {an}, в которой все члены меньше каждого соответствующего по номеру члена одной из найденных последовательностей по модулю.

[b_a_lamut]

Пусть есть последовательность {an} стремящаяся к нулю.
Тогда последовательность {an}-1 по определению удовлетворяет условию, но стремится к (-1).

А как же Зенон и его парадокс с лягушкой? :shok:

Я к тому, что всегда будет величина, по ту или другую сторону от нуля, но до нуля так и не дойдёт.

[николай москвитин]

всегда будет величина, по ту или другую сторону от нуля, но до нуля так и не дойдёт. По крайней мере будет известно, что она хоть как-то уменьшается. :) А то просто убывающая последовательность может уменьшаться на ничтожнейшие количества, и это ничего не даст.

[b_a_lamut]

По крайней мере будет известно, что она хоть как-то уменьшается.

Давайте обратимся к классику и привяжем задачу к реальным условиям, при этом несколько дополнив условие эксперимента. Допустим, что у нас тоже есть стальная труба и лягушка. Диаметр трубы равен 50 см, длина 2 м, а лягушка может прыгать на 50 см в длину. Предложим лягушке уменьшаться ровно в два раза после каждого прыжка. Длина прыжка при этом будет уменьшаться соответственно. Объясним ей, что как только она перепрыгнет через середину трубы, то с каждым следующим прыжком она станет соответственно увеличиваться и спокойно выпрыгнет на волю. Это дополнение сделано для того, чтобы лягушку можно было запустить с любого конца трубы и не запутаться в модулях.
Думаю, что как бы лягушка не кувыркалась, до середины она не доскачет, а в конце концов не рассчитает силы, недопрыгнув с одной молекулы на другую. При этом, она провалится между этими молекулами и выпадет из трубы, ударяясь об встречные атомы, но так и не закончит эксперимент.
К тому же, в истории уже был подобный случай. :shok:

[николай москвитин]

Давайте обратимся к классику
У нас есть и другие классики. :) А имел в виду я то, что мы знаем закон убывания в одном случае и не знаем его в другом. Хотя, если так рассуждать, можно дойти вообще до отрицания движения (беря очень маленькие расстояньица и применяя то же рассуждение). К чему я это всё? Мне просто нужно доказать, что некая последовательность стремится к нулю (если хотите, могу выписать её формулу). Просто убывание никакого закона не даёт, и поэтому последовательность может остановиться, допустим, на 999999/1000000. :)

[b_a_lamut]

и поэтому последовательность может остановиться, допустим, на 999999/1000000.

Наверное, чтобы, в данном случае, остановить последовательность, достаточно доказать, что бесконечно малая величина при последующем уменьшении, перестанет быть величиной :)

p.s. интересно, в приведённом допущении, стоит ли поменять числитель с знаменателем? Впрочем, я в этом всё равно ничего не понимаю :)

[николай москвитин]

p.s. интересно, в приведённом допущении, стоит ли поменять числитель с знаменателем?
Мне нужно загнать её в 0, а Вам больше нравится 1 :) Вообще, любое число можно представить как 1-что-то вроде точки отсчёта, тем более, если оно неизвестно, что как раз наблюдается в моём случае.
так и не закончит эксперимент.
Дело в том, что тело не может быть бесконечно мало, и за счёт своего размера оно и проходит в какой-то момент заданный промежуток.

[b_a_lamut]

Дело в том, что тело не может быть бесконечно мало

Эх, любое бесконечно малое тело можно распилить пополам, если иметь подходящий инструмент.

[николай москвитин]

любое бесконечно малое тело можно распилить пополам Предлагаю вывести закон Вашего имени: k/2^n=0 :):):) Нравится ? :)

[b_a_lamut]

любое бесконечно малое тело можно распилить пополам Предлагаю вывести закон Вашего имени: k/2^n=0 :):):) Нравится ? :)

Небось нецензурщина какая-нибудь математического характера :shok:

К тому же, противоречит моим убеждениям: скорее не равно нулю, нежели равно. :)

А удачная попытка разделить бесконечно малое тело, если ошибочно считать его таковым, уже была однажды. Последствия Большого взрыва мы до сих пор ощущаем на себе. А чудаков на свете много, мало ли кому придёт на ум повторить опыт. Прецеденты уже есть, правда пока неудачные. Что то там с пилой не заладилось. Думаю, что придётся самому этим заняться :)

[николай москвитин]

скорее не равно нулю, нежели равно.
Вот мы и пришли к противоречию! Вы утверждаете, что число не может быть равным нулю, и сами же пытаетесь сделать его таковым. Согласитесь, что сколько бы мы не разделяли количество- положительное число- оно не может стать нулевым, а из этого следует решение проблемы Зенона.

[b_a_lamut]

Вот мы и пришли к противоречию! Вы утверждаете, что число не может быть равным нулю, и сами же пытаетесь сделать его таковым.

Ой, на всём протяжении диспута, я даже и не пытался этого сделать. Лягушка мне свидетель :)

[Nadir Zaitov]

Я к тому, что всегда будет величина, по ту или другую сторону от нуля, но до нуля так и не дойдёт.Некоторые вещи имеют дискретную природу, например деньги - они могут быть и нулевыми!

[Nadir Zaitov]

А как же Зенон и его парадокс с лягушкой?К тому же, в истории уже был подобный случай.http://lib.rus.ec/b/181456/read
Вам тоже не надоест спорить об этом? Это именно этот классик?

[Evgeniy Sklyarevskiy]

например деньги - они могут быть и нулевыми! Не надо приводить грустные примеры :-0)

[Nadir Zaitov]

Не надо приводить грустные примеры В последнее время этот пример меня все более беспокоит!
Скорость, с которой уходят деньги постепенно стала превышать скорость их появления в 2 раза. На исходя из парадокса Зеона они ведь у меня никогда не кончатся? Так? ;)

[Nadir Zaitov]

Есть пояснение Фёдора Демидова к книге "О неутомимой лягушке (http://lib.rus.ec/b/181456/read)" (Филип Киндред Дик)
Дорогие друзья! Только что вы прочитали рассказ о неутомимой лягушке и необычных экспериментах профессоров Харди и Гроута, цель которых — проверка парадокса Зенона. Возможно, раз шутливый рассказ оставляет это без ответа, у вас возник вопрос: кто же все-таки прав? На первый взгляд лягушка действительно должна добраться до конца, но, следуя логике, и профессор Харди прав. И в этом стоит разобраться, потому что в основу рассказа в самом деле положена очень крупная теоретико-познавательная проблема, выражающая сложность и недостаточную еще изученность движения как способа существования материи.

Древнегреческий философ Зенон Элейский еще в V веке до н. э. одним из первых обратил внимание на противоречивость движения. Им были сформулированы так называемые апории (греч. — затруднение, недоумение). Это, в частности, «Ахилл и черепаха», «Стрела», «Дихотомия» и «Стадий»; в этих апориях философ ставил далеко не праздный вопрос: истинно или ложно наше понимание движения? Общее решение апорий Зеноном отрицательное. Поскольку наши представления о движении противоречивы, постольку движение, по мнению мыслителя, неистинно.

В основу настоящего рассказа положена апория «Дихотомия», то есть рассечение на части. Ее смысл таков. Движущийся к цели, например, вышедший из пункта А в пункт Б человек сначала должен пройти половину пути к ней, а от этой половины сначала ее половину и так далее без конца. Словом, как бы она ни была мала, всегда будет оставаться какая-то величина, половину которой надо пройти... Из этого Зенон делал вывод, что путник никогда не доберется до цели своего путешествия, а следовательно, движение, как таковое, ложно.
Основываясь на этой апории, автор фантастического рассказа, однако, усложнил ситуацию, добавив совершенно фантастический элемент, «Особое поле» уменьшает размеры самого движущегося объекта, таким образом условия опыта отличаются от классических, описанных Зеноном, но существа дела это не меняет. Ни лягушка, ни профессор Гроут так и не добираются до цели путешествия, а «проваливаются» через кристаллическую решетку материала трубы. Эксперимент, таким образом, не дает ответа на вопрос, насколько же прав Зенон в своих утверждениях.
Так где же все-таки истина? Ответ на вопрос не так прост. Все дело в том, что в «Дихотомии», а равно и в других апориях, как в фокусе, отражена вся сложность, многообразие и противоречивость самого явления движения и как способа бытия материального мира, и как отражения этого процесса в мышлении.

Ограниченность понимания Зеноном движения заключается в том, что он рассматривает его как нахождение тела в данный момент в одном месте, а в следующий - в другом. Но это характеристика не самого движения, а его результата. Такой подход весьма упрощен, ибо он изображает движение лишь как сумму состояний покоя, не более. В действительности же движение есть любое изменение. Двигаться — означает быть в этом месте и в то же время не быть в нем. Это непрерывность пространства и времени, и именно она делает возможным движение.

В апории «Дихотомия» противоречивость движения выражена в логической форме, то есть в виде понятий, суждений и умозаключений. Но ни одно логическое описание объекта, в нашем случае — движения, не дает исчерпывающей картины, не воспроизводит и не может с абсолютной достоверностью воспроизвести ее такой, какая она есть в действительности. Обращая внимание на это обстоятельство при разборе парадоксов Зенона в «Философских тетрадях», В. И. Ленин писал; «Мы не можем представить, выразить, смерить, изобразить движение, не прервав непрерывного, не упростив, угрубив, не разделив, не омертвив живого. Изображение движения мыслью есть всегда огрубление, омертвление...» Апория «Дихотомия» и есть такое огрубление; деление, ограничение непрерывного и бесконечного движения.
Таково наиболее общее материалистическое истолкование апорий Зенона. Труднее дело обстоит с раскрытием конкретного физического смысла данного парадокса. По мере все более глубокого проникновения в тайны материи наши представления о движении будут обогащаться и уточняться. Но апории Зенона навсегда останутся мудрым напоминанием необходимости научного дерзания всем, кто постигает тайны природы. Кстати, примером этому служат и герои рассказа: ведь, несмотря на шутливость ситуации, оба предстают подлинными исследователями...

Фёдор ДЕМИДОВ, кандидат философских наук
Почитал и мне стало тошно от философского подхода к физике и математике.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Скорость, с которой уходят деньги постепенно стала превышать скорость их появления в 2 раза. На исходя из парадокса Зеона они ведь у меня никогда не кончатся? Так? Сюда лучше подходит задача с ванной, наполняемой из крана с открытым стоком... когда вся вода вытечет?

[Nadir Zaitov]

Сюда лучше подходит задача с ванной, наполняемой из крана с открытым стоком... когда вся вода вытечет?Ванна в этой теме оффтоп! ;)

[николай москвитин]

(ссылка на Надира!) "Почитал и мне тошно стало..."
ссылка вручную :)
Правильно! Математика должна использовать только свои методы.
Выписываю теперь жутчайшую формулу моей последовательности.

an=p-scrt(q^2+r^2-r*(2q^2-p*(q^2-r^2+(p-a(n-1))/(p-a(n-1))))/scrt(q^2+p^2-p*(q^2-r^2+(p-a(n-1))^2)/(p-a(n-1)))) Уф! Вроде ничего не напутал.

a(n-1)-величина с индексом, p,q,r-целые числа, p< r<q.

[николай москвитин]

Ну ла-адно! Упрощаю чуть-чуть. Давайте заменим одинаковые части, не содержащие члена последовательности, на буквы-это не изменит доказательство.

Пусть q^2+r^2=b, q^2+p^2=c,q^2-r^2=d.
Тогда:
an=p-scrt(b-r*(2q^2-p*(d+(p-a(n-1))^2)/(a(n-1))/scrt(c-p*(d+(p-a(n-1))^2)/(p-a(n-1)))
Лучше стало? :)

[Nadir Zaitov]

scrt(sqrt

[b_a_lamut]

sqrt

Пример с деньгами мне больше понравился. Они имеют хаотичную и непредсказуемую последовательность с множеством коэффициентов :)

[b_a_lamut]

Почитал и мне стало тошно от философского подхода к физике и математике.

Отображение сути :) (http://balamut.uz/?p=838) Измышлизмы Б.А.Ламута

[николай москвитин]

Пример с деньгами мне больше понравился.
Да мне вот тоже неохота доказывать...:)Самое интересное, что на практике утверждение выполняется. Это ведь из одной задачи на построение, метод я знаю, вот только доказать не могу. А эту формулу я вывел из нескольких, последовательно применяя теорему косинусов. Но это уже, как говорится, другая страница жизни. :)

[b_a_lamut]

А эту формулу я вывел из нескольких, последовательно применяя теорему косинусов.

Зачем такие сложности? Если отделить мух от котлет математику от физики, то результаты будут противоположными, причём, каждый будет прав. Ещё один парадокс.

Смотрите ссылку в предыдущем комментарии.

[николай москвитин]

Зачем такие сложности?
Если в лоб решать, придётся несколько раз возводить в квадрат, если не все 10. Вы представляете, что это будет...Даже если гениально упрощать, это нельзя делать в начале, иначе, как я проверил, ничего не сократится. (т.е. как раз нельзя ничего заменять). Фактически нужно доказать, что члены этой страшной последовательности либо принадлежат геометрической прогрессии, либо гармоническому ряду, либо наблюдается случай с теоремой о милиционерах. Но для этого надо банально подставить их в формулы соответствия членов. (Напр., a2^2>=a1*a3).

[b_a_lamut]

Даже если гениально упрощать, это нельзя делать в начале, иначе, как я проверил, ничего не сократится.

Для решения задачи, стОит математикам привлечь физиков, чтоб те раскрутили какой-нибудь волчок или, на худой конец, - юлу. Объекты вынуждены будут вращаться с уменьшающейся скоростью и в конце концов им придётся остановиться. Математики сделают сложные расчёты в виде формул, а физики им поверят и между ними наступит мир и взаимопонимание на благо науки :)

[николай москвитин]

Для решения задачи, стОит математикам привлечь физиков Нет, она оказалась не столь сложна. Мне удалось полчаса назад загнать эту упрямейшую последовательность в 0! У меня имелось 2 последовательности {an} и {bn}(b1>a1),составляющие убывающую последовательность, члены которых чередуются. Я воспользовался нер-вом a1^2>=b1*b2 (все члены строго положительные-я это не упомянул, но это так), возвёл обе части в квадрат, затем перенёс нужные слагаемые так, что в одной части оказалась сумма, большая нуля, а в другой-сумма, его меньшая(причём именно в нужном для меня соотношении). Ну и всё! (Фактически я вёл доказательство от противного).