Равноудалённый от трёх

[николай москвитин]

17 июня 2011 придумал я такую вот задачу:

дан четырёхугольник ABCD с прямыми углами ABC и ADC. Он обладает следующим свойством: биссектриса угла CAB- ΑΕ (E принадлежит BC) параллельна стороне CD. Проведены диагонали AC и BD, причём BD пересекает AE в точке F. Из F восстановлен перпендикуляр к AE. Перпендикуляр пересекает CD в точке G.

Требуется доказать, что G равноудалена от вершин треугольника AEC.

[b_a_lamut]

дан четырёхугольник ABCD с прямыми углами ABC и ADC.

Это прямоугольник? Не могли бы нарисовать, а то я в буквах запутался :)

[николай москвитин]

дан четырёхугольник ABCD с прямыми углами ABC и ADC.

Это прямоугольник? Не могли бы нарисовать, а то я в буквах запутался :)
Нет, не обязательно прямоугольник.Нарисовать не могу, просто потому что пока не умею. Даю указание: начинать не с четырёхугольника, а с прямоугольного треугольника (собственно задачка сначала была в этом контексте). Рисуете прямоугольный треугольник ABC(Β-вершина прямого угла). Проводите биссектрису AE. Через точку С проводите прямую, параллельную ΑΕ. Через A проводите перпендикуляр к этой прямой. Получаете при пересечении перпендикуляра с прямой вершину D искомого четырёхугольника. Дальше легко.(как видите, прямоугольником он будет только тогда, когда острый угол прямоугольного треугольника CAB будет 60 (30) градусов.)
Такая вот задачка-ещё и на построение! :) И ещё: лучше,чтобы A было внизу рисунка.

[николай москвитин]

Нет, не обязательно прямоугольник.
т.е. нет, вообще не может быть прямоугольником (составьте уравнение: 90-a=/=90-2a)

[b_a_lamut]

Вот, для облегчения решения :)

https://img.uforum.uz/images/jtokpbz3791976.jpg

[Nadir Zaitov]

17 июня 2011 придумал я такую вот задачуИнтересно, как Вы до нее дошли? Просто интересна сама цель.

[николай москвитин]

Интересно, как Вы до нее дошли? Просто интересна сама цель.

Цель-если честно- придумать что-нибудь поинтереснее, посложнее и покрасивей. Для этого берётся произвольно любая фигура, которая наиболее в данный момент почему-то интересна (в данном случае это был прямоугольный треугольник), и дальше к ней добавляются другие фигуры, потом замечаешь какое-нибудь простенькое свойство. Я заметил. Затем я решил усложнить (на основе уже доказанного). Т.е. совершенно случайно обнаружилась комбинация (на основе ещё одной теоремы), характерная для некоторых элементов, которая натолкнула меня на мысль: возможно ли усилить эту теорему так, чтобы другой элемент обладал похожим свойством? Ну и скомбинировал свойства фигур:)

[николай москвитин]

какое-нибудь простенькое свойство

В общем, подумайте, какие свойства могут быть у данного в задаче четырёхугольника, у прямоугольного треугольника, и т.д. Подумайте, как они связаны с равноудалённостью точки от трёх вершин. Или другой путь: подумайте, что необходимо, чтобы выполнялось утверждение задачи, а затем докажите это как лемму.