Просмотр полной версии : Круг на сети
Nadir Zaitov
28.05.2011, 04:08
Плоскость разлинована в клеточку 1×1 см. Пересечения линий назовем узлами.
1. Нужно найти радиус круга (круг включает свою границу - замечание для дотошливых математиков), чтобы:
Кругом можно было покрыть не более одного узла.
Кругом можно было покрыть ровно два, но не более двух узлов.
Кругом можно было покрыть ровно три, но не более трех узлов.
...
Кругом можно было покрыть N, но не более N узлов.
2. Для какого N круга соответствующего диаметра не существует?
3. Нужно найти радиус круга, чтобы:
Кругом можно было покрыть ровно два и не менее двух узлов.
Кругом можно было покрыть ровно три, но не менее трех узлов.
Кругом можно было покрыть ровно четыре, но не менее четырех узлов.
...
Кругом можно было покрыть N, но не менее N узлов.
Барбедо, думаю, оценил бы задачку
николай москвитин
28.05.2011, 22:26
Нужно найти радиус круга
Гипотеза: радиус круга для первого пункта должен быть меньше радиуса или равен радиусу описанной окружности фигуры, образованной узлами- но это,возможно, необходимое, но недостаточное условие. Также и для третьего пункта, только там он должен быть больше...
Shuhrat Ismailov
29.05.2011, 11:58
Барбедо, думаю, оценил бы задачку
Похожа на классичесую проблему круга
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/2551/КРУГА
Гипотеза: радиус круга для первого пункта должен быть меньше радиуса или равен радиусу описанной окружности фигуры, образованной узлами
Сопоставим в соответствие окружности многоугольник целочисленный многоугольник.
Его площадь равна В + Г/2 − 1, где В количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г количество целочисленных точек на границе многоугольника.
Дальше нужно обсудить...
Nadir Zaitov
30.05.2011, 12:07
Дальше нужно обсудить...Зачем долго обсуждать? А вы обхватите 3 точки так, чтобы 4 не обхватить - уже тема для размышлений.
николай москвитин
30.05.2011, 22:34
А вы обхватите 3 точки так, чтобы 4 не обхватитьДля пункта 1 нельзя (так как наличие трёх узлов предполагает наличие четвёртого, дополняющего их до квадрата, в противном случае кругом можно покрыть только 1 или 2 узла), для третьего можно (возьмём квадрат 2X2 и впишем в него круг радиусом 1, затем сдвинем круг параллельным переносом на очень небольшое расстояние под углом 45 градусов к границам сетки:внутри него останутся только 3 узла).
николай москвитин
30.05.2011, 23:30
А вы обхватите 3 точки так, чтобы 4 не обхватитьДля пункта 1 нельзя (так как наличие трёх узлов предполагает наличие четвёртого, дополняющего их до квадрата, в противном случае кругом можно покрыть только 1 или 2 узла), для третьего можно (возьмём квадрат 2X2 и впишем в него круг радиусом 1, затем сдвинем круг параллельным переносом на очень небольшое расстояние под углом 45 градусов к границам сетки:внутри него останутся только 3 узла).
Для пункта 3 похоже тоже нельзя (применим опять параллельный перенос (достал!:)) к кругу на этот раз по горизонтали ровно на половину клетки: тогда в нём будет два узла.
b_a_lamut
31.05.2011, 01:18
Плоскость разлинована в клеточку 1×1 см. Пересечения линий назовем узлами.
https://img.uforum.uz/images/enpotpi7043809.jpg
С тремя узлами загвоздка получается.
b_a_lamut
31.05.2011, 14:50
С тремя узлами загвоздка получается.
Хотя нет. Никакой загвоздки. При такой раскладке перекрывает 3, 4 и 5 узлов.
https://img.uforum.uz/images/hormobi7254188.jpg
Осталось точнее определить пределы радиусов для каждого случая.
Nadir Zaitov
31.05.2011, 19:52
Для пункта 3 похоже тоже нельзяВ том то и дело, что большим радиусом можно покрыть 3 не покрывая 4, а радиусом меньшим - нельзя. Думайте!
Nadir Zaitov
01.06.2011, 10:21
С тремя узлами загвоздка получается.C тремя углами задачка тоже разрешима.
Вот картинки для "кругов" от 1 до 5.
https://img.uforum.uz/images/gzixohv4581871.jpg
Кстати, заметьте, что то, что круг, который накрывает четыре узла не всегда может накрывать ровно три, при этом есть Круги большего радиуса, которые накрывают три и четыре! Своего рода весьма не очевидный результат.
Хотя нет. Никакой загвоздки. При такой раскладке перекрывает 3, 4 и 5 узлов.Баламут. Браво! Не сразу разобрался в рисунке.
Nadir Zaitov
07.06.2011, 16:26
Исходя из того, что пока лбое число получается обхватить кругом, возникает вопрос: иррациональность числа Пи гарантирует ли, что для любого заведомо известного N существует круг такой, что в него попадут ровно N узлов сети?
b_a_lamut
07.06.2011, 21:23
Исходя из того, что пока лбое число получается обхватить кругом, возникает вопрос: иррациональность числа Пи гарантирует ли, что для любого заведомо известного N существует круг такой, что в него попадут ровно N узлов сети?
Могу и ошибаться, но, по крайней мере, N не может быть равно трём и восьми, т.к. любой круг закрывающий три узла, может закрыть и четвёртый, а любой круг закрывающий восемь узлов, может закрыть и девять. Дальше не проверял, но может быть это натолкнёт на выведение закономерности.
Shuhrat Ismailov
07.06.2011, 22:02
Исходя из того, что пока лбое число получается обхватить кругом, возникает вопрос: иррациональность числа Пи гарантирует ли, что для любого заведомо известного N существует круг такой, что в него попадут ровно N узлов сети?
Это известно. Это гарантирует иррациональность числа sqr(2), а не ПИ.
Рассмотрим целочисленную решетку и окружность с центром О = (sqr(2), 1/3) ( с любым радиусом).
Легко видеть что в этой окружности может лежать более одной целочисленной точки (узла).
Действительно, если m и n - целые числа, то (m – sqr(2))^2 + (n – (1/3))^2 = A – 2msqr(2), где A - рационально. Поэтому в случае когда есть две точки, такие, что
(m1 – sqr(2))^2 + (n1 – 1/3)^2 = (m2 – sqr(2))^2 + (n2 – (1/3))^2
Отсюда m1 = m2. Но по теореме Виета сумма корней уравнения (n – (1/3))^2 = d равна 2/3, поэтому лишь один корень может быть целочисленным.
упорядочим теперь радиусы окружностей с центром О, проходящих через целочисленные точки, в порядке возрастания:
R_1 < R_2 < R_3 < ......
Рассмотрим окружность радиуса R с центром О такую, что R_N < R < R_N + 1.
Внутри нее лежит ровно N целочисленных точек.
b_a_lamut
07.06.2011, 22:06
Опять же, предполагаю не настаивая, что все N в квадрате минус единица выпадают из задачи.
b_a_lamut
07.06.2011, 23:49
Рассмотрим окружность радиуса R с центром О такую, что R_N < R < R_N + 1.
Внутри нее лежит ровно N целочисленных точек.
Прошу прощения, как вы знаете, с математикой у меня нелады. Какой радиус будет при N=15 или при N=24?
Shuhrat Ismailov
08.06.2011, 15:01
Прошу прощения, как вы знаете
Не стоит извиняться, я сам не знаю.
Доказана типичная теорема существования.
b_a_lamut
08.06.2011, 17:19
Доказана типичная теорема существования.
Предполагаю, что, в этой теореме есть исключения. Кропотливое исследование показало, что при данных условиях, N не может быть равно 3, 8, 15, и 24. А вот при дальнейшем увеличении числа N, скорее всего появятся другие закономерности и появятся гораздо больше объектов не пригодных для существования в этих условиях. Наверное будет интересно найти и эти закономерности.
николай москвитин
08.06.2011, 23:35
N не может быть равно 3, 8, 15, и 24.
А Вы проверьте методом "параллельного переноса", который я предложил. Обхватываете квадрат 3X3 и сдвигаете в любую сторону. При этом один из узлов непременно убежит вслед за угловым:) Заметьте,что в задаче даны два случая, и указанные Вами числа соответственно относятся только к первому пункту. Что если радиус уменьшить? Да Вы представьте в конце концов все квадраты такими же единицами!!! Тогда достаточно будет доказать для одного случая. (т.е. четвёртый узел большого квадрата (угловой) обязательно войдёт в круг).
Предполагаю, что, в этой теореме есть исключения. Кропотливое исследование показало, что при данных условиях, N не может быть равно 3, 8, 15, и 24. А вот при дальнейшем увеличении числа N, скорее всего появятся другие закономерности и появятся гораздо больше объектов не пригодных для существования в этих условиях. Наверное будет интересно найти и эти закономерности.
В теоремах не может быть совершенно ни каких исключений...:) Просто в доказанной теореме есть дополнительные условия:
Рассмотрим целочисленную решетку и окружность с центром О = (sqr(2), 1/3) ( с любым радиусом).
-т.е. центр окружности располагается в совершенно определенном месте, но теорема ни чего не сообщает нам о свойствах при иных расположениях окружности (центр окружности располагаться в узле например и пр.)...:)
b_a_lamut
09.06.2011, 00:14
Заметьте,что в задаче даны два случая
Эх, для начала с первым пунктом бы разобраться :) Вот вы можете сказать цифрами, какой должен быть минимальный размер радиуса окружности, окружность которого закрывала бы 15 узлов, но при этом не могла закрыть 16.
В теоремах не может быть совершенно ни каких исключений... Просто в доказанной теореме есть дополнительные условия:
2. Для какого N круга соответствующего диаметра не существует?
Насчёт исключений - это я не правильно выразился :) Это не исключения, а второй пункт задачи :)
Насчёт исключений - это я не правильно выразился Это не исключения, а второй пункт задачи Доказать Ваше предположение попробуете? например наглядными иллюстрациями...:)
b_a_lamut
09.06.2011, 01:04
например наглядными иллюстрациями...
https://img.uforum.uz/images/fejkzad8498739.jpg
Nadir Zaitov
09.06.2011, 10:24
ShN, задача красиво решена.
Легко видеть что в этой окружности может лежать более одной целочисленной точки (узла). Меня смутило "в", скорее Вы доказали, что "на окружности" может быть только один узел.
(кстати, это ведь целочисленная задача, а решение по задумке подобно доказательству большой теоремой Ферма :))
Shuhrat Ismailov
09.06.2011, 12:05
Меня смутило "в", скорее Вы доказали, что "на окружности" может быть только один узел.
На каждой окружности лежит один узел, внутри окружности лежат N окружностей, значит внутри окружности лежит N точек
b_a_lamut
09.06.2011, 22:28
Доказать Ваше предположение попробуете?
Наташа, вот мне интересно, я вообще решаю ту задачу или не ту? Через свои заблуждения пришел к тому, что квадраты от 1х1 до 4х4 имеют одно решение, а, к примеру, 5Х5 уже другое.
https://img.uforum.uz/images/ymdjxch9855221.jpg
николай москвитин
09.06.2011, 23:07
квадраты от 1х1 до 4х4 имеют одно решение, а, к примеру, 5Х5 уже другое.
Я проверил: 2,5scrt2>3,5, т.е. в Вашем рисунке Никак ровно 25 точек не обхватишь, а ровным счётом 33 почему-то. Но ведь SHN уже решил задачу, разве нет?
Личное предположение: круг всегда обхватывает центрально-симметричную фигуру из узлов (или по крайней мере имеющую одну ось симметрии) Кто-нибудь сможет доказать или опровергнуть?
Наташа, вот мне интересно, я вообще решаю ту задачу или не ту?
Мне кажется -да, поскольку здесь
Кругом можно было покрыть ровно два, но не более двух узлов. ИМХО речь идет
о произвольной окружности радиуса R а не о частном случае...
ShN, задача красиво решена.
Не согласна -в задаче требуется вычислить радиус...:) -так каков он? -например для 3х узлов получается?...:)
b_a_lamut
09.06.2011, 23:22
Мне кажется -да, поскольку здесь
А как же быть с этим?
Кругом можно было покрыть N, но не более N узлов.
2. Для какого N круга соответствующего диаметра не существует?
Вот, скажем, нет диаметра круга, который бы покрыл 15 узлов, но не покрыл бы пр этом и 16.
b_a_lamut
09.06.2011, 23:30
Кто-нибудь сможет доказать или опровергнуть?
Неужто трудно посчитать диаметры для цифр которые я перечислил? Посчитайте и вы опровергните мои предположения. :)
Мне кажется -да, поскольку здесь
А как же быть с этим?
Кругом можно было покрыть N, но не более N узлов.
2. Для какого N круга соответствующего диаметра не существует?
Вот, скажем, нет диаметра круга, который бы покрыл 15 узлов, но не покрыл бы пр этом и 16.
Доказательство существования такого круга для любого натурального N уже приведено здесь:
Это известно. Это гарантирует иррациональность числа sqr(2), а не ПИ. Рассмотрим целочисленную решетку и окружность с центром О = (sqr(2), 1/3) ( с любым радиусом). Легко видеть что в этой окружности может лежать более одной целочисленной точки (узла). Действительно, если m и n - целые числа, то (m – sqr(2))^2 + (n – (1/3))^2 = A – 2msqr(2), где A - рационально. Поэтому в случае когда есть две точки, такие, что (m1 – sqr(2))^2 + (n1 – 1/3)^2 = (m2 – sqr(2))^2 + (n2 – (1/3))^2 Отсюда m1 = m2. Но по теореме Виета сумма корней уравнения (n – (1/3))^2 = d равна 2/3, поэтому лишь один корень может быть целочисленным. упорядочим теперь радиусы окружностей с центром О, проходящих через целочисленные точки, в порядке возрастания: R_1 < R_2 < R_3 < ...... Рассмотрим окружность радиуса R с центром О такую, что R_N < R < R_N + 1. Внутри нее лежит ровно N целочисленных точек.
осталось не решенным 1) и 3)...:)
николай москвитин
09.06.2011, 23:38
2,5scrt2>3,5,
Более точно: (2,5 scrt2)^2=12,5 ( я это получил по теореме Пифагора) Т.е смотрите: Ваш рисунок-правильный, поскольку радиус окружности равен расстоянию от центра квадрата до ближайшего узла вне квадрата. Может для доказательства гипотезы поместить центр круга в центре/на оси симметрии и доказать, что число узлов при этом максимально? Эта гипотеза между тем гарантирует, что те конфигурации узлов, которые не составляют симметричную фигуру, не годятся.
b_a_lamut
09.06.2011, 23:45
ИМХО речь идет
о произвольной окружности радиуса R а не о частном случае...
Так ведь, частный случай не должен противоречить условию.
Чтобы покрыть 43 или 42 узла диаметр круга должен быть больше гипотенузы квадрата 5х5, но этот же круг закроет и 44 узла. Или ошибаюсь?
b_a_lamut
09.06.2011, 23:56
Может для доказательства гипотезы поместить центр круга в центре
Как только вы назовёте диаметр круга, которым можно покрыть восемь узлов, но нельзя покрыть девять, вы тут же опровергните всё то, что я здесь нагородил :)
николай москвитин
10.06.2011, 00:10
Как только вы назовёте диаметр круга, которым можно покрыть восемь узлов, но нельзя покрыть девять, вы тут же опровергните всё то, что я здесь нагородил
Значит, не всякая центрально-симметричная фигура годится. Я проверил: поместил центр круга в центр прямоугольника 2X4. Он захватывает ещё четыре узла, но получаемая фигура центрально-симметрична.
Так ведь, частный случай не должен противоречить условию. Чтобы покрыть 43 или 42 узла диаметр круга должен быть больше гипотенузы квадрата 5х5, но этот же круг закроет и 44 узла. Или ошибаюсь? Да, по всей видимости Вы совершенно правы...:) (откровенно говоря постановку задачи не сразу поняла )
b_a_lamut
10.06.2011, 00:20
Значит, не всякая центрально-симметричная фигура годится. Я проверил: поместил центр круга в центр прямоугольника 2X4. Он захватывает ещё четыре узла, но получаемая фигура центрально-симметрична.
Наверное, необходимо найти закономерность для пункта 2 задачи, т.е. вывести формулу для всех N, диаметр окружностей которых невозможен.
Как я поняла задачу (возможно и не верно):
Плоскость разлинована в клеточку 1×1 см. Пересечения линий назовем узлами.
1. найти радиус, R такой чтобы выполнялись условия:
а)
-Существует круг радиуса R которым можно покрыть ровно 1 узел
-Любым кругом радиуса R можно покрыть не более 1 узла.
б)
-Существует круг радиуса R которым можно покрыть ровно 2 узла
-Любым кругом радиуса R можно покрыть не более 2х узлов.
в)
-Существует круг радиуса R которым можно покрыть ровно 3 узла
-Любым кругом радиуса R можно покрыть не более 3х узлов.
г)
-Существует круг радиуса R которым можно покрыть ровно N узлов
-Любым кругом радиуса R можно покрыть не более N узлов.
2. Для какого N не выполняются условия:
-Существует круг диаметра D которым можно покрыть ровно N узлов
-Любым кругом диаметра D можно покрыть не более N узлов.
3. найти радиус, R такой чтобы выполнялись условия:
а)
-Существует круг радиуса R которым можно покрыть ровно 1 узел
-Любым кругом радиуса R можно покрыть не менее 1 узла.
б)
-Существует круг радиуса R которым можно покрыть ровно 2 узла
-Любым кругом радиуса R можно покрыть не менее 2х узлов.
в)
-Существует круг радиуса R которым можно покрыть ровно 3 узла
-Любым кругом радиуса R можно покрыть не менее 3х узлов.
г)
-Существует закрытый круг радиуса R которым можно покрыть ровно N узлов
-Любым кругом радиуса R можно покрыть не менее N узлов.
круг везде включает свою окружность
Если конечно условие мною понято правильно, то в иллюстрациях Баламута содержаться решения 1а, 1б, 1в...:)
b_a_lamut
10.06.2011, 02:31
Если конечно условие мною понято правильно, то в иллюстрациях Баламута содержаться решения 1а, 1б, 1в...:)
Ой, я бы ответил немного по другому :)
Плоскость разлинована в клеточку 1×1 см. Пересечения линий назовем узлами.
1. найти радиус, R такой чтобы выполнялись условия:
а)
- Существует круг радиуса R которым можно покрыть ровно 1 узел?
- Да, если R меньше 0,5
б)
- Существует круг радиуса R которым можно покрыть ровно 2 узла?
- Да, если радиус больше 0,5 и меньше 1,4142
в)
- Существует круг радиуса R которым можно покрыть ровно 3 узла?
- Нет. Радиус окружности при котором покрывается три узла, может покрыть и один, и два, и три, и четыре узла.
г)
- Существует круг радиуса R которым можно покрыть ровно N узлов?
- Да, но не всегда.
2. Для какого N не выполняются условия:
- Существует круг диаметра D которым можно покрыть ровно N узлов?
- Да, но есть и такие, с которыми это не пройдёт. Например, N равные 3 и 4, 8 и 9, 15 и 16, 24 и 25, 42, 43 и 44, …
infoliokrat
10.06.2011, 11:51
в) - Существует круг радиуса R которым можно покрыть ровно 3 узла? - Нет. Радиус окружности при котором покрывается три узла, может покрыть и один, и два, и три, и четыре узла.
+
Прочитав условие задачи, сразу представил круг с диаметром = диагонали квадрата: но тогда такой круг, как только "захватим" 3 точки, то покроем и 4 точки, ведь диаметры любые в одном круге равны. З павагай
Nadir Zaitov
10.06.2011, 14:21
Если конечно условие мною понято правильно, то в иллюстрациях Баламута содержаться решения 1а, 1б, 1в.. 1в не доказан. Кругом, покрывающим 3 узла ВСЕГДА можно покрыть 4 узла, но есть круг покрывающий 4 узла, но не покрывающий 3 узла! Круто? В этом была изюминка, на мой взгляд.
b_a_lamut
10.06.2011, 14:55
но есть круг покрывающий 4 узла, но не покрывающий 3 узла!
Интересно было бы посмотреть на этот круг или, хотя бы, узнать его диаметр.
Nadir Zaitov
10.06.2011, 14:58
Интересно было бы посмотреть на этот круг или, хотя бы, узнать его диаметр.Корень из двух.
На вашем последнем рисунке - круг покрывающий 4 точки, находящиеся на окружности. 3 точки он не может покрывать.
https://img.uforum.uz/images/fejkzad8498739.jpg
b_a_lamut
10.06.2011, 15:42
На вашем последнем рисунке - круг покрывающий 4 точки, находящиеся на окружности. 3 точки он не может покрывать.
Точно! Наверно так оно и есть :)
Надир, а почему не доказан пункт 1в? В моём варианте ответа вроде бы всё верно с этим пунктом.
Nadir Zaitov
10.06.2011, 16:17
Надир, а почему не доказан пункт 1в? В моём варианте ответа вроде бы всё верно с этим пунктом.
Кругом, покрывающим 3 узла ВСЕГДА можно покрыть 4 узла,
b_a_lamut
10.06.2011, 16:46
Нужно найти радиус круга, чтобы:
...
...
Кругом можно было покрыть ровно три, но не более трех узлов.
Вопрос был, - я ответил :) Неужто это неправильный ответ?
- Нет. Радиус окружности при котором покрывается три узла, может покрыть и один, и два, и три, и четыре узла.
Nadir Zaitov
10.06.2011, 17:48
Наверное я ждал ответа такого:- Нет. Радиусом окружности, при котором покрывается три узла, всегда покрывается и четыре узла.
vBulletin® v3.8.5, Copyright ©2000-2025, Jelsoft Enterprises Ltd. Перевод: zCarot