Хитрый ролик

[Barbedo]

Цилиндрический ролик длиной L и диаметром D катится по горизонтальной плоскости без проскальзываний. В некоторый момент времени диаметр одного из оснований цилиндра начинает меняться пропорционально углу поворота ролика вокруг своей оси (при этом прямолинейность образующей сохраняется, т.е. ролик становится усеченным конусом) и уменьшается за два оборота ролика вокруг своей оси от D до нуля. Какую траекторию опишет на плоскости точка касания малого основания ролика к плоскости?

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Сходящаяся спираль с радиусом равным = L * d / ( D - d )
d - уменьшающийся диаметр, раз в числителе, то при d = 0 радиус спирали будет нулевым. При равенстве диаметров радиус спирали равен бесконечности. За два оборота как раз и схлопнется. Но это не будет Архимедова спираль в чистом виде, так как знаменатель вносит поправку и пропорция радиуса и угла не прямая. Точнее, не совсем прямая :-0)

[Nadir Zaitov]

аяся спираль с радиусом равным = L * d / ( D - d )Опять арифметика? Как Вы так быстро к этому пришли?

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Как Вы так быстро к этому пришли? Из подобия некоторых треугольников. Могу ош естественно.

[Barbedo]

Сходящаяся спираль с радиусом равным = L * d / ( D - d )
d - уменьшающийся диаметр, раз в числителе, то при d = 0 радиус спирали будет нулевым. При равенстве диаметров радиус спирали равен бесконечности. За два оборота как раз и схлопнется. Но это не будет Архимедова спираль в чистом виде, так как знаменатель вносит поправку и пропорция радиуса и угла не прямая. Точнее, не совсем прямая :-0)
Как насчет уравнения кривой? :)

[Nadir Zaitov]

Как насчет уравнения кривой? Из подобия некоторых треугольников. Могу ош естественно.

Для построения уравнения кривой необходимо будет решить дифференциальное уравнение в стиле:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left|\frac{d^2}{du^2}\overrightarrow{\g amma}\right|=R(u) ,

с начальными условиями:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left&space;\overrightarrow{\gamma}&space;\right&space;|_{ u=0}=&space;\overrightarrow&space;0

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left&space;\frac{d}{du}\overrightarrow{\gamma }&space;\right&space;|_{u=0}=\overrightarrow&space;0



где u - естественный параметр по длинне пройденного пути кривой.

Будем считать, что большее основание вращается равномерно во времени, то:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?u=\frac{t}{\pi&space;D}\times&space;\left&space;(&space;{1-\frac{t}{2\pi&space;D}}&space;\right&space;)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?R(u)=\frac&space;D&space;2\times&space;\left&space;(&space;{1-\frac{t}{2\pi&space;D}}&space;\right&space;)

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Как насчет уравнения кривой?

Так мы уже про плов... Но, кажется, рано. Мои формулы, оказывается, относятся к центру малого основания усеченного конуса, а не к точки касания малого основания с плоскостью. Они совпадают в начале и в конце процесса... а в середине его могут отличаться.Так что пошел еще думать.

[Nadir Zaitov]

Они совпадают в начале и в конце процесса... а в середине его могут отличаться.Так что пошел еще думать. Да, да. Плов с Вас ;).

Дальше замечаем, что
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac&space;d&space;{du}&space;=&space;\dot&space;u&space;\times&space;\frac&space;d&space;{dt }

или

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac&space;d&space;{du}&space;=&space;\frac&space;1&space;{\pi&space;D}&space;\times&space;\l eft&space;(&space;{1&space;-&space;\frac&space;t&space;{\pi&space;D}}&space;\right&space;)&space;\times&space;\frac&space;d&space;{dt }

[Nadir Zaitov]

Шухрат, а может дальше Вы сможите красиво решить. ЧТо-то у меня красота вдруг пропала...

[Nadir Zaitov]

Barbedo, сакажите, что есть более простое решение, а то ведь решать дифуры с частными прозводными не хочется.

[Barbedo]

Barbedo, сакажите, что есть более простое решение, а то ведь решать дифуры с частными прозводными не хочется.
Дык я это... того... еще и не пытался :)

[b_a_lamut]

Barbedo, сакажите, что есть более простое решение, а то ведь решать дифуры с частными прозводными не хочется.
Дык я это... того... еще и не пытался :)

Если нарисовать, то получается интересный, а главное, неожиданный рисунок :shok:

[Barbedo]

...где u - естественный параметр по длинне пройденного пути кривой.

Будем считать, что большее основание вращается равномерно во времени, то: ...

Действительно, неоченьпозубамстая задачка придумалась. Начал с траектории точки касания плоскости основания большого конуса постоянного диаметра D, т.к. для него имеется простой переход от параметра t (угла поворота вокруг своей оси) к естественному параметру u по длине дуги кривой от начальной точки: u=tD/2. И натуральное уравнение этой кривой можно записать в виде
r(u)=(D/2)*((16π^2 L^2)/u^2 +1)^0,5
где r(u) - радиус кривизны кривой. Но как перейти от такого натурального уравнения к уравнению в декартовой системе или в полярной, пока не знаю. Пошел вникать в дифгеометрию (не заблудиться бы). :)

[b_a_lamut]

Схлопнулся, однако...

Всех с праздником! :)

https://img.uforum.uz/images/vfcgowc2102719.jpg

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Схлопнулся, однако...Классно! А толстая «задница» не по спирали катится? И почему у нее 3 оборота?

[b_a_lamut]

Классно! А толстая «задница» не по спирали катится? И почему у нее 3 оборота?

Вроде бы по спирали :shok:

Третий оборот - для наглядности. Дойдя до окончательного усечения в конце второго оборота, эта толстая "штучка" будет катиться по кругу с радиусом равным длине боковой поверхности. Ну, в общем, когда у "передницы" ничего не останется.

[Shuhrat Ismailov]

Шухрат, а может дальше Вы сможите красиво решить. ЧТо-то у меня красота вдруг пропала...
Я -пас. Дифгеометрию у нас Миронов запорол, если помнишь такого старичка.
Надир мы же на "ты" ворде?

[Nadir Zaitov]

Надир мы же на "ты" ворде?Да, на "ты", давно и недавно :). Ты на дату посмотри - плов мы ели 17-го ;)! А вообще в этой ветке форума приятнее на "Вы", хотя как бы тут все свои и со стороны мало кто, но это типа дань уважения знаниям и интеллекту собеседника

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Ну, в общем, когда у "передницы" ничего не останется.Как это грустно звучит.... :-0)

Интересно, а если конус продолжает катиться, а передница начала расти: будет ли процесс (спираль) симметричным утоньшению передницы?

[Nadir Zaitov]

Интересно, а если конус продолжает катиться, а передница начала расти: будет ли процесс (спираль) симметричным утоньшению передницы?

Конечно. Главное, чтобы скорость движения хм... задницы (?) была, например, постоянной.
Только симметрия будет относительно оси, а не отностительно точки.