Центр нетяжести

[Barbedo]

Дан треугольник АВС. Построить точку О внутри треугольника такую, что площади треугольников АОС, ВОС и АОВ относятся, как n:m:k.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Дан треугольник АВС. Построить точку О внутри треугольника такую, что площади треугольников АОС, ВОС и АОВ относятся, как n:m:k. Могу вычислить теоретически через уравнения... это не катит наверное?

[Barbedo]

Дан треугольник АВС. Построить точку О внутри треугольника такую, что площади треугольников АОС, ВОС и АОВ относятся, как n:m:k. Могу вычислить теоретически через уравнения... это не катит наверное?

В качестве построить не катит, но вообще интересно :)

[Evgeniy Sklyarevskiy]

но вообще интересно

1. Зная n,m,k и длины сторон треугольника можно найти отношения высот внутренних треугольников.

2. Находим уравнения сторон треугольника.

3. Находим уравнения линий, параллельных сторонам треугольника и сдвинутых на расстояния, пропорциональные отношениям высот и с постоянным коэффициентом d.
(сдвигаем к центру, естественно... ну это вопрос техники)

4. Находим координаты трех точек пересечения трех сдвинутых линий с параметром d.

5. Пишем три уравнения расстояний между этими точками. C параметром d.

6. Приравниваем эти расстояния попарно нулю и пишем три уравнения относительно d.

7. Быстренько решаем систему уравнений, находим d. (Там такие уравнения получатся, что можно озвереть от ужаса... но глаза боятся руки делают :-0)))

8. Зная d находим все три высоты, при которых параллельные сторонам линии пересекутся в одной точке.

п.с. Задача напоминает практическую задачу нахождения радиуса, вписанного в три прямые, решал так как написал тут. Ну не совсем так: в цикле сдвигал и проверял расстояния, пока они не приходили к 0 с некоторой точностью

[Nadir Zaitov]

Быстренько решаем систему уравненийВот это все меня больше всего и удивит, я думаю. :)