Строителям кубического корня на заметку

[Barbedo]

Старинный сюжет, наводящий на размышления.

В равнобедренный треугольник с основанием a и углом при основании w вписана окружность. Найти радиус окружности, касающейся вписанной окружности и боковых сторон треугольника.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Найти радиус окружности, касающейся вписанной окружности и боковых сторон треугольника. А потом радиус окружности, касающейся этой новой построенной вписанной окружности и боковых сторон треугольника, потом следующей.... и найти закономерность, которой подчиняются эти радиуса... Можно, кстати, «ехать» и в бОльшую сторону...

Для начала можно рассмотреть для случАя w=90 градусов.

П.С. Это не решение, а развитие условия для пущей красивости.

[Nadir Zaitov]

А потом радиус окружности, касающейся этой новой построенной вписанной окружности и боковых сторон треугольника, Пропорционально.

потом следующей.... и найти закономерность, которой подчиняются эти радиуса... Геометрическая прогрессия.

В развитии задачи: найти общую длинну диаметров таких окружностей. :)

[Nadir Zaitov]

1. Радиус вписанной окружности для основания а при фиксированном угле w, будет равен R(a)=a/2×tg(w/2)

2. Если у треугольника пропорционально сократить высоту на D, то его основание a перейдет в основание a(D)=(a×tg(w)-D)/tg(w)=a-D/tg(w)

3. Композиция двух функций дает нам:

R(a(2R(a))=(a-axtg(w/2)/tg(w))xtg(w/2)/2

[Barbedo]

1. Радиус вписанной окружности для основания а при фиксированном угле w, будет равен R(a)=a/2×tg(w/2)

Задачку эту показал тут к тому, что радиус искомой малой окружности оказывается равен r=a/2×(tg(w/2))^3. Но тангенс можно выразить в виде отрезка, равного отношению двух отрезков и каким-то образом использовать для построений, если кто не до конца верит в невозможность построения кубического корня циркулем и линейкой - может пригодиться. Может пригодиться реально, если не упираться в циркуль и линейку, а рассматривать доп. возможности, например, допущение делать засечки на линейке, применять прямой угол, биссектор и т.д.
:)

[Nadir Zaitov]

r=a/2×(tg(w/2))^3.Как Вам удалось так крассиво упростить это выражение. Ну не тянет там у меня на (tg(w/2))³

[Barbedo]

r=a/2×(tg(w/2))^3.Как Вам удалось так крассиво упростить это выражение. Ну не тянет там у меня на (tg(w/2))³
Всё по-честному:
https://img.uforum.uz/images/ogbmrhm5906398.png
:)