Фокус с фокусами

[Barbedo]

Солнце в зените. На горизонтальной плоскости стоит вертикально круглый тонкий обруч диаметром D. Обруч начинает падать. Тень от обруча превращается в эллипс. Вы надеваете волшебные очки и видите, как сближаются фокусы эллипса. Шмяк! Обруч улегся горизонтально, фокусы слились в центре, волшебство исчезло. Допустим, обруч заваливался на бок с постоянной угловой скоростью w. Каков же был закон сближения (относительного движения) фокусов? А если обруч потерял равновесие и падал на бок под действием силы тяжести?

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Расстояние между фокусами равно F1F2 = 2 * sqrt ( A**2 - B**2) где А и В — полуоси большая (радиус)и маленькая.

В = A * Cos(u) где u = w * t - угол наклона обруча к горизонтальной плоскости, t - время.

F1F2 = 2 * A * sqrt ( 1 - Cos(u)**2) = 2 * A * Sin(u)

Лучше брать угол с вертикалью j = 90 - u

тогда F1F2 = D * Cos(j)

[Nadir Zaitov]

тогда F1F2 = D * Cos(j)

Осталось только зависимость cos(j(t)) при свободном опракидывании обруча подсчитать.

Угловое ускорение у нас при угле наклона α будет равно: g/A *cos(α)

Следовательно угол j(t)=решается интегральным уравнением:

j(t)=∫∫g/A*cos(j(x))dxdy

Первый интеграл изменяется от 0 до t, второй от 0 до y, берем 2 производные:

j''(t)=g/А cos(j).


Принимая K=sqrt(g/A) как константу. получаем, что j(t)=ch(Kt)+С1t+C0

Из начальых условий С1 и С2 равны нулю.

Окончательно при свободном падении обруча угол меняется по формуле:

j(t)=ch(sqrt(g/A)*t))

а соответствующая формула длинны диаметра в момент времени t равна:

F1F2=D*cos(ch(sqrt(g/A)*t))).

Ух как я классно извратился.

[b_a_lamut]

А если обруч потерял равновесие и падал на бок под действием силы тяжести?

Эх, а вдруг проскочит :shok:

https://img.uforum.uz/images/ibnebci7088626.jpg

[Nadir Zaitov]

Зря вы мне спасибо понаставили. Я тут ошибку у себя нашел.
j''(t)=g/А cos(j).

Тут cos(j), а не cos(t). Соответственно решение не правильное.
Пытался исправиться и перерешать, но дифур берется очень тяжело не смотря на элементарный внешний вид.

[Shuhrat Ismailov]

Зря вы мне спасибо понаставили. Я тут ошибку у себя нашел.
j''(t)=g/А cos(j).

Тут cos(j), а не cos(t). Соответственно решение не правильное.
Пытался исправиться и перерешать, но дифур берется очень тяжело не смотря на элементарный внешний вид.
Общее решение уравнения
j''(t)=g/А cos(t)
имеет вид
j(t) = -(g/A)cos(t)+C1*t+C2
А дальше как у вас.
Или я где-то не допонял?

[Nadir Zaitov]

Общее решение уравнения j''(t)=g/А cos(t) имеет вид j(t) = -(g/A)cos(t)+C1*t+C2 А дальше как у вас. Или я где-то не допонял?

У нас не cos(t), а cos(j)... В этом проблема.