Просмотр полной версии : Задача с конкурса "Учитель года-2010"
Shuhrat Ismailov
17.04.2010, 23:52
Вчера на испытательном туре конкурсантам дал задачку.
Две окружности касаются между собой в точке М, а радиусы окружностей различаются в полтора раза. Проведем диаметры АМ и ВМ. Известно, что длина отрезка АВ на 4 см больше радиуса одной из окружностей и на 6 см больше радиуса другой из окружностей.
Найти радиусы окружностей.
Вчера на испытательном туре конкурсантам дал задачку. Две окружности касаются между собой в точке М, а радиусы окружностей различаются в полтора раза. Проведем диаметры АМ и ВМ. Известно, что длина отрезка АВ на 4 см больше радиуса одной из окружностей и на 6 см больше радиуса другой из окружностей. Найти радиусы окружностей. В задаче, как мне кажется, остались избыточные данные...:)
Можно, например попробовать решать такое:
Две окружности касаются между собой в точке М, а радиусы окружностей различаются в полтора раза. Проведем диаметры АМ и ВМ. Известно, что длина отрезка АВ на 4 см больше радиуса большей окружности и на 6 см больше радиуса другой из окружностей.
Найти радиусы окружностей.:)
В задаче, как мне кажется, остались избыточные данные...
В задаче, как ни крути, не избыточные данные, а неверные условия. Из вот этого куска:
длина отрезка АВ на 4 см больше радиуса одной из окружностей и на 6 см больше радиуса другой из окружностей.
выходит, что разница в длинах радиусов составляет 2 см.
Если же его сопоставить с вот этим куском:
радиусы окружностей различаются в полтора раза
то выходит, что 2 см и составляют эту полуторную разницу, что может быть лишь в том случае, если радиусы равны 4 и 6 см соответственно.
Тогда, согласно вот этим условиям:
длина отрезка АВ на 4 см больше радиуса одной из окружностей и на 6 см больше радиуса другой из окружностей.
отрезок АВ должен равняться 10 см, чего никак не может быть, потому что данный отрезок по вот этим условиям:
Проведем диаметры АМ и ВМ.
получается путём сложения диаметров данных окружностей, следовательно должен равняться не 10 см, а 20, что, в свою очередь, противоречит своим же условиям:
длина отрезка АВ на 4 см больше радиуса одной из окружностей и на 6 см больше радиуса другой из окружностей.
потому что 20 см больше, чем на 4 см радиуса, равного 6 см и больше, чем на 6 см радиуса, равного 4 см.
Если же исправить правила задачи следующим образом:
Две окружности касаются между собой в точке М, а радиусы окружностей различаются в полтора раза. Проведем диаметры АМ и ВМ. Известно, что длина отрезка АВ на 4 см больше радиуса диаметра одной из окружностей и на 6 см больше радиуса диаметра другой из окружностей. Найти радиусы окружностей.
то всё становится на свои места.
Тогда, путём несложных вычислений, первый радиус равняется 2 см, а второй 3 см, а отрезок АВ, соответственно, 10 см. Слишком просто, конечно, но, может, смысл данной задачи заключался именно в том, чтобы найти ошибку в правилах? Ведь стереотипы закреплены в наших мозгах, как правило, таким образом, что мы склонны как угодно ломать голову, чтобы найти решение заведомо нерешаемой задачи и обвинять себя в неудаче, а на самом деле решение заключается совсем в другом...
Shuhrat Ismailov
19.04.2010, 16:44
Если же исправить правила задачи следующим образом:
Нет, не надо ничего исправлять. Ошибки нет.
Ведь стереотипы закреплены в наших мозгах, как правило, таким образом, что мы склонны как угодно ломать голову, чтобы найти решение заведомо нерешаемой задачи и обвинять себя в неудаче, а на самом деле решение заключается совсем в другом...
Задача решаема. Была дана, чтобы изменить стереотипы.
получается путём сложения диаметров данных окружностей,
А кто сказал, что касание только внешнее? Может быть и внутреннее касание.
В задаче, как ни крути, не избыточные данные, а неверные условия.
Условия верны. Можете еще покрутить
Нет, не надо ничего исправлять. Ошибки нет.
Да? А как же вышеприведённый момент, что, если разница в длинах радиусов составляет 2 см, то она и есть те 50% и, следовательно, радиусы равны 4 и 6 см соответственно? Ведь в таком случае развиваеся соответствующая цепь рассуждений, приводящая к указанному парадоксу (?).
Shuhrat Ismailov
19.04.2010, 17:13
Да? А как же вышеприведённый момент, что, если разница в длинах радиусов составляет 2 см, то она и есть те 50% и, следовательно, радиусы равны 4 и 6 см соответственно? Ведь в таком случае развиваеся соответствующая цепь рассуждений, приводящая к указанному парадоксу (?).
Радиусы действительно равны 4 и 6 см соответственно. Только нужно покрутить присмотреться повнимательней. Вы в шаге от верного решения.
Радиусы действительно равны 4 и 6 см соответственно. Только нужно покрутить присмотреться повнимательней. Вы в шаге от верного решения.
Оу. Неужто одна окружность в другой? :)
Shuhrat Ismailov
19.04.2010, 17:30
Оу. Неужто одна окружность в другой?
Рекомендую и этот случай рассмотреть.
Рекомендую и этот случай рассмотреть.
Уже рассмотрен, не подходит. Если малая окружность внутри большой, то тогда отрезок АВ становится равным 12 см и не соответствует следующим условиям:
длина отрезка АВ на 4 см больше радиуса одной из окружностей и на 6 см больше радиуса другой из окружностей.
https://img.uforum.uz/images/eruqsaj9383156.png
R=6
r=4
AB=10
AM=2R=12
MB=2r=8
:)
Shuhrat Ismailov
19.04.2010, 17:55
Уже рассмотрен, не подходит. Если малая окружность внутри большой, то тогда отрезок АВ становится равным 12 см и не соответствует следующим условиям:
длина отрезка АВ на 4 см больше радиуса одной из окружностей и на 6 см больше радиуса другой из окружностей.
Задача оценивается в 8 баллов.
Схема оценивания
1) Внешнее касание (3 балла).
Имеем систему: AB=2R+2r, AB=R+4, AB=r+6
которая имеет решение R=8/3, r=2/3.
Получили противоречие с условием R=1,5r
2) Внутреннее касание (3 балла).
Имеем систему: AB=2R-2r, AB=R+4, AB=r+6
которая имеет решение R=0, r=-2.
Опять противоречие.
3) Случай (пространственный)
https://img.uforum.uz/images/eruqsaj9383156.png
R=6
r=4
AB=10
AM=2R=12
MB=2r=8
:)
Браво, Барбедо! Спасибо за еще 2 балла.
Ну как, Viewer? Увидели? Налицо ломка стереотипов. Конкурсанты справились лишь с первым случаем. 2 конкурсанта рассмотрели еще два случая. Третий случай не рассмотрел никто......
Evgeniy Sklyarevskiy
19.04.2010, 18:24
Таааак нечеееестнооо :0-)))))
Спасибо! Кайф просто, давно не получал такого удовольствия от условия и от решения!!!
Nadir Zaitov
19.04.2010, 23:22
Спасибо! Кайф просто, давно не получал такого удовольствия от условия и от решения!!! Полностью поддерживаю... Давно у нас тут приличных задачек не было :)
Налицо ломка стереотипов.А как же тогда с умолчаниями быть?:) -ведь по умолчанию, как мне казалось, считается действо происходит на плоскости?...:shok::)
Ну как, Viewer? Увидели?
Увидели. Спасибо. Только вот какой должен быть угол наклона одной окружности к другой в данном случае? Не 90, это точно, теорема Пифагора подтверждает. А какой тогда? Посчитаем?
Shuhrat Ismailov
20.04.2010, 16:01
А как же тогда с умолчаниями быть? -ведь по умолчанию, как мне казалось, считается действо происходит на плоскости?
Согласен, но с небольшой оговоркой. Если задача была бы предложена в учебнике или в тесте (раздел планиметрии), то полностью соглашусь с Вами.
Ну как, Viewer? Увидели?
Увидели. Спасибо. Только вот какой должен быть угол наклона одной окружности к другой в данном случае? Не 90, это точно, теорема Пифагора подтверждает. А какой тогда? Посчитаем?
Достаточно убедиться , что треугольник ABM со сторонами AB=10, AM= 12, BM=8 существует.
Это следует из того, что каждая сторона меньше суммы двух других.
Если интересует величина угла AMB, то по теореме косинусов (навскидку, могу ош.) равна arccos(27/48)=55,7711334 градусов
b_a_lamut
22.04.2010, 03:10
А как же тогда с умолчаниями быть? -ведь по умолчанию, как мне казалось, считается действо происходит на плоскости?..
Вот мне интересно, будет ли такое положение считаться, что оно на плоскости, если толщиной Семёныча пренебречь?
https://img.uforum.uz/images/eeobxmq1994606.jpg
Evgeniy Sklyarevskiy
22.04.2010, 10:20
если толщиной Семёныча пренебречь?Ничего себе, моей толщиной пренебрегать? Может, еще галстук использовать как медиану? Ничего святого не осталось в геометрии...
b_a_lamut
22.04.2010, 15:21
Ничего себе, моей толщиной пренебрегать? Может, еще галстук использовать как медиану? Ничего святого не осталось в геометрии...
Прошу прощения. Так будет лучше?
https://img.uforum.uz/images/agrbpfx347807.jpg
Вот мне интересно, будет ли такое положение считаться, что оно на плоскости, если толщиной Семёныча пренебречь?На самом деле это очень интересный вопрос...:)
b_a_lamut
22.04.2010, 19:22
На самом деле это очень интересный вопрос...
Вообще-то, в задаче не оговаривается, что окружности касаются друг друга только в одной точке, так что, наверное, ЕС можно вытащить, чтобы галстук не помять, а окружности пусть лежат друг на друге. Или это будет противоречить условию задачи? :)
Evgeniy Sklyarevskiy
22.04.2010, 19:48
Вообще-то, в задаче не оговаривается, что окружности касаются друг друга только в одной точке, так что, наверное, ЕС можно вытащить, чтобы галстук не помять, а окружности пусть лежат друг на друге. Или это будет противоречить условию задачи? Я могу и в двух точках касаться, нам, стройотрядовцам, лишь бы даром не щекотно.
b_a_lamut
22.04.2010, 20:46
Я могу и в двух точках касаться, нам, стройотрядовцам, лишь бы даром не щекотно.
Спасибо друг! Я знал, что ты готов пожертвовать собой, чтобы истина восторжествовала :)
Shuhrat Ismailov
23.04.2010, 01:07
Спасибо друг! Я знал, что ты готов пожертвовать собой
Вообще-то, кажется, жертвуется лишь галстук.
Во время эксперимента ни одно животное не пострадало (с)
vBulletin® v3.8.5, Copyright ©2000-2026, Jelsoft Enterprises Ltd. Перевод: zCarot