Три задачи

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Задача 1.
На какое наименьшее число надо умножить 9, чтобы получить число, состоящее из одних двоек?


Задача 2.
Целое число а при делении на 5 дает в остатке 3. Какой остаток при делении на 5 дает число а^3 + 7*a

Задача 3.
На карточках написаны цифры 0,1,2,3 и 4. Сколько четных трехзначных чисел можно составить с помощью этих карточек?

[JH]

1. 24,691,358
2. 3
3. 30

[Дмитрий Ким]

Задача 1.
На какое наименьшее число надо умножить 9, чтобы получить число, состоящее из одних двоек?


Задача 2.
Целое число а при делении на 5 дает в остатке 3. Какой остаток при делении на 5 дает число а^3 + 7*a

Задача 3.
На карточках написаны цифры 0,1,2,3 и 4. Сколько четных трехзначных чисел можно составить с помощью этих карточек?

1- 24691358
2- 3
3- 60

[Shuhrat Ismailov]

24691358
Примечательные равенства с 9
12345679*9=111111111
37037037*9=333333333
49382716*9=444444444
61728395*9=555555555
и т.д.

[Nadir Zaitov]

Задача 3. На карточках написаны цифры 0,1,2,3 и 4. Сколько четных трехзначных чисел можно составить с помощью этих карточек? 3. 30 3- 60 А где решение. Задачка то не так очевидна.
Например, тут не сказано сколько таких карточек, в частности что их всего 5.

1) Если предположить, что карточек каждого типа много, то получим в пятиричной системе 5^3 чисел (625) минус 5^2 чисел (тех, у которых первая цифра нуль и она не трехзначна). Итого 600 чисел. Из которых ровно половина четные. Т.е. 300 чисел.

2) Для случая фиксированных 5 карточек получаем следующее:

Всего упорядоченных троек цифр можно составить 5*4*3=60 различными способами (первую цифру можно выбрать 5 способами, вторую 4-я, на третью остается только 3 карточки - 3 способа), по 12 чисел для каждой последней цифры.

Стало быть заканчивающихся на четные карточки (0,2,4) - 12*3=36 различных.

Однако нужно исключить случаи, когда первая цифра - 0. для случаев, когда последняя цифра 2 или 4 - их 3*2=6 (между нулем и третьей цифрой помещается только одна цифра, а их всего 3 осталось).

Ответ - 36-6 = 30.

Если кто-то решил быстрее - прошу пояснить ответ.

[Andrews]

Если кто-то решил быстрее - прошу пояснить ответ.
Всего будет 30 чисел:
124,134,234,120,130,140,230,240,340.
214,314,324,210,310,410,320,420,430.
102,104,204,304.
302,402.
132,142.
312,412.
342,432.

[Shuhrat Ismailov]

Обратите внимание, минимальный множитель состоит из разных цифр.
12345679*9=111111111
24691358*9=222222222
49382716*9=444444444
61728395*9=555555555
и т.д.

[Andrews]

Обратите внимание, минимальный множитель состоит из разных цифр.
Это понятно, потому что иначе остатки от деления совпадут....