Задачи с Московской Математической Олимпиады

[German Stimban]

Вспомнилось участие в этой олимпиаде, решил поискать в интернете. Как пишется на официальном сайте:
Задачи для Московской математической олимпиады подбираются таким образом, чтобы для их решения не требовалось специальных знаний, выходящих за рамки стандартного школьного курса; в тоже время, эти задачи не ставят своей целью только проверку успеваемости школьников, но дают возможность школьникам приобщиться к реальной науке, порешать занимательные задачи, которые могут вызвать заинтересованность в дальнейшем поиске, в более глубоком изучении математики.
Предлагаю порешать задачи, ибо они красивые и с изюминкой. Для начала - задачи для 11 класса, с олимпиады 2008 года:

Задача №1. Числа p и q таковы, что параболы y=-2x^2 и y=x^2+px+q пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру. Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.

Задача №2. Найдите наименьшее натуральное n, для которого число n^n не является делителем числа 2008!=1· 2·...· 2008.

Задача №3. На едином экзамене 333 ученика допустили в общей сложности 1000 ошибок. Возможно ли при этом, что учеников, сделавших более чем по 5 ошибок, оказалось больше, чем учеников, сделавших менее чем по 4 ошибки?

Задача №4. Через центр O вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой AO и пересекающая прямую BC в точке M. Из точки O на прямую AM опущен перпендикуляр OD. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Задача №5. Станок выпускает детали двух типов. На ленте его конвейера выложены в одну линию 75 деталей. Пока конвейер движется, на станке готовится деталь того типа, которого на ленте меньше. Каждую минуту очередная деталь падает с ленты, а подготовленная кладется в ее конец. Через некоторое число минут после включения конвейера может случиться так, что расположение деталей на ленте впервые повторит начальное. Найдите: а) наименьшее такое число, б) все такие числа.

Задача №6. Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами. В вершине A квадрата ABCD находится нора: если в нее, в отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке (возможно, в точке A). Вначале лиса сидит в точке C, а зайцы — в точках B и D. Лиса бегает повсюду со скоростью не больше v, а зайцы — по лучам AB и AD со скоростью не больше 1. При каких значениях v лиса сможет поймать обоих зайцев?

Задача №7. Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же плоскость) исходного многогранника
а) больше, чем 1/4,
б) не меньше, чем 1/9,
в) не меньше, чем 1/7?

[Nadir Zaitov]

Задача №1. Числа p и q таковы, что параболы y=-2x^2 и y=x^2+px+q пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру. Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.Вывглядит страшно, но решается (оказывается) элементарно.
На самом деле площадь поверхности x^2+px+q<у<-2x^2 (учитывая направления ветвей парабол возможен только такой вариант), эквивалентно по площади 3x^2+px+q<у<0, а это уже симметричная фигура с центром -b/2a = -p/6

Интересно, что от q решение совсем не зависит.

Вроде б так.

[Nadir Zaitov]

Задача №2. Найдите наименьшее натуральное n, для которого число n^n не является делителем числа 2008!=1· 2·...· 2008. Некоторое число p входит в 2008! f(p) раз, где:

f(p)=[2008/p]+[2008/p^2]+... (ясно, что это на самом деле не бесконечный ряд, если p - натуральное числ большее 1)

для того, чтобы оно не было делителем известно, что:

f(p)<p

или [2008/p]*p+[2008/p^2]*p+... <P^2

Раз так, то второй и последующие члены в функции f(p) для искомого p равны нулю. Стало быть нужно искать минимальное число p типа P^2>2008 и такое число 45, так как корень(2008)=44,8...

Ответ: 45.

[Nadir Zaitov]

Задача №3. На едином экзамене 333 ученика допустили в общей сложности 1000 ошибок. Возможно ли при этом, что учеников, сделавших более чем по 5 ошибок, оказалось больше, чем учеников, сделавших менее чем по 4 ошибки?

Если "более, чем по 5 ошибок" включает число 5, то может:
200 учеников допустили по 5 ошибок => 200*5 = 1000

Если "более, чем по 5 ошибок" не включает число 5, то не может:
166 учеников максимум могут допустить по 6 ошибок => 166*6 = 994
Но 166 - это меньшенство из 333 человек (333/2 = 166,5).

[Наташа]

и такое число 45, Мне кажется, здесь возможно нужно было бы учесть, что 45=9*5?...:)

[Nadir Zaitov]

и такое число 45, Мне кажется, здесь возможно нужно было бы учесть, что 45=9*5?...:)Я тоже начала думал, что решение должно быть простым числом. Но ведь степень тоже имеет значение:

9^9 - может быть делителем,
5^5 - может быть делителм, но
45^45 - может уже делителем не быть. :)...

Кстати в задачке 3 у всех могут быть по 4 ошибки, кроме как у ограниченного числа... так что там не все гладко в моем решении :) и ваш стертый комментарий при модификации имеет смысл :)

[Andrews]

166*6 = 994996

[Наташа]

9^9 - может быть делителем, 5^5 - может быть делителм, но 45^45 - может уже делителем не быть. ...
Да, но мне кажется не только 45^n будет делиться на 45...:) а например: 9*5, 10*18, 15*27,... :)
(5*10*15*20*25*...*225)*(9*18*27*36*45*54*63*...)= (5*1*5*2*5*3...)*(9*1*9*2*9*3...)=((5*9)(5*9)(5*9) (5*9)...(5*9))(1*2*...)(1*2*...)...:)

и ваш стертый комментарий при модификации имеет смысл
Мне кажется, у Вас таки все правильно...:)

[Nadir Zaitov]

Да, но мне кажется не только 45^nДа... точно...

В формуле, указанной мной выше, нужно делить не на p, а наибольшее простое число, являющееся делителем p.

Тогд придется сразу задать, что p - простое, так как иначе оно не наименьшее.

Тогда берем только простое p и тогда это будет 47.

[Shuhrat Ismailov]

Задача №2. Найдите наименьшее натуральное n, для которого число n^n не является делителем числа 2008!=1· 2·...· 2008.
Ответ: 45.
Тогда берем только простое p и тогда это будет 47.
Правильно.
2008! делится на 46^46, но не делится на 47^47.
а) Среди множителей 1, 2... ,2008 есть более 100 (а значит есть 46) четных чисел их произведение делится на 2^46.
б) по формуле Надыра f(23)= целая часть (2008/23)+целая часть (2008/23^2)+.....=целая часть (2008/23)+0+....), значит 2008! делится на 23^46.
Объединяем а) и б), получим, что 1· 2·...· 2008 делится на
(2^46)(23^46)=46^46.
Теперь вычислим показатель степени f(47) , ибо 47 -простое.
f(47)= целая часть (2008/47)+целая часть (2008/47^2)+.....=целая часть (2008/47)+0+....=42
Значит произведение 1, 2... ,2008 делится на 47^42, но не делится на 47^47.

[Nadir Zaitov]

Что-то третяя задачка мне не нравится. Уж очень запутанный рисунок получился, а без циркуля и линейки красиво рисовать я не научился. Попробую решить дома за столом... когда доберусь до стола, циркуля, бумаги и до свободного времени.

Четвертую пропущу - задача не понятна. Условия со сплошным домысливанием.
Мне чем то ответ в 2 минуты очень похож на реальность (при специальном раскладывании деталей)

Задача №6. Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами. В вершине A квадрата ABCD находится нора: если в нее, в отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке (возможно, в точке A). Вначале лиса сидит в точке C, а зайцы — в точках B и D. Лиса бегает повсюду со скоростью не больше v, а зайцы — по лучам AB и AD со скоростью не больше 1. При каких значениях v лиса сможет поймать обоих зайцев?
Очень уж задача похожа на круглое озеро.
v=sqrt(2) и более.

1) Если заяц B или D бежит к норе со всех ног со скоростью 1, то минимальная скорость, чтобы ее догнать должна быть Sqrt(2) (линейная скорость при беге по диагонали квадрата).

2) Теперь представим, что зайцы стоят у себя в углах. Т.е они выберут стратегию, что как только вы побежите к одному зайцу второй сорвется и побежит к норе.

Тогда нужно бежать сначала по диагонали к центру. Если зайцы сорвутся, то задача не отличается от варианта 1. Скорости Sqrt(2) достаточно и следовательно зайцы будут стоять на месте.

3) Стало быть Лиса уже в центре квадрата, а зайцы у себя в углах.

В такой ситуации заяц, к которому побежит лиса долже убегать от лунки, а заяц с противоположной стороны должен бежать к лунке и эта стратегия требует максимум скорости от лисы, так как поймав ближайшего зайца ей придется поспешить с догоном другого.

Теперь остается составить и решить системку:

Решить до конца сейчас не успеваю... домой пора бы. Думаю утром додумаю.

[Barbedo]

Задача №4. Через центр O вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой AO и пересекающая прямую BC в точке M. Из точки O на прямую AM опущен перпендикуляр OD. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.
https://img.uforum.uz/images/tzyhzqj2944018.png
Пусть a=BC, b=AC, c=AB, AL – биссектриса угла BAC треугольника ABC.
Тогда BL=ac/(b+c), CL=ab/(b+c).
Согласно свойству биссектрисы AE внешнего угла BAA’ треугольника ABC:
EB/EC=AB/AC=c/b, следовательно, EB/(EB+a)=c/b;
b*EB=c*EB+ac;
EB=ac/(b-c);
EL=EB+BL=ac/(b-c)+ac/(b+c)=2abc/(b^2-c^2)
AL=(bc-BL*CL)^0,5=
=(bc-(a^2*bc)/(b+c)^2)^0,5=(bc((b+c)^2-a^2)/(b+c)^2)^0,5=
=(bc(b+c+a)(b+c-a))^0,5/(b+c);
OL=AL*BL/(BL+c)=
=((bc-(a^2*bc)/(b+c)^2)^0,5)*(ac/(b+c))/((ac/(b+c)+c)=
=((bc-(a^2*bc)/(b+c)^2)^0,5)*(a/(a+b+c))=
=a(bc(b+c+a)(b+c-a))^0,5/((b+c)(a+b+c)).
AE || OM. Из подобия треугольников AEL и OML следует:
ML/EL=OL/AL;
ML=EL*OL/AL=
=(2abc/(b^2-c^2))*(a(bc(b+c+a)(b+c-a))^0,5/((b+c)(a+b+c)))/((bc(b+c+a)(b+c-a))^0,5/(b+c))=
=2bca^2/((b^2-c^2)(a+b+c)).
Соответственно,
MB=ML-BL=2bca^2/((b^2-c^2)(a+b+c)) - ac/(b+c)=
=a(2abc-c(b-c)(a+b+c))/((b^2-c^2)(a+b+c));
MC=ML+LC=2bca^2/((b^2-c^2)(a+b+c))+ ab/(b+c)=a(2abc+b(b-c)(a+b+c))/((b^2-c^2)(a+b+c)).
После преобразований:
MB=ac(b+c)(a+c-b)/((b^2-c^2)(a+b+c));
MC=ab(b+c)(a+b-c)/((b^2-c^2)(a+b+c)).
MB*MC=bca^2(b+c)^2(a+c-b)(a+b-c)/((b^2-c^2)(a+b+c))^2=
=bca^2*(a+c-b)(a+b-c)/((b-c)^2*(a+b+c)^2) (I)

Рассмотрим теперь треугольник AML.
Eго высота AH=h=½ ((a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))^0,5/a
Его площадь:
S=½ h*LM=½ OM*AL.
Отсюда:
OM=h*LM/AL=h*2bca^2/((b^2-c^2)(a+b+c))/(bc-(a^2*bc)/(b+c)^2)^0,5=
=½ (((a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))^0,5/a)*(2bca^2/((b^2-c^2)(a+b+c)))/(bc(a+b+c)(b+c-a))^0,5=
=a(bc)^0,5((a+b-c)(a-b+c))^0,5/((b-c)(a+b+c)) (II)

Сравнив (I) и (II), заметим, что OM^2=MB*MC, следовательно OM равен длине касательной, проведенной к описанной окружности треугольника ABC из точки M.
Пусть точка D’ - второе пересечение секущей AM с описанной окружностью треугольника ABC. Построим на отрезке AO как на диаметре окружность W. Тогда точка D принадлежит этой окружности, поскольку ADO - прямой угол, а MO – касательная, проведенная к этой окружности из точки M. Поскольку касательные к окружности W и описанной окружности треугольника ABC, проведенные из точки M, равны,
MD*MA=MD’*MA=OM^2 и MD’=MD.
Следовательно, точки D И D’ совпадают и точка D лежит на описанной окружности треугольника ABC, ч.т.д.

Наверняка есть простое и красивое решение... но что-то не получается углядеть пока :)

[Nadir Zaitov]

Решить до конца сейчас не успеваю... домой пора бы. Думаю утром додумаю. Вот и наступило то самое утро.

Стало быть в соответствии со случаем 3 Лиса у нас в центре О квадрата.
Ей нужно догнать зайца, например, B бегущего к точке С и затем успеть добежать до зайца D, бегущего к А.

Допустим он догонит первого зайца за время t1, а второго за время t2.

Ясно, чтобы время было оптимальным должно быть t1+t2=1. Если меньше, то есть избыточность в скорости, а если больше, то заяц D успеет забежать норку A. Ясно также, что вторую мышку лиса должна поймать прям у входа в норку.

По теореме косинусов:
v×t1=sqrt(1+t1²-t1×sqrt(2)).
v×t2=sqrt(1+t1²).
t1+t2=1
0< t1 < t2 <1

Вот далее получается уравнение 4-й степени. Как взять его проще и быстрее - е додумался, хотя вродеб возможностей масса.

[Nadir Zaitov]

Еще задачка с ММО:

Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулем, которое при вычеркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.

[Nadir Zaitov]

Еще одна и простая и сложная:

М. В. Ломоносов тратил одну денежку на хлеб и квас. Когда цены выросли на 20 %, на ту же денежку он приобретал полхлеба и квас. Хватит ли той же денежки хотя бы на квас, если цены еще раз вырастут на 20%?

[Rustam Khamidov]

Д = Х + К
Д = 0.6Х + 1.2К

=>

Д - 0.6Д = 1.2К - 0.6К
Д = 1.5К

=>

a) 1.5K > 1.4K
b) 1.5K > 1.44K

Т.е. хватит.

p.s. Два варианта, ибо не понял к чему применять вторичное повышение цен.

[Nadir Zaitov]

Два варианта, ибо не понял к чему применять вторичное повышение цен.Ага. Именно так и решается в варианте b ... по максимуму цены вырастут на 1,44.

[Nadir Zaitov]

Найдите наибольшее натуральное числоКстати решение оказалось очень даже не простым... я бы сказал повышенно замутнением.