Просмотр полной версии : "Вперёд и вверх, а там..."
Мотоциклист поднимается в гору от точки А к точке В. Путь его пролегает в вертикальной плоскости, проходящей через точки А и В. Сила тяги двигателя мотоцикла постоянна. При какой форме склона горы мотоциклист преодолеет свой путь за кратчайшее время? Масса вместе с мотоциклом M, скорость V в точке A максимальна для развиваемой двигателем тяги F, скольжение отсутствует.
Nadir Zaitov
15.02.2010, 19:30
Вроде б задача стандартная в теории оптимизации.
скорость V в точке A максимальна для развиваемой двигателем тяги F Нашел вот такую проблему. Речь об тяге в горизонтальной плоскости, т.е. учитывать сопростивление воздуха? Может просто сказать - с начальной скоростью V?
b_a_lamut
15.02.2010, 22:17
Мотоциклист поднимается в гору от точки А к точке В. Путь его пролегает в вертикальной плоскости, проходящей через точки А и В. Сила тяги двигателя мотоцикла постоянна. При какой форме склона горы мотоциклист преодолеет свой путь за кратчайшее время? Масса вместе с мотоциклом M, скорость V в точке A максимальна для развиваемой двигателем тяги F, скольжение отсутствует.
Эх, с высоты своих прогулов в школе, могу лишь, как обычно, повести остальных по ложному пути, предположив, что АВ - это диаметр полуокружности вырытый в горе. Если, конечно, имелось ввиду ещё и то, что мотоциклист должен был подняться на максимальную высоту. Смущает только то, что про парашют в задаче не упоминается :shok:
скорость V в точке A максимальна для развиваемой двигателем тяги F, скольжение отсутствует.
Ну а если бы велосипедист ехал, например, банально бесконечное время, с ускорением, интересно, какая скорость у него максимальная?:)
Нашел вот такую проблему. Речь об тяге в горизонтальной плоскости, т.е. учитывать сопростивление воздуха? Может просто сказать - с начальной скоростью V?
Если просто сказать "с начальной скоростью V", то возникает вопрос: а может ли мотоциклист добавить газу на подъеме, сколько может добавить и т.д.? А так ясно, что боьше он ничего выжать из двигателя не может и при максимальной тяге двигателя F развивает на горизонтальном участке скорость V, т.е. скорость его при подъеме по склону без скольжения при g=const и F=const будет зависеть только от формы склона. Сопротивление воздуха не учитываем.
скорость V в точке A максимальна для развиваемой двигателем тяги F, скольжение отсутствует.
Ну а если бы велосипедист ехал, например, банально бесконечное время, с ускорением, интересно, какая скорость у него максимальная?:)
Зависит от типа велосипеда, типа велосипедиста и типа бесконечности. :)
Nadir Zaitov
16.02.2010, 17:36
Если просто сказать "с начальной скоростью V", то возникает вопрос: а может ли мотоциклист добавить газу на подъеме, сколько может добавить и т.д.? Так нужно считать что он едит с предельной тягой F/M... наверное. При спуске вниз предельная скорость неограничена, например и скорее всего предельная скорость равна нулю при вертикальном расположении мотоцикла (тяга двигателя меньше его веса, мотоцикл ведь не истребитель).
Если просто сказать "с начальной скоростью V", то возникает вопрос: а может ли мотоциклист добавить газу на подъеме, сколько может добавить и т.д.? Так нужно считать что он едит с предельной тягой F/M... наверное. При спуске вниз предельная скорость неограничена, например и скорее всего предельная скорость равна нулю при вертикальном расположении мотоцикла (тяга двигателя меньше его веса, мотоцикл ведь не истребитель).
При вертикальном спуске трудно будет соблюсти условие "без скольжения", и тогда скорость будет ограничена ускорением свободного падения и расстоянием до центра Земли:)
Nadir Zaitov
16.02.2010, 19:26
При вертикальном спуске трудно будет соблюсти условие "без скольжения", и тогда скорость будет ограничена ускорением свободного падения и расстоянием до центра Земли Кстати, я взялся решать влоб. Задачка весьма забавная, так как я не умею брать производную от интегрального функционала по переменной функции... нужно почитать литературу.
Nadir Zaitov
16.02.2010, 20:13
Пусть Т (x, f) - время, затрачиваемое мотоциклом, чтобы отъехать от точки A до точки x (ось OX – горизонтальная, ось OY – вертикальная) двигаясь по кривой у=f(x).
Для оптимизации нужно оптимизировать функционал:
https://img.uforum.uz/images/ljunrhl649369.png
Для этого требуется, чтобы в соответствии с формулой Эйлера-Лагранжа:
https://img.uforum.uz/images/mqanwyo552940.png
Плюс совпадение начальной и конечной точки.
Осталось получить формулу для функционала для T.
https://img.uforum.uz/images/iythuyl36387.png
где V (x,f) – функционал горизонтальной скорости мотоцикла в момент достижения мотоциклом отметки x.
Мы знаем, что ускорение в горизонтальной плоскости у нас равно:
https://img.uforum.uz/images/xoxovsr6475860.png
где α – угол наклона кривой f в точке x.
Так как
5) tg(α)=f ’(x),
6) sin2(α)=tg2 α/(1+ tg2 α)
7) cos2(α)=1/(1+ tg2 α)
получаем, что:
https://img.uforum.uz/images/wpeimzq7562577.png
Следовательно:
https://img.uforum.uz/images/opkufga7932111.png
Может, кто помнит как дальше решать? Точнее сможет взять производную по f ’ ?
Shuhrat Ismailov
16.02.2010, 20:34
Там описки есть.
Т (x, f) = Т (x, f, f ')
в g/M нужно убрать знаменатель.
Думаю, что нужно рассматривать задачу в пространстве.
А что будет , если асбсциссы точек А и В будут одинаковы?
Shuhrat Ismailov
16.02.2010, 21:01
Мы знаем, что ускорение в горизонтальной плоскости у нас равно:
где α – угол наклона кривой f в точке x.
Почему? Сомневаюсь.
Nadir Zaitov
16.02.2010, 21:11
Т (x, f) = Т (x, f, f ') f' вычисляется через f линейно. Не стал акцентировать на это внимание.
g/M - точно описка. Должно быть g. Почему-то g ассоциировалась с весом мотоцикла.
Nadir Zaitov
16.02.2010, 21:28
Почему? Сомневаюсь. Точно. Там должно было быть g*cos(α)*sin(a)
Вот выкладка:
https://img.uforum.uz/images/kjwuyfs3455261.jpg
Shuhrat Ismailov
16.02.2010, 21:49
f' вычисляется через f линейно
Тогда краевая задача получится
f'(x)=kf(x)+B
f(0)=0, f(a)=b
Тогда функционал не нужен. Задача теряет смысл.
Давай уж без синусов и косинусов.
Точки А(0,0) и В(r,q) расположены в вертикальной плоскости (xy):
Пусть уравнение кривой АВ есть y = y(x). Рассмотрим некоторый момент времени t, и пусть в этот момент движущаяся точка находится на расстоянии y от оси x.
Пусть v – скорость движущейся точки, а - ускорение, постоянное)
Тогда скорость равна
https://img.uforum.uz/images/npwdaba2233620.jpg
где Т время, в течение которого материальная точка достигает точки А.
Задача аналогична задаче отыскания брахистохроны (или цепной линии)
b_a_lamut
16.02.2010, 22:30
Мотоциклист поднимается в гору от точки А к точке В. Путь его пролегает в вертикальной плоскости, проходящей через точки А и В. Сила тяги двигателя мотоцикла постоянна. При какой форме склона горы мотоциклист преодолеет свой путь за кратчайшее время? Масса вместе с мотоциклом M, скорость V в точке A максимальна для развиваемой двигателем тяги F, скольжение отсутствует.
Пишу под оффтопом, потому, что вполне мог не правильно понять условие задачи :)
Ясно, что на горизонтальном участке, на преодоление пути АВ уйдёт наименьшее время. С каждым увеличением крутизны подъёма, время на преодоление участка АВ будет увеличиваться. Задача требует определить форму склона горы. Если предположить, что эта форма в виде полуокружности с участком АВ и диаметром А1В1, который перпендикулярен горизонтальной поверхности, то учитывая, что центростремительная сила равна mv²/r, где m - масса мотоцикла, v - его скорость, а r - радиус кривизны траектории, то думаю, что мотоциклист потратит наименьшее время на преодоление пути, и доедет до точки В, несмотря на то, что она изначально, была у него над головой. Ведь по Теории относительности, то, что для стороннего наблюдателя является криволинейным движением, для мотоциклиста, в данном случае, оно прямолинейное. Или всё не так? :shok:
а - ускорение, постоянное
Шухрат, а как пришли к выводу о постоянстве ускорения?
Пишу под оффтопом, потому, что вполне мог не правильно понять условие задачи :)
Ясно, что на горизонтальном участке, на преодоление пути АВ уйдёт наименьшее время. С каждым увеличением крутизны подъёма, время на преодоление участка АВ будет увеличиваться. Задача требует определить форму склона горы. Если предположить, что эта форма в виде полуокружности с участком АВ и диаметром А1В1, который перпендикулярен горизонтальной поверхности, то учитывая, что центростремительная сила равна mv²/r, где m - масса мотоцикла, v - его скорость, а r - радиус кривизны траектории, то думаю, что мотоциклист потратит наименьшее время на преодоление пути, и доедет до точки В, несмотря на то, что она изначально, была у него над головой. Ведь по Теории относительности, то, что для стороннего наблюдателя является криволинейным движением, для мотоциклиста, в данном случае, оно прямолинейное. Или всё не так? :shok:
склон горы может быть разной формы, нужно выбрать такую форму, что время в пути из точки А у подножья в точку B, расположенную на известном удалении по горизонтали и вертикали от точки А, окажется для этого мотоциклиста минимальным :)
Evgeniy Sklyarevskiy
16.02.2010, 23:27
Ведь по Теории относительности, то, что для стороннего наблюдателя является криволинейным движением, для мотоциклиста, в данном случае, оно прямолинейное. Или всё не так?
Теория относительности на тела, движущиеся криволинейно и с ускорением не распространяется или сжимает все пространство вокруг..
Shuhrat Ismailov
16.02.2010, 23:41
Шухрат, а как пришли к выводу о постоянстве ускорения?
Скорее всего, это допущение, упрощающее решение. Иначе синусы и косинусы появятся и функционал усложнится.
b_a_lamut
16.02.2010, 23:47
Теория относительности на тела, движущиеся криволинейно и с ускорением не распространяется или сжимает все пространство вокруг..
Так мотоциклист же двигается с постоянной скоростью, без ускорения, и, наверное, даже не заметит, что едет, в конце пути, вверх тормашками. А если взять центростремительную силу равной силе притяжения земли, то в зависимости от расстояния от А до В, и массы мотоцикла вместе с мотоциклистом, наверное, можно посчитать и скорость, с которой он должен ехать и радиус полуокружности и время, которое он затратит на заданный путь. Только я считать не умею :shok:
Evgeniy Sklyarevskiy
16.02.2010, 23:55
Так мотоциклист же двигается с постоянной скоростью, без ускорения,
При криволинейном движении скорость же не может быть постоянной, это не сама скорость, а модуль вектора (о, че я вспомнил-то!), а так как скорость меняется (пусть только по направлению) то движение с ускорением.
b_a_lamut
16.02.2010, 23:59
При криволинейном движении скорость же не может быть постоянной, это не сама скорость, а модуль вектора (о, че я вспомнил-то!), а так как скорость меняется (пусть только по направлению) то движение с ускорением.
Эх, это у меня в голове не укладывается. Но, не будем мешать решать задачу :)
Shuhrat Ismailov
17.02.2010, 00:02
Проше обратить внимание на частные случаи (в случае ограниченности и не постоянства силы тяги мотора).
1) Если точки А и В имеют одинаковые абсциссы, то задача не имеет решения.
2) Если точки А и В имеют одинаковые ординаты , то при движении по прямой задача совпадает с классической задачей быстродействия из теории оптимального управления (а она классическим уравнением Эйлера -Лагранжа не решается).
Поэтому предлагаю одно из допущений
а) Постоянство проекции силы тяги на ось оу (в этом случае получим классическую задачу о брахистохроне(
б) Разрешается выход за плоскость.
Тогда по-видимому мотоцикл будет сначала двигаться по винту с некоторым углом а потом по геодезической .
Вспоминаю горные серпантины перевала Камчик до строительства тоннелей, но доказать не могу
Шухрат, а как пришли к выводу о постоянстве ускорения?
Скорее всего, это допущение, упрощающее решение. Иначе синусы и косинусы появятся и функционал усложнится.
Кажется... что такое допущение лишает мотоцикл двигателя, а без двигателя задача действительно сводится к брахистохроне.:108:
Shuhrat Ismailov
17.02.2010, 00:14
без двигателя задача действительно сводится к брахистохроне.
Без двигателя мотоцикл в гору не поедет.
На самом деле ситуация немного сложнее. Постоянна а - это проекция ускорения.
Сила тяги двигателя мотоцикла постоянна.
Совсем запуталась, скажите, а что такое сила тяги, в чем она измеряеться?:)
Nadir Zaitov
17.02.2010, 09:04
f'(x)=kf(x)+B Я не это имел ввиду. Я имел ввиду, что функционал D: f(x) -> f'(x) на множестве дифференциируемых функций - линеен. Грубо говоря, имея f(x) вы не можите сказать, что f'(x) у вас свободная функция
Совсем запуталась, скажите, а что такое сила тяги, в чем она измеряеться? Я это учитывал с той точки зрения, что мотоцикk отталкивается от поверхности земли по косательной с одинаковой силой F в любой момент времени.
Подумал, что скорость можно подсчитать и без столь замудренной формулы. Может воспользоваться законом сохранения энергии?
Кто сможет присабачить его сюда при неизвестной траектории и постоянной тяге двигателя?
В теории придется брать интеграл от синус составляющей и косинус составляющей силы F, но зато все остальное упрощается до безинтегральных выражений.
Ildar Valiev
17.02.2010, 15:14
А как мотоцикл будет себя вести, если перед ним будет небольшой обрыв? Что там будет с потерей скорости/запчастей мотоцикла/мотоцилистом?
Как мне кажется, наилучший путь - это спираль. Конечно, при условии недостижимости точки при езде напрямую, либо когда это займет больше времени, чем если двигацца по спирали.
Nadir Zaitov
17.02.2010, 16:27
Как мне кажется, наилучший путь - это спираль. Конечно, при условии недостижимости точки при езде напрямую, либо когда это займет больше времени, чем если двигацца по спирали. Видимо по дуге.
Обрыв всегда можно заполнить землей, чтобы тяга не терялась и эта кривая будет более эффетивна. Об обрывах забудьте.
b_a_lamut
17.02.2010, 22:05
Видимо по дуге.
Обрыв всегда можно заполнить землей, чтобы тяга не терялась и эта кривая будет более эффетивна. Об обрывах забудьте.
С этой Брахистохроной так и неясно, прав я был или не прав?
Evgeniy Sklyarevskiy
17.02.2010, 22:40
сводится к брахистохроне
А как называется кривая, не брахистотрона? :-0)
А эквидистанта к брахистотроне — какая кривая?
Shuhrat Ismailov
17.02.2010, 22:51
А эквидистанта к брахистотроне — какая кривая?
Скорее всего, это кривая самого трудного подъема.
Evgeniy Sklyarevskiy
17.02.2010, 22:55
А эквидистанта к брахистотроне — какая кривая?
Скорее всего, это кривая самого трудного подъема.
Наоборот, тут как раз все легко: брахистохрона — циклоида... а эквидистантой к циклоиде тоже будет циклоида с другим радиусом катящейся точки, но с прежним радиусом катящейся окружности.
Shuhrat Ismailov
17.02.2010, 23:23
Кажется... что такое допущение лишает мотоцикл двигателя, а без двигателя задача действительно сводится к брахистохроне.
Давайте двигатель направим на трение
https://img.uforum.uz/images/fswnljd6652609.jpg
Кажется... что такое допущение лишает мотоцикл двигателя, а без двигателя задача действительно сводится к брахистохроне.
Давайте двигатель направим на трение
Красиво! Интересно было бы взглянуть на форму полученной кривой.
Интересно было бы взглянуть на форму полученной кривой.
Назовем её мотоциклоида или мотоциклисса :)
Интересно было бы взглянуть на форму полученной кривой.
Назовем её мотоциклоида или мотоциклисса :)
Мне кажется, Вы немножко запоздали с названием...:biggrin: -эту "кривую" -уже называют... ... "прямая" :biggrin::girl_blum:
Интересно было бы взглянуть на форму полученной кривой.
Назовем её мотоциклоида или мотоциклисса :)
Мне кажется, Вы немножко запоздали с названием...:biggrin: -эту "кривую" -уже называют... ... "прямая" :biggrin::girl_blum:
Эх... такая нобелевка сорвалась! :)
Shuhrat Ismailov
19.02.2010, 22:18
Назовем её мотоциклоида или мотоциклисса :)
Мне кажется, Вы немножко запоздали с названием...:biggrin: -эту "кривую" -уже называют... ... "прямая" :biggrin::girl_blum:
Эх... такая нобелевка сорвалась! :)
Это не прямая. Вот рисунок для частного случая.
https://img.uforum.uz/images/pnkucxz3156631.jpg
Evgeniy Sklyarevskiy
19.02.2010, 22:42
Это не прямая. Вот рисунок для частного случая.
Так частный случай прямой и есть кривая :-0))))
Это не прямая. Вот рисунок для частного случая.
Ой, перепутала...:) взглянула по быстрому и почему то подумала, что параметр это "к" :)
-может быть и в самом деле, кажется, что так ездить быстрее... но я, наверное, все таки, не решилась бы поставить ставку на едущего по такой дороге велосипедиста...:)
https://img.uforum.uz/images/nlyifqq1905382.gif
Shuhrat Ismailov
21.02.2010, 13:17
-может быть и в самом деле, кажется, что так ездить быстрее... но я, наверное, все таки, не решилась бы поставить ставку на едущего по такой дороге велосипедиста...:)
Такой траектории быть не может в принципе. Параметр "тета" в уравнении имеет ограничение, из-за краевых условий.
Такой траектории быть не может в принципе. Параметр "тета" в уравнении имеет ограничение, из-за краевых условий.
Давайте двигатель направим на трение
Одним словом я поняла, что ничего не поняла...:biggrin:
почему то подумала, что раз теперь у нас двигатель работает на трение то это означат отсутствие двигателя и присутствие трения в виде коэффициента "мю" в Ваших уравнениях, но тогда уравнения должны были бы превратиться в брахистохрону при "мю"=0 а этого не происходит -брахистохрона (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D1%80%D0%B0%D1%85%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%BE%D 1%85%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B0) выглядит совершенно иначе... она выпуклая а у Вас она получается вогнутой...
https://img.uforum.uz/images/qlczwul4525109.png
b_a_lamut
21.02.2010, 20:33
Одним словом я поняла, что ничего не поняла...
Эх, а у меня рисовалка не работает :(
Shuhrat Ismailov
21.02.2010, 20:38
Одним словом я поняла, что ничего не поняла...
почему то подумала, что раз теперь у нас двигатель работает на трение то это означат отсутствие двигателя и присутствие трения в виде коэффициента "мю" в Ваших уравнениях, но тогда уравнения должны были бы превратиться в брахистохрону при "мю"=0 а этого не происходит -брахистохрона выглядит совершенно иначе... она выпуклая а у Вас она получается вогнутой...
Действительно, интересно. При "мю"=0 функционал совпадает.
Однако параметрические уравнения (и график) при "мю"=0 совпадают с циклоидой.
«Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной).
http://ru.wikipedia.org/wiki/Циклоида
Думаю, что так получается за счет того, что точка В находится выше точки А? ( а в классической задаче про брахистохрону наоборот)
См. Вашу ссылку: http://ru.wikipedia.org/wiki/Брахистохрона
Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки А и В, лежащих в одной вертикальной плоскости (В ниже А), найти ту, двигаясь по которой под действием только силы тяжести, сонаправленной отрицательной полуоси OX, материальная точка достигнет В из А за кратчайшее время.
Думаю, что так получается за счет того, что точка В находится выше точки А? ( а в классической задаче про брахистохрону наоборот)
Может быть. Тогда получается велосипед едет снизу вверх сам по себе без двигателя и трением?:)
vBulletin® v3.8.5, Copyright ©2000-2025, Jelsoft Enterprises Ltd. Перевод: zCarot