Рулон картона

[German Stimban]

Полоса картона толщиной 2 мм свернута в рулон и намотана на барабан очень плотно, промежутком между слоями можно пренебречь. Диаметр барабана - 10 сантиметров, диаметр рулона - 50 сантиметров. Требуется узнать длину полосы

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Я знаю, но не буду лишать удовольствия форумча порешать... отличная задача.

[Rooslan Khayrov]

\int_{r_1}^{r_2} \frac{2 \pi r}{d} dr, где
r_1, r_2 — внутренний и внешний радиус рулона, соответственно;
d — толщина картона.
Отсюда
L = pi * (r2 ^ 2 - r1 ^ 2) / d
С исходными данными задачи получается примерно 94 метра.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

\int_{r_1}^{r_2} \frac{2 \pi r}{d} dr, где
r_1, r_2 — внутренний и внешний радиус рулона, соответственно;
d — толщина картона.
Отсюда
L = pi * (r2 ^ 2 - r1 ^ 2) / d
С исходными данными задачи получается примерно 94 метра.

Угу, надо площадь кольца разделить на толщину!

Когда-то с перфолентой такое вычислял :-0)

[Наташа]

\int_{r_1}^{r_2} \frac{2 \pi r}{d} dr
надо же как читать удобно... :) было бы классно здесь на форуме использовать TEX...:)

[shumbola]

\int_{r_1}^{r_2} \frac{2 \pi r}{d} dr
надо же как читать удобно... :) было бы классно здесь на форуме использовать TEX...:)
Лучше все-таки MathML. TeX конечно супер, но для узкого круга людей и не для представления в сыром виде. :-)

[Rooslan Khayrov]

Лучше все-таки MathML. TeX конечно супер, но для узкого круга людей и не для представления в сыром виде. :-)
TeX гораздо удобнее для ручного ввода, чем MathML, а уж отдавать формулы можно и картинками и MathML.

[shumbola]

Лучше все-таки MathML. TeX конечно супер, но для узкого круга людей и не для представления в сыром виде. :-)
TeX гораздо удобнее для ручного ввода, чем MathML, а уж отдавать формулы можно и картинками и MathML.
Вы мне можете не рассказывать про TeX, использую уже лет 20 наверное. :-)

LaTeX удобнее чем TeX. ;)

[Nadir Zaitov]

\int_{r_1}^{r_2} \frac{2 \pi r}{d} dr, где
r_1, r_2 — внутренний и внешний радиус рулона, соответственно;
d — толщина картона.
Отсюда
L = pi * (r2 ^ 2 - r1 ^ 2) / d
С исходными данными задачи получается примерно 94 метра.
А выкладки по человечески дать было слабо. Я не о TeX, а о решении.

Даже увидив интеграл он мне ничего сразу не сказал. Как Вы, например, учли начальный скачек (картон то на первом куругу не планомерно набирает ширину d, а скачком. Соответственно через круг должен быть опять скачек (с учетом условия плотности прилегания картона). Учитывая Ваше решение, я понял, что речь идет о равномерной спирали, но тогда нужно было бы считать не от r_1, а от r_1+d.

Кроме того формула для расчета длинны дуги в полярных координатах другая.

1. Для случая скачкообразного изменения решается так:

у нас 200 полных витков.

Первый виток имеет длинну: 10,1 см*2*Pi

Следущий и последующие больше ровно на 0,2 см*2*Pi

Последний виток имеет длинну: 49,9 см*2*Pi

Общая длинна исходя из формулы арифметической прогрессии:

2 * Pi * (10,1 см + 49,9 см)/2 * 200 = 37,69911 метров

2. Для случая непрерывного наматывания (без начального d) имеем в полярных координатах:

R = d*_alfa/(2*Pi),

интегрировать нужно для _alfa=R_0*2*pi/d до _alfa=R_1*2*pi/d,

Для полярных координат длина дуги считается по следующей функции: sqrt(R^2+R'_alfa^2)=d/(2*pi)*sqrt(1+_alfa^2)

После интегрирования sqrt(1+x^2) пролучилось 1/2*( ln(x+sqrt(x^2+1)) + x*sqrt(x^2+1) ).

Решаем интеграл и получаем 37,69914 метров.
Учитывая точность совпадения верю, что оба решения правильные... или я одинаково ошибся.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

А как правильно если быстро говорить: «рулон картона» или «картон рулона»? И в чем разница?

[Rooslan Khayrov]

Nadir Zaitov, всё было бы замечательно, если бы вы не использовали одну и ту же величину попеременно то как радиус, то как диаметр ;-)

А скачки я, разумеется, никак не учитывал: зачем считать точнее, чем можно измерить в реальном мире с учётом растяжимости картона и погрешности измерительных приборов. Просто считаем приращение длины на приращение радиуса.

[Nadir Zaitov]

Nadir Zaitov, всё было бы замечательно, если бы вы не использовали одну и ту же величину попеременно то как радиус, то как диаметр Это где? ;)

[Rooslan Khayrov]

Это где? ;)
Прошу прощения, вы всё посчитали правильно для радиусов, а потом неправильно перевели сантиметры в метры :-) И у вас получился ответ в 10/(2^2) = 2,5 раза меньше верного.

[Наташа]

у меня получилось другое: 376,99метров...:) -кто больше?...:biggrin:

[Nadir Zaitov]

Прошу прощения, вы всё посчитали правильно для радиусов, а потом неправильно перевели сантиметры в метры :-) Это точно... В метре 100 см, а не тысяча. Я что-то перепутал... Но вот про деление на 4 - это что-то не так у Вас! Мое решение выставлено. Есть 2 способа - выставить свое или указать на ошибку в моем решении. Я в своем не вижу. Видать ошибка в вашем :)у меня получилось другое: 376,99метров... Это одно и то же. Просто я см в метры переводить разучилси :).

[Evgeniy Sklyarevskiy]

а не тысяча.
Хорошо, что не 1024 :-0)

[Rooslan Khayrov]

Nadir Zaitov, да всё просто же, в исходном сообщении 10 и 50 см — это внешний и внутренний диаметры, соответственно.

[Nadir Zaitov]

это внешний и внутренний диаметры, соответственно А. Ясно.