Кубический треугольник

[Barbedo]

Кратчайшей между двумя точками на поверхности куба называется ломаная наименьшей длины с концами в этих точках, целиком лежащая на поверхности куба (в случае точек из одной грани это будет отрезок). Треугольником на поверхности куба называют наименьшую по площади область на поверхности куба, границей которой служат кратчайшие, попарно соединяющие три точки. Какую наибольшую площадь может иметь треугольник на поверхности куба с ребром длины 1 ?

http://www.fmclass.ru/math.php?id=49b38963d7019

[b_a_lamut]

Вот. Гудвин подарил. Не знаю, тот ли это камушек? :shok:

https://img.uforum.uz/images/6428222.jpg

[b_a_lamut]

Если камень тот, то цена, приблизительно, 2р 15коп.

[Barbedo]

Вот. Гудвин подарил.
Красиво! :)

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Площадь треугольника, нарисованного Баламутом равна 1,5 — похоже, что это и есть максимум. («Похоже» считается за доказательство? :-0 ))

[b_a_lamut]

Площадь треугольника, нарисованного Баламутом равна 1,5 — похоже, что это и есть максимум. («Похоже» считается за доказательство? :-0 ))

У меня, почему-то 2,15 получилось. Неужто Гудвин обманул. Пошёл пересчитывать :shok:

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Площадь треугольника, нарисованного Баламутом равна 1,5 — похоже, что это и есть максимум. («Похоже» считается за доказательство? :-0 ))

У меня, почему-то 2,15 получилось. Неужто Гудвин обманул. Пошёл пересчитывать :shok:

Не, стоп, я ошибся, беру 1,5 обратно...

[Barbedo]

Если камень тот, то цена, приблизительно, 2р 15коп.
Если б это было решением, я бы :107: взял за 2,15 :)

[b_a_lamut]

Не, стоп, я ошибся, беру 1,5 обратно...

Цену хотел снизить? Всё равно, камень не продаётся.

[b_a_lamut]

Если б это было решением, я бы взял за 2,15

Если у тебя опять, что-нибудь не припасено, то Евгений прав. 1,5 получается, по крайней мере в этом камне. :)

[Barbedo]

Если у тебя опять, что-нибудь не припасено, то Евгений прав. 1,5 получается, по крайней мере в этом камне. :)
Дело в том, что на гудвиновском кубе, насколько я понял из рисунка, вершины треугольника соединены не кратчайшими ломаными, следовательно, не выполняется условие задачи. Например, верхняя вершина и правая нижняя лежат на одной грани - правой задней, т.е. ломаная наименьшей длины, их соединяющая, есть диагональ этой грани.

[Nadir Zaitov]

Если камень тот, то цена, приблизительно, 2р 15коп.
Если б это было решением, я бы :107: взял за 2,15 :)А у меня получилось 4. Ровно половина поверхности куба. Там одна ломанная должна получиться и, следовательно, в сечении окажется, например, кадрат 1 x 1! Ясно что больше 4-х быть не может (это половина общей поверхности). Возможных варианто таких "треугольников" у меня получилась масса.

[Barbedo]

А у меня получилось 4. Ровно половина поверхности куба. Там одна ломанная должна получиться и, следовательно, в сечении окажется, например, кадрат 1 x 1! Ясно что больше 4-х быть не может (это половина общей поверхности). Возможных варианто таких "треугольников" у меня получилась масса.
Готов возразить: у куба с единичным ребром шесть граней площадью 1 каждая :)
А насчёт интуитивно максимальной площади искомого треугольника согласен - нужно искать треугольник площадью в половину поверхности куба, больше просто не может быть по условию, т.к. по определению это треугольник наименьшей площади, отсекаемый на поверхности куба тремя кратчайшими, и если площадь получается более половины, то рассматривать в качестве площади треугольника нужно площадь оставшейся поверхности куба. :)

[Nadir Zaitov]

Готов возразить: у куба с единичным ребром шесть граней площадью 1 каждая Блин, действительно. значит 3 м2.

А построить такой треугольник много ума не надо. У меня уже есть варианты:

Берем точку в центре одной грани (например верхней). Проводим через нее плоскость S, паралельную двум боковым граням. На пересечении нижней грани с S выбираем произвольно две различные точки. Вот вам и три точки треугольника. По построению линия пересечения куба с S и будет искомым треугольником.

[Barbedo]

Берем точку в центре одной грани (например верхней). Проводим через нее плоскость S, паралельную двум боковым граням. На пересечении нижней грани с S выбираем произвольно две различные точки. Вот вам и три точки треугольника. По построению линия пересечения куба с S и будет искомым треугольником.
Ха! Действительно, в определении тьреугольника не сказано, что при вершине не может быть угла в 180 градусов! Браво, Nadir! Просто и ясно получилось! :)

[b_a_lamut]

Дело в том, что на гудвиновском кубе, насколько я понял из рисунка, вершины треугольника соединены не кратчайшими ломаными, следовательно, не выполняется условие задачи. Например, верхняя вершина и правая нижняя лежат на одной грани - правой задней, т.е. ломаная наименьшей длины, их соединяющая, есть диагональ этой грани.

Был неправ в скоропалительном и неправильном решении :( Надеюсь, что не помешал придти к правильному ответу на поставленный вопрос остальным. Обещаю и впредь быть столь же скоропалительным :)