Как насчет косточки? [Архив]

Evgeniy Sklyarevskiy

09.09.2009, 14:19

вчера опубликовал в арбузном блоге задачу
На столб диаметра D и высотой h намотана цепь длиной L. Цепь закреплена сверху и наматывается под углом a. На каком максимальном расстоянии от столба можно положить кость, чтобы собачка ее достала?
http://blog.arbuz.uz/wp-content/download/2009/09/d0b1d183d0bbd18cd0b4d0bed0b3-d0bdd0b0-d186d0b5d0bfd0b8.jpg

Долго думал - мне кажется, что угол я зря оговорил, он получается автоматически при натяжении цепи?

Предлагаю порешать без задания угла.

Наташа

09.09.2009, 16:05

На столб диаметра D и высотой h намотана цепь длиной L. Цепь закреплена сверху и наматывается под углом a. На каком максимальном расстоянии от столба можно положить кость, чтобы собачка ее достала? а сколько оборотов цепи -это ведь не важно? -тогда может быть например 0 оборотов и максимальное расстояние s =корень(L^2-h^2)...:)

Nadir Zaitov

09.09.2009, 16:22

Предлагаю порешать без задания угла. А смысл в угле, наматывании и т.п.? Цепь то собачка может размотать вращаясь в обратную сторону или я что-то не понимаю? Тогда расстояние считается элементарно по теореме Пифагора - Sqrt(L^2-H^2).

Alexandr Pavlenko

09.09.2009, 16:31

тогда если угол не оговаривается, с какой стороны столба закреплена цепь? =)

Evgeniy Sklyarevskiy

09.09.2009, 16:47

Цепь то собачка может размотать вращаясь в обратную сторону или я что-то не понимаю? Тогда расстояние считается элементарно по теореме Пифагора - Sqrt(L^2-H^2).

При наматывании цепи высота точки подвески опускается, поэтому горизонтальный катет треугольника увеличивается. Возможно, при некоторых соотношениях диаметра столбика и его высоты максимальная удаленность собачки будет при каком-то промежуточном положении цепи, его и надо найти (попытаться)

Evgeniy Sklyarevskiy

09.09.2009, 16:48

тогда если угол не оговаривается, с какой стороны столба закреплена цепь? =)
Просто сверху, может закручиваться в любую сторону (по аналогии с воронкой в ванне :-0) )

Наташа

09.09.2009, 17:15

При наматывании цепи высота точки подвески опускается, поэтому горизонтальный катет треугольника увеличивается.
тогда хорошо б указать -что пространство -жутко деформировано...:) -я б даже сказала, что оно не метрическое... (наверно в таком пространстве вряд ли собачку будет мучить голод...)

b_a_lamut

09.09.2009, 17:24

Просто сверху, может закручиваться в любую сторону (по аналогии с воронкой в ванне :-0) )

Высота и гипотенуза известны. Находим катет, по которому собачка рвётся к косточке. Но... Не известна длина Шарика от ошейника до одной из задних лап собачки. Она же может развернуться задом к косточке и подтянуть эту косточку, непосредственно, вышеуказанной лапой :shok:

Чёрт, что за язык. Сплошная путанница... Шарик - он, а собачка - она, и всё это в одном лице. Пойду, кофе на йогУрт намажу...

insider

09.09.2009, 17:51

http://blog.arbuz.uz/wp-content/download/2009/09/d0b1d183d0bbd18cd0b4d0bed0b3-d0bdd0b0-d186d0b5d0bfd0b8.jpg

А деревце имеет к задаче какое то отношение ?
ведь оно мешает шарику размотать цепь.

Nadir Zaitov

09.09.2009, 18:10

тогда хорошо б указать -что пространство -жутко деформировано... -я б даже сказала, что оно не метрическое... (наверно в таком пространстве вряд ли собачку будет мучить голод...) Правильно. Так как в метрическом простравнстве должно работать неравенство треугольника (длинна одной стороны треугольника всегда меньше суммы двух других), стало быть длинна отрезка от вершины до точка на столбе и от точки на столбе до собачки всегда короче, чем просто натянутая цепь.

b_a_lamut

09.09.2009, 18:14

При наматывании цепи высота точки подвески опускается, поэтому горизонтальный катет треугольника увеличивается.

Думаю, что при любой попытке снизить высоту подвески путём наматывания, горизонтальный катет - уменьшится, а с ним и надежда заполучить косточку. Или сильно заблуждаюсь?

Nadir Zaitov

09.09.2009, 18:26

Или сильно заблуждаюсь? Не заблуждаетесь. При наматывании под любым углом и снижении на отрезок С, длинна остатка цепи уменьшится минимум на С, а так на C/sin(a).

Будем считать синус(а)=1, тода получим что квадрат длинны, на которую позволит дотяутся цепь равен:

(L-C)^2-(H-C)^2 = (L^2-H^2)-2(L-H)C,

Напомню, что sqrt(L^2-H^2) длинна, на которую дотянется собачка при свободной цепи, а величина 2(L-H)C положительна, пока цепь L не короче высоты H и собака фактически не "повешена".

b_a_lamut

09.09.2009, 18:36

А деревце имеет к задаче какое то отношение ?
ведь оно мешает шарику размотать цепь.

Могу предположить, что деревце посадили там с другой целью, чтобы поизмываться над бедным животным. Косточку размещают на ветке горизонтально подвязке цепи к столбу. Как-то показывали по телевизору, как собачка марки бульдог, лазала по деревьям :shok:

Наташа

09.09.2009, 18:45

собака фактически не "повешена".
Nadir Zaitov, прошу Вас не над вешать собачку.... -лучше уж скушайте...:)

vtoes288

09.09.2009, 19:56

Чёрт, что за язык. Сплошная путанница... Шарик - он, а собачка - она, и всё это в одном лице. Пойду, кофе на йогУрт намажу...

Язык как язык, всё просто, если Шарик - то пёсик, а если собачка - то Жучка.

https://img.uforum.uz/images/9826467.jpg

b_a_lamut

09.09.2009, 21:15

Вот... Есть ещё одно решение :shok:

https://img.uforum.uz/images/9643521.jpg

Evgeniy Sklyarevskiy

09.09.2009, 23:17

Есть ещё одно решение
Уже двух собак повесили?

А кто там на дереве - не ворона с сыром ли из басни на ели?

А что дерево в камуфляже? В армию собралось?

Еще на рогатку похоже... :-0)

b_a_lamut

09.09.2009, 23:39

Есть ещё одно решение
Уже двух собак повесили?

А кто там на дереве - не ворона с сыром ли из басни на ели?

А что дерево в камуфляже? В армию собралось?

Еще на рогатку похоже... :-0)

Собаку не повесили. Она в полёте.

На дереве белочка не белой масти.

И вообще - это не дерево. Это пришелец при параде.

Собака? На рогатку? У тебя извращённый взгляд на природу при виде натуры :shok:

Интересуюсь, есть ли лучший вариант решения задачи?

Barbedo

10.09.2009, 08:48

b_a_lamut

10.09.2009, 17:09

Осталось только составить и решить дифурчик

Эх, наверное я задачу не так понял :shok:
Допустим, что на столбик надели кольцо, с помощью котороко регулируют высоту цепи. Любое снижение цепи, в этом случае, происходит за счёт её укорачивания. Накручивание её на столб, лишь усугубит незавидное положение собачки. Если опускание высоты играет не в пользу собачки, то необходимо поднять косточку, так у собачки появится шанс, хотя бы лизнуть её.

https://img.uforum.uz/images/6480661.jpg

Nadir Zaitov

10.09.2009, 18:47

Barbedo

11.09.2009, 09:36

Классная задача! Угол подъема винтовой линии конечно же задавать не стоит, т.к. при натянутой цепи (пёс гарантирует) переменный угол подъема винтовой линии вполне опеделяется высотой и диаметром столба и длиной цепи. Осталось только составить и решить дифурчик Диффурчик там есть... но резон его решать если имеет место это (http://uforum.uz/showthread.php?p=268657#post268657)? Ошибался?
Да, с точки зрения пользы, а также барбоса, дифурчик бесполезен абсолютно, но красота геометрического сюжета, где присутствует взаимозависимость между формой кривой и длиной её дуги, потрясает! Потому и хочется поиграть с буковками и если не съесть, то хоть облизнуться. Пусть задача звучит, например, так: при известных H, L и D по какой траектории бежит Барбос, пытаясь догнать Котофеича, бегущего вокруг столба по окружности радиусом, равным L? :)

Nadir Zaitov

11.09.2009, 13:10

Да, с точки зрения пользы, а также барбоса, дифурчик бесполезен абсолютно, но красота геометрического сюжета, где присутствует взаимозависимость между формой кривой и длиной её дуги, потрясает! Потому и хочется поиграть с буковками и если не съесть, то хоть облизнуться. Пусть задача звучит, например, так: при известных H, L и D по какой траектории бежит Барбос, пытаясь догнать Котофеича, бегущего вокруг столба по окружности радиусом, равным L? Нужно еще параметры трения/соскальзывания веревки на грани крепления, а то может вообще не наматываться или считать, что уже есть начальное крепление к грани, а не к центру столба и соскальзывания по определению нет?

Barbedo

12.09.2009, 08:24

Нужно еще параметры трения/соскальзывания веревки на грани крепления, а то может вообще не наматываться или считать, что уже есть начальное крепление к грани, а не к центру столба и соскальзывания по определению нет?
Да, Вы правы, Nadir, будем считать, что конец цепи укреплен на боковой стороне столба и намотанный кусок цепи не скользит по столбу.:buba:

insider

12.09.2009, 09:08

Придется учитывать диаметр и высоту гвоздика тоже, на чем и прикреплена цепь (отчетливо видна на картинке), ведь при толчке он может чуть согнутся, что даст дополнительные миллиметры :buba:

и если внимательна приглядеться, то на косточку также претендует и ворона (или сорока) :biggrin:

Barbedo

12.09.2009, 10:31

Рассмотрим развертку боковой стороны столба с цепью. Кривая y=f(x) намотанной цепи напоминает кусок гиперболы. Пусть l - длина дуги намотанной части цепи. Тогда тангенс угла наклона касательной в точке x:
y'=(y/(L-l))/(1+((y/(L-l))^2)^0,5
или
y'=y/((L-l)^2+y^2)^0,5 (I)
l представим в виде интеграла по длине дуги
l=Intот0доx(1+(у')^2)^0,5dx (II)
подставим (II) в (I) и получим что-то страшное:)
Что с этим можно сделать - ума не приложу. Да и можно ли подставлять? Может, кто в курсе? А может, как-то проще можно дифур составить? Подскажите, люди добрые! :)

b_a_lamut

12.09.2009, 12:40

Подскажите, люди добрые!

Эх... Мне необходима картинка, с отображением ситуации.

Nadir Zaitov

12.09.2009, 13:57

Что с этим можно сделать - ума не приложу. Да и можно ли подставлять? Может, кто в курсе? А может, как-то проще можно дифур составить? Подскажите, люди добрые!

Мне кажется, вы перемудрили.

Допустим, что цепь врезается микрозубчиками в столб, приклеивается и более не скользит. Тогда вектор dl (l - кусок цепи оставшийся на столбе) направлен вдоль линии натяжения цепи - от текущей точки соприкосновения цепи со столбом до собачки, причем dl находится в плоскости, паралельной оси столба.

Если так, то dl = dx + dy (сумма векторов изменения y - вертикальной составляющей и x - горизонтальной составляющей на развороте столба, начало координат у основания столба под точкой крепления веревки.

Тогда (как бы откладывая веревку по параметру l, мы получаем функцию y(l)):

dy = y d(l)/(L-l) = - y d(l-L)/(L-l)

(вспомним, что L - общая длинна цепи, d(l-L)= dl) длинна веревки.

Следовательно, решаем дифур относительно параметра l при условии, что y(0)=h и получаем:

dy/y = d(L-l)/(L-l). Интегрируем. ln(y)=ln(L-l)+C
Далее берем экспоненту от обоих частей и видим:

y(l) = (L-l)*C, С - пока некоторая константа

при l=0 получаем h=L*C, следовательно С=h/L,

значит y(l)=h/L*(L-l). Зависимость линейная - это хорошо.

Теперь ищим x(l), при условии x(0)=0.

dx = sqrt(dl^2 - dy^2) = sqrt(1-h^2/L^2)dl

h и L - константы, стало быть x=sqrt(1-h^2/L^2)*l+C

C в данном случае окажется просто равной нулю. X(0) = 0 = C.

Стало быть x(l)= sqrt(1-h^2/L^2)*l = sqrt(L^2-h^2)*l/L

или l(x) = Lx/sqrt(L^2-h^2)

Стало быть в развороте поверхности столба мы увидем просто прямую:

Y=h/L*(L-l)=h/L*(L-Lx/sqrt(L^2-h^2)), а сокращая на L получаем:

Y=h/L*(L-l)=h*(1-x/M), где M - константа sqrt(L^2-h^2), равная начальному расстоянию пса от столба.

Barbedo

15.09.2009, 09:01

Подскажите, люди добрые!

Эх... Мне необходима картинка, с отображением ситуации.
Представьте такую картинку:
Столб оборудован моторчиком и может поворачиваться вокруг своей оси. По касательной к окужности столба проложен прямой горизонтальный желоб, по которому при вращении столба, наматывающего на себя цепь, скользит, упираясь лапами изо всех сил и безбожно лая, наш бедолага Барбос.
:)

Nadir Zaitov

15.09.2009, 10:10

Barbedo, было время разобраться в моих каракулях (http://uforum.uz/showthread.php?p=270023#post270023)? Все правильно?

Наташа

15.09.2009, 10:34

Стало быть в развороте поверхности столба мы увидем просто прямую: мне кажется все совершенно правильно...:)

Evgeniy Sklyarevskiy

15.09.2009, 10:45

Стало быть в развороте поверхности столба мы увидем просто прямую: мне кажется все совершенно правильно...:)

Нет, не прямую, угол же меняется все время, мы же договорились брать угол витка равным углу натянутой цепи, а он зависит от расстояния Барбоса от столба.

Nadir Zaitov

15.09.2009, 12:34

Evgeniy Sklyarevskiy

15.09.2009, 13:29

Нет, не прямую, угол же меняется все время, мы же договорились брать угол витка равным углу натянутой цепи, а он зависит от расстояния Барбоса от столба. Так я тоже так думал. Угол не меняется, так как пропорциональо меняется расстояние от барбоса до столба и высота крепления нити!
Вот это да!!! Неожиданно для меня во всяком случае!!!
А ведь действительно, если наматывать цепь на вращающийся столбик (как предложил Barbedo), то все треугольники, у которых цепь — гипотенуза будут подобными!!!

Задача оказалась еще красивей, чем я думал в начале!

b_a_lamut

15.09.2009, 14:25

то все треугольники, у которых цепь — гипотенуза будут подобными!!!

Почему же подобными? Интересуюсь, что здесь не так? :shok:

https://img.uforum.uz/images/6480661.jpg

Покажите пожалуйста на картинке, как с поворотом столбика, с целью накручивания цепи, собачка сможет отползти дальше от столба. Сижу, весь в недоумениях...

Nadir Zaitov

15.09.2009, 14:53

Покажите пожалуйста на картинке, как с поворотом столбика, с целью накручивания цепи, собачка сможет отползти дальше от столба. Сижу, весь в недоумениях... Не сможет... только уже задача о том, что все прямые на вашем рисунке (я об образах цепи) на самом деле не пересекаются, а пралельны друг другу.

makody

15.09.2009, 14:55

Можно вопросы автору топика:

- Какая точка столба имелась ввиду в вопросе "... На каком максимальном расстоянии от столба можно положить кость, чтобы собачка ее достала?...". Варианты: верх столба, низ столба, середина или вообще максимально возможное растояние.

- Отсутствует ли гравитация или, например, собака умеет летать?

- Какой частью своего собачьего тела собака должна эту косточку "достать"?

makody

15.09.2009, 15:04

По любому, на вопрос ответ есть стразу в задаче. Это сфера диаметром L (длина цепи) с центром в точке крепления цепи. Причем шаг и угол намотки цепи на столб совершенно не имеет значения, так как в максимально расстояние достигается при полном разматывании цепи. Если собака не утрированна в точку, то к этому расстоянию прибавляется длинна собачьего тела и максимальное расстояние будет L + длин.собаки. А если еще и столбик гнется, то L + длин.собаки + длин.столбика. Хотя последний случай не корректный - расстояние от столбика то не именилось. Так что по любому расстояние L + длин.собаки. Но в тоже время мы меряем расстояние от первоночально положения столбика....

Наташа

15.09.2009, 15:09

Почему же подобными? Интересуюсь, что здесь не так?видимо имеется ввиду

https://img.uforum.uz/images/5378547.jpg

:)

b_a_lamut

15.09.2009, 16:32

видимо имеется ввиду

Эх, я опять весь в сомнениях... Ведь снижение высоты происходит за счёт укорачивания цепи, а это значит, что углы будут иметь ещё большую разницу, чем на рисунке, где высота меняется просто кольцом, без накручивания цепи на столб, а значит картина подобия треугольников вызывает сомнение, по крайней мере у меня. Этим сомнением можно пренебречь, т.к. я не математик, но предполагаю, что необходимо найти диаметр столба и узнать, постоянный ли он или имеет переменную величину, чтоб треугольники, в процессе опытов, были подобными. Но задача ставит другой вопрос, ответ на который, возможно заблуждаюсь: "Косточка должна висеть на высоте столба, на растоянии от него равной длине цепи, а собачка должна достать косточку в прыжке :shok:

Evgeniy Sklyarevskiy

15.09.2009, 16:59

Косточка должна висеть на высоте столба, на растоянии от него равной длине цепи, а собачка должна достать косточку в прыжке
А собачка должна висеть рядом, и, раскачиваясь, должна достать косточку!

Как найти амплитуду собачки зная расстояние между подвесками7

Barbedo

15.09.2009, 17:08

Barbedo, было время разобраться в моих каракулях (http://uforum.uz/showthread.php?p=270023#post270023)? Все правильно?
Пусть ф=arcsin(H/L)
Допустим, в течение первого витка ф остается неизменным. Тогда длина намотанного витка окажется равной
l=2*Пи*r*(1+(tg(ф)^2 ))^0,5
где r – радиус столба.
Остаток длины цепи после намотки первого витка:
L(1)=L-l=L-2*Пи*r*(1+(tg(ф)^2 ))^0,5
Высота точки касания цепи со столбом после первого витка:
H(1)=H-l*H/L=H-H/L*2*Пи*r*(1+(tg(ф)^2 ))^0,5
Рассмотрим значение ф(1) в момент окончания намотки первого витка:
ф(1)= arcsin(H(1)/L(1))=(H-H/L*2*Пи*r*(1+(tg(ф)^2 ))^0,5)/( L-2*Пи*r*(1+(tg(ф)^2 ))^0,5)
если ф(1)=ф, то
(H- H/L*2*Пи*r*(1+(tg(ф)^2 ))^0,5)/( L-2*Пи*r*(1+(tg(ф)^2 ))^0,5)=Н/L
Подставив сюда H/L вместо sin(ф), имеем:
L-2*Пи*r*((2L^2+H^2)/(L^2+H^2))^0,5= L-2*Пи*r*((2L^2+H^2)/(L^2+H^2))^0,5)
Итак, мы пришли к тождеству, а значит, решение Nadir верное, и при любом сочетании L, r и H угол наклона цепи (угол подъема винтовой линии) при наматывании на столб остается постоянным!
Браво, Nadir!
:187:
Хотя, возможно, данная проверка решения невполне корректна, т.к. основана на допущении постоянства на первом витке:)

Nadir Zaitov

15.09.2009, 17:18

Итак, мы пришли к тождеству, а значит, решение Nadir верное, и при любом сочетании L, r и H угол наклона цепи (угол подъема винтовой линии) при наматывании на столб остается постоянным! Браво, Nadir! Ну Вы даете! Удивительнейший стиль проверки (нет чтобы просто формулки просмотреть и на ошибку указать, а одна очепятка там все ж закралась)! Браво!

Nadir Zaitov

15.09.2009, 17:20

По любому, на вопрос ответ есть стразу в задаче. Задача уже далеко ушла от начальных измышлений. Этим и интересен форум - можно задачу довести до абсолютно интересного маразма.

b_a_lamut

15.09.2009, 17:28

Задача уже далеко ушла от начальных измышлений. Этим и интересен форум - можно задачу довести до абсолютно интересного маразма.

Эх, математики... Вам лишь бы порешать... Так и не ясно, на вопрос Евгения Семёновича я ответил верно? :shok:

На столб диаметра D и высотой h намотана цепь длиной L. Цепь закреплена сверху и наматывается под углом a. На каком максимальном расстоянии от столба можно положить кость, чтобы собачка ее достала?