Обратный факториал

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Предлагаю ввести понятия непрерывного факториала для нецелых чисел согласно примеру:

4,5! = 1 * 2 * 3 * 4,5 = 18

Отсюда вопрос.

Как узнать, у какого числа непрерывный факториал равен 132?

А в общем виде, чему равно число n, факториал которого равен n!?

[Tatyana Belyakova]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Как узнать, у какого числа непрерывный факториал равен 132?

5,5. Или Вам метод расписать?

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Сообщение от Tatyana Belyakova

Или Вам метод расписать?

Для общего случАя :-0)

[Bankir]

[QUOTE=Evgeniy Sklyarevskiy;445798]Предлагаю ввести понятия непрерывного факториала для нецелых чисел QUOTE]
А Вы не могли бы начать с введения понятия факториала для квадрочисел и, вообще, гиперкомплексных?

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Сообщение от Bankir

А Вы не могли бы начать с введения понятия факториала для квадрочисел и, вообще, гиперкомплексных?

не могу, занят на работе :-0)

[Tatyana Belyakova]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Для общего случАя :-0)

Ну метод довольно топорный:
В случае, если факториал — целое число, мы последовательно, начиная с 1, делим n на целые числа. Останавливаемся, когда следующий делитель становится равным частному. Это и будет наше число n. Примерно так:

n=n!/1/2/3/4...(n-1)

В дробном случае мы останавливаемся, когда в качестве частного выходит дробное число.

Оффтоп:

Сообщение от Bankir

А Вы не могли бы начать с введения понятия факториала для квадрочисел и, вообще, гиперкомплексных?

— Доктор, у меня такая проблема: когда я касаюсь кончиком языка кусочка фольги, в которой до этого запекали картофель в духовке, у меня почему-то начинает колоть в правой пятке! Что Вы об этом думаете?
— Я думаю, что у Вас слишком много свободного времени...

[DarkUser]

Сообщение от Tatyana Belyakova

В дробном случае мы останавливаемся, когда в качестве частного выходит дробное число.

"обратный факториал" от 156 = 6.5
6.5! = 780.
как-то так...

[Tatyana Belyakova]

Сообщение от DarkUser

как-то так...

Мда. Неувязочка получается.

[Rooslan Khayrov]

Вообще, обобщением факториала (на поле комплексных чисел) является гамма-функция.
А функция ЕС не непрерывна, вот и неувязочки с обратной функцией.

[Shuhrat Ismailov]

Сообщение от Tatyana Belyakova

5,5. Или Вам метод расписать?

Давайте я распишу за Вас.

Оффтоп:

Надеюсь, Вы мне в глаз за это не дадите. )

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Предлагаю ввести понятия непрерывного факториала для нецелых чисел согласно примеру:
4,5! = 1 * 2 * 3 * 4,5 = 18

Будем рассматривать только положительные действительные числа.
Известно, что любое число x представимо в виде
x=[x]+{x} или по-другому, x=n+a, где
n=[x]-целая часть числа x, a= {x}-дробная часть числа x. (Напомним также, что x-1<n<=x, 0<=a<1)
Тогда по определению можно положить
х!=[x-1]!*х=[x-1]!*([x]+{x})=[x]!+[x-1]!*{x}=n!+(n-1)!a
(последние факториалы обычные)

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Как узнать, у какого числа непрерывный факториал равен 132?

Решение "необычного факториального уравнения х!=132 сводится к уравнению n!+(n-1)!a=132.
Так как 5!=120<132<720=6!), то n=5 ,
120+24*a=132,
a=0,5.
Значит, x=n+a=5,5.

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

А в общем виде, чему равно число n, факториал которого равен n!?

Здесь не совсем ясно выразились. Может быть, Вы имели следующее?
Чему равно число х, непрерывный факториал которого равен b, где b - заданное натуральное число?
Тогда исходя из рассуждений, данных выше, получаем схему из трех шагов.
Шаг 1) Находим наибольшее n такое, что n!<b ( т.е. удовлетворяющее двойному неравенству n!<b<(n+1)!) Здесь полезно иметь таблицу обычных факториалов или организовать программный цикл на ПЭВМ)
Шаг 2) Подставляя найденное выше n в уравнение n!+(n-1)!a=b,
получим a= (b-n!)/(n-1)!=b/(n-1)!-n
(легко видеть, что a - число из полуоткрытого интервала [0,1).)
3) Выписываем решение в виде х = n+a.
Вроде нигде не ошибся.
Отметим шаг 1, в котором требуется небольшой творческий подход.

Сообщение от Rooslan Khayrov

вот и неувязочки с обратной функцией.

Так как в результате трех шагов n и a (а значит, и х) находятся однозначно, то нет никаких неувязочек.
Т.е. функция х!=[x]!+[x-1]!*{x} получается обратимой.