Моё меню Общее меню Пользователи Правила форума Все прочитано
Вернуться   uForum.uz > ТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРУМЫ > Разминка для мозгов
Знаете ли Вы, что ...
...для каждой темы существует свой раздел. Изучите структуру форума. Если соответствующего раздела нет, то всегда есть раздел "Разное" :)
<< Предыдущий совет - Случайный совет - Следующий совет >>

Разминка для мозгов Загадки, задачи, головоломки - тренируем мозг


Ответить

 
Опции темы Опции просмотра
Старый 10.03.2010 15:27   #1  
Real ID Group Ultimate ex-wild_John
Супермодератор
Аватар для German Stimban
Оффлайн
Центр программистов Bepro
Начальник отдела
Сообщений: 8,063
+ 4,916  6,509/2,846
– 300  135/90

UzbekistanОтправить сообщение для German Stimban с помощью ICQОтправить сообщение для German Stimban с помощью Skype™LiveJournal
Задачи с Московской Математической Олимпиады

Вспомнилось участие в этой олимпиаде, решил поискать в интернете. Как пишется на официальном сайте:
Цитата:
Задачи для Московской математической олимпиады подбираются таким образом, чтобы для их решения не требовалось специальных знаний, выходящих за рамки стандартного школьного курса; в тоже время, эти задачи не ставят своей целью только проверку успеваемости школьников, но дают возможность школьникам приобщиться к реальной науке, порешать занимательные задачи, которые могут вызвать заинтересованность в дальнейшем поиске, в более глубоком изучении математики.
Предлагаю порешать задачи, ибо они красивые и с изюминкой. Для начала - задачи для 11 класса, с олимпиады 2008 года:

Задача №1. Числа p и q таковы, что параболы y=-2x^2 и y=x^2+px+q пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру. Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.

Задача №2. Найдите наименьшее натуральное n, для которого число n^n не является делителем числа 2008!=1· 2·...· 2008.

Задача №3. На едином экзамене 333 ученика допустили в общей сложности 1000 ошибок. Возможно ли при этом, что учеников, сделавших более чем по 5 ошибок, оказалось больше, чем учеников, сделавших менее чем по 4 ошибки?

Задача №4. Через центр O вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой AO и пересекающая прямую BC в точке M. Из точки O на прямую AM опущен перпендикуляр OD. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Задача №5. Станок выпускает детали двух типов. На ленте его конвейера выложены в одну линию 75 деталей. Пока конвейер движется, на станке готовится деталь того типа, которого на ленте меньше. Каждую минуту очередная деталь падает с ленты, а подготовленная кладется в ее конец. Через некоторое число минут после включения конвейера может случиться так, что расположение деталей на ленте впервые повторит начальное. Найдите: а) наименьшее такое число, б) все такие числа.

Задача №6. Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами. В вершине A квадрата ABCD находится нора: если в нее, в отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке (возможно, в точке A). Вначале лиса сидит в точке C, а зайцы — в точках B и D. Лиса бегает повсюду со скоростью не больше v, а зайцы — по лучам AB и AD со скоростью не больше 1. При каких значениях v лиса сможет поймать обоих зайцев?

Задача №7. Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же плоскость) исходного многогранника
а) больше, чем 1/4,
б) не меньше, чем 1/9,
в) не меньше, чем 1/7?
__________________
Герман - это не имя, это особое состояние души (Джим Анджер)
Ответить 
Старый 31.03.2010 12:52   #2  
Real ID Group uParty Member Ultimate
Аватар для Nadir Zaitov
Оффлайн
Сообщений: 13,234
+ 4,956  9,169/3,938
– 170  137/105

UzbekistanОтправить сообщение для Nadir Zaitov с помощью Skype™
Цитата:
Сообщение от German Stimban Посмотреть сообщение
Задача №1. Числа p и q таковы, что параболы y=-2x^2 и y=x^2+px+q пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру. Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.
Вывглядит страшно, но решается (оказывается) элементарно.
На самом деле площадь поверхности x^2+px+q<у<-2x^2 (учитывая направления ветвей парабол возможен только такой вариант), эквивалентно по площади 3x^2+px+q<у<0, а это уже симметричная фигура с центром -b/2a = -p/6

Интересно, что от q решение совсем не зависит.

Вроде б так.
__________________
Тот факт, что медуза выжила 650 миллионов лет без мозгов, даёт надежду многим.
Ответить 
2 "+" от:
Старый 31.03.2010 14:21   #3  
Real ID Group uParty Member Ultimate
Аватар для Nadir Zaitov
Оффлайн
Сообщений: 13,234
+ 4,956  9,169/3,938
– 170  137/105

UzbekistanОтправить сообщение для Nadir Zaitov с помощью Skype™
Цитата:
Сообщение от German Stimban Посмотреть сообщение
Задача №2. Найдите наименьшее натуральное n, для которого число n^n не является делителем числа 2008!=1· 2·...· 2008.
Некоторое число p входит в 2008! f(p) раз, где:

f(p)=[2008/p]+[2008/p^2]+... (ясно, что это на самом деле не бесконечный ряд, если p - натуральное числ большее 1)

для того, чтобы оно не было делителем известно, что:

f(p)<p

или [2008/p]*p+[2008/p^2]*p+... <P^2

Раз так, то второй и последующие члены в функции f(p) для искомого p равны нулю. Стало быть нужно искать минимальное число p типа P^2>2008 и такое число 45, так как корень(2008)=44,8...

Ответ: 45.
__________________
Тот факт, что медуза выжила 650 миллионов лет без мозгов, даёт надежду многим.
Ответить 
"+" от:
Старый 31.03.2010 14:25   #4  
Real ID Group uParty Member Ultimate
Аватар для Nadir Zaitov
Оффлайн
Сообщений: 13,234
+ 4,956  9,169/3,938
– 170  137/105

UzbekistanОтправить сообщение для Nadir Zaitov с помощью Skype™
Цитата:
Сообщение от German Stimban Посмотреть сообщение
Задача №3. На едином экзамене 333 ученика допустили в общей сложности 1000 ошибок. Возможно ли при этом, что учеников, сделавших более чем по 5 ошибок, оказалось больше, чем учеников, сделавших менее чем по 4 ошибки?
Если "более, чем по 5 ошибок" включает число 5, то может:
200 учеников допустили по 5 ошибок => 200*5 = 1000

Если "более, чем по 5 ошибок" не включает число 5, то не может:
166 учеников максимум могут допустить по 6 ошибок => 166*6 = 994
Но 166 - это меньшенство из 333 человек (333/2 = 166,5).
__________________
Тот факт, что медуза выжила 650 миллионов лет без мозгов, даёт надежду многим.
Ответить 
2 "+" от:
Старый 31.03.2010 15:07   #5  
Аватар для Наташа
Оффлайн
Сообщений: 1,307
+ 885  788/480
– 0  51/26

Germany
Цитата:
Сообщение от Nadir Zaitov Посмотреть сообщение
и такое число 45,
Мне кажется, здесь возможно нужно было бы учесть, что 45=9*5?...
Ответить 
Старый 31.03.2010 16:16   #6  
Real ID Group uParty Member Ultimate
Аватар для Nadir Zaitov
Оффлайн
Сообщений: 13,234
+ 4,956  9,169/3,938
– 170  137/105

UzbekistanОтправить сообщение для Nadir Zaitov с помощью Skype™
Цитата:
Сообщение от Наташа Посмотреть сообщение
Цитата:
Сообщение от Nadir Zaitov Посмотреть сообщение
и такое число 45,
Мне кажется, здесь возможно нужно было бы учесть, что 45=9*5?...
Я тоже начала думал, что решение должно быть простым числом. Но ведь степень тоже имеет значение:

9^9 - может быть делителем,
5^5 - может быть делителм, но
45^45 - может уже делителем не быть. ...

Кстати в задачке 3 у всех могут быть по 4 ошибки, кроме как у ограниченного числа... так что там не все гладко в моем решении и ваш стертый комментарий при модификации имеет смысл
__________________
Тот факт, что медуза выжила 650 миллионов лет без мозгов, даёт надежду многим.

Последний раз редактировалось Nadir Zaitov; 31.03.2010 в 16:19.
Ответить 
Старый 31.03.2010 17:06   #7  
Аватар для Andrews
Оффлайн
Школа
Учитель
Сообщений: 5,860
+ 18,066  2,154/1,194
– 947  192/158

Uzbekistan
Цитата:
Сообщение от Nadir Zaitov Посмотреть сообщение
166*6 = 994
996
Ответить 
Реклама и уведомления
Старый 31.03.2010 17:25   #8  
Аватар для Наташа
Оффлайн
Сообщений: 1,307
+ 885  788/480
– 0  51/26

Germany
Цитата:
Сообщение от Nadir Zaitov Посмотреть сообщение
9^9 - может быть делителем, 5^5 - может быть делителм, но 45^45 - может уже делителем не быть. ...
Да, но мне кажется не только 45^n будет делиться на 45... а например: 9*5, 10*18, 15*27,...
(5*10*15*20*25*...*225)*(9*18*27*36*45*54*63*...)=(5*1*5*2*5*3...)*(9*1*9*2*9*3...)=((5*9 )(5*9)(5*9)(5*9)...(5*9))(1*2*...)(1*2*...)...

Цитата:
Сообщение от Nadir Zaitov Посмотреть сообщение
и ваш стертый комментарий при модификации имеет смысл
Мне кажется, у Вас таки все правильно...

Последний раз редактировалось Наташа; 31.03.2010 в 17:29.
Ответить 
"+" от:
Старый 31.03.2010 18:27   #9  
Real ID Group uParty Member Ultimate
Аватар для Nadir Zaitov
Оффлайн
Сообщений: 13,234
+ 4,956  9,169/3,938
– 170  137/105

UzbekistanОтправить сообщение для Nadir Zaitov с помощью Skype™
Цитата:
Сообщение от Наташа Посмотреть сообщение
Да, но мне кажется не только 45^n
Да... точно...

В формуле, указанной мной выше, нужно делить не на p, а наибольшее простое число, являющееся делителем p.

Тогд придется сразу задать, что p - простое, так как иначе оно не наименьшее.

Тогда берем только простое p и тогда это будет 47.
__________________
Тот факт, что медуза выжила 650 миллионов лет без мозгов, даёт надежду многим.
Ответить 
2 "+" от:
Старый 03.04.2010 22:59   #10  
Real ID Group uParty Member
Аватар для Shuhrat Ismailov
Оффлайн
Сообщений: 3,424
+ 2,936  2,661/1,365
– 84  129/82

UzbekistanОтправить сообщение для Shuhrat Ismailov с помощью Skype™Facebook
Цитата:
Сообщение от Nadir Zaitov Посмотреть сообщение
Цитата:
Сообщение от German Stimban Посмотреть сообщение
Задача №2. Найдите наименьшее натуральное n, для которого число n^n не является делителем числа 2008!=1· 2·...· 2008.
Ответ: 45.
Цитата:
Сообщение от Nadir Zaitov Посмотреть сообщение
Тогда берем только простое p и тогда это будет 47.
Правильно.
2008! делится на 46^46, но не делится на 47^47.
Оффтоп:
а) Среди множителей 1, 2... ,2008 есть более 100 (а значит есть 46) четных чисел их произведение делится на 2^46.
б) по формуле Надыра f(23)= целая часть (2008/23)+целая часть (2008/23^2)+.....=целая часть (2008/23)+0+....), значит 2008! делится на 23^46.
Объединяем а) и б), получим, что 1· 2·...· 2008 делится на
(2^46)(23^46)=46^46.
Теперь вычислим показатель степени f(47) , ибо 47 -простое.
f(47)= целая часть (2008/47)+целая часть (2008/47^2)+.....=целая часть (2008/47)+0+....=42
Значит произведение 1, 2... ,2008 делится на 47^42, но не делится на 47^47.

Последний раз редактировалось Shuhrat Ismailov; 03.04.2010 в 23:08.
Ответить 
"+" от:
Ответить
Опции темы
Опции просмотра




Здесь представлены форумы: UZINFOCOM, ЦППМП, ГКСИТТ, PC.UZ, Microsoft, IBM, HP, Fujitsu, D-Link, Intel, Ассоциация IT, InfoCOM.UZ, BANK.UZ, ActiveCloud, Sarkor Telecom, BUZTON, Cisco Systems, NetDec, EVO, Sharq Telekom, EPSON, Cron Telecom.
Powered by vBulletin® Version 3.8.5
Copyright ©2000 - 2017, Jelsoft Enterprises Ltd. Перевод: zCarot
Advertisement System V2.5 By Branden
Центр UZINFOCOM


Новые 24 часа Кто на форуме Новички Поиск Кабинет Все прочитано Вверх