"Вперёд и вверх, а там..."

[Barbedo]

Мотоциклист поднимается в гору от точки А к точке В. Путь его пролегает в вертикальной плоскости, проходящей через точки А и В. Сила тяги двигателя мотоцикла постоянна. При какой форме склона горы мотоциклист преодолеет свой путь за кратчайшее время? Масса вместе с мотоциклом M, скорость V в точке A максимальна для развиваемой двигателем тяги F, скольжение отсутствует.

[Nadir Zaitov]

Вроде б задача стандартная в теории оптимизации.

Сообщение от Barbedo

скорость V в точке A максимальна для развиваемой двигателем тяги F

Нашел вот такую проблему. Речь об тяге в горизонтальной плоскости, т.е. учитывать сопростивление воздуха? Может просто сказать - с начальной скоростью V?

[b_a_lamut]

Сообщение от Barbedo

Мотоциклист поднимается в гору от точки А к точке В. Путь его пролегает в вертикальной плоскости, проходящей через точки А и В. Сила тяги двигателя мотоцикла постоянна. При какой форме склона горы мотоциклист преодолеет свой путь за кратчайшее время? Масса вместе с мотоциклом M, скорость V в точке A максимальна для развиваемой двигателем тяги F, скольжение отсутствует.

Оффтоп:

Эх, с высоты своих прогулов в школе, могу лишь, как обычно, повести остальных по ложному пути, предположив, что АВ - это диаметр полуокружности вырытый в горе. Если, конечно, имелось ввиду ещё и то, что мотоциклист должен был подняться на максимальную высоту. Смущает только то, что про парашют в задаче не упоминается

[Наташа]

Сообщение от Barbedo

скорость V в точке A максимальна для развиваемой двигателем тяги F, скольжение отсутствует.

Ну а если бы велосипедист ехал, например, банально бесконечное время, с ускорением, интересно, какая скорость у него максимальная?

[Barbedo]

Сообщение от Nadir Zaitov

Нашел вот такую проблему. Речь об тяге в горизонтальной плоскости, т.е. учитывать сопростивление воздуха? Может просто сказать - с начальной скоростью V?

Если просто сказать "с начальной скоростью V", то возникает вопрос: а может ли мотоциклист добавить газу на подъеме, сколько может добавить и т.д.? А так ясно, что боьше он ничего выжать из двигателя не может и при максимальной тяге двигателя F развивает на горизонтальном участке скорость V, т.е. скорость его при подъеме по склону без скольжения при g=const и F=const будет зависеть только от формы склона. Сопротивление воздуха не учитываем.

[Barbedo]

Сообщение от Наташа

Ну а если бы велосипедист ехал, например, банально бесконечное время, с ускорением, интересно, какая скорость у него максимальная?

Зависит от типа велосипеда, типа велосипедиста и типа бесконечности.

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Barbedo

Если просто сказать "с начальной скоростью V", то возникает вопрос: а может ли мотоциклист добавить газу на подъеме, сколько может добавить и т.д.?

Так нужно считать что он едит с предельной тягой F/M... наверное. При спуске вниз предельная скорость неограничена, например и скорее всего предельная скорость равна нулю при вертикальном расположении мотоцикла (тяга двигателя меньше его веса, мотоцикл ведь не истребитель).

[Barbedo]

Сообщение от Nadir Zaitov

Так нужно считать что он едит с предельной тягой F/M... наверное. При спуске вниз предельная скорость неограничена, например и скорее всего предельная скорость равна нулю при вертикальном расположении мотоцикла (тяга двигателя меньше его веса, мотоцикл ведь не истребитель).

При вертикальном спуске трудно будет соблюсти условие "без скольжения", и тогда скорость будет ограничена ускорением свободного падения и расстоянием до центра Земли

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Barbedo

При вертикальном спуске трудно будет соблюсти условие "без скольжения", и тогда скорость будет ограничена ускорением свободного падения и расстоянием до центра Земли

Кстати, я взялся решать влоб. Задачка весьма забавная, так как я не умею брать производную от интегрального функционала по переменной функции... нужно почитать литературу.

[Nadir Zaitov]

Пусть Т (x, f) - время, затрачиваемое мотоциклом, чтобы отъехать от точки A до точки x (ось OX – горизонтальная, ось OY – вертикальная) двигаясь по кривой у=f(x).

Для оптимизации нужно оптимизировать функционал:

Для этого требуется, чтобы в соответствии с формулой Эйлера-Лагранжа:

Плюс совпадение начальной и конечной точки.

Осталось получить формулу для функционала для T.



где V (x,f) – функционал горизонтальной скорости мотоцикла в момент достижения мотоциклом отметки x.

Мы знаем, что ускорение в горизонтальной плоскости у нас равно:



где α – угол наклона кривой f в точке x.

Так как

5) tg(α)=f ’(x),

6) sin2(α)=tg2 α/(1+ tg2 α)

7) cos2(α)=1/(1+ tg2 α)

получаем, что:



Следовательно:



Может, кто помнит как дальше решать? Точнее сможет взять производную по f ’ ?