Человек в лесу

[JackDaniels]

Сообщение от Evgeniy Sklyarevskiy

Человек находится в лесу на расстоянии километра от дороги.
Но направление к дороге не известно.

По какой траектории надо двигаться, чтобы найти дорогу за кратчайшее время?

Задача была бы интереснее в таком виде —

«Человек находится в лесу, но направление к дороге не известно.
По какой траектории надо двигаться, чтобы найти дорогу за кратчайшее время?»

[Nadir Zaitov]

Сообщение от ShN

Откуда pi/2 - 2a?

Это длинна остатка от четверти окружности, которую мы заменяем начальным радиальным отрезком (1/cos(a)) и отрезком, идущим по касательной (tg(a)).

Оффтоп:

ShN, кстати эту задачу можно давать деткам на олимпиаде... или при тренировке к таковой.

[Georgick]

Сообщение от Nadir Zaitov

Цитата:
Сообщение от ShN Посмотреть сообщение
Откуда pi/2 - 2a?
Это длинна остатка от четверти окружности, которую мы заменяем начальным радиальным отрезком (1/cos(a)) и отрезком, идущим по касательной (tg(a)).

на самом деле и ShN, и Nadir Zaitov по-своему правы.
Там действительно угол не Pi/2-2a, т.к точки касания с прямой на самом деле-то нет, она где-то рядом. Но в виду того, что мы рассматриваем предельное значение, мы этим пренебрегаем.

Кстати, если посмотреть на итоговую кривую, то она по очертаниям частично напоминает спираль)

[Nadir Zaitov]

Сообщение от Nadir Zaitov

хотя не уверен, что мы нашли оптимальный вариант. Оптимум должен быть по идее симметричным

Думал над этим вопросом и пришел к следующему выводу:

Вспомним задачу:

pi/2 - 2a + tg(a) + 1/cos(a) -> min

При дифференциировании она дает:

-2 + 1/cos²(a) + sin(a)/cos²(a) = 0

Умножив на cos²(a) и заметив потом, что cos²(a) = 1- sin²(a), я получил:

2sin²(a) + sin(a) - 1 = 0

Решения получилось два (можно увидеть по теореме Виета): sin(a)=1/2 и sin(a)=-1

Я сначала sin(a)=-1 выкинул, но если подумать, то это же тот самый "завершающий" отрезок! Не знаю - может и случайно так получилось...