uForum.uz

uForum.uz (https://uforum.uz/index.php)
-   Разминка для мозгов (https://uforum.uz/forumdisplay.php?f=470)
-   -   Задачи с Московской Математической Олимпиады (https://uforum.uz/showthread.php?t=12232)

German Stimban 10.03.2010 15:27

Задачи с Московской Математической Олимпиады
 
Вспомнилось участие в этой олимпиаде, решил поискать в интернете. Как пишется на официальном сайте:
Цитата:

Задачи для Московской математической олимпиады подбираются таким образом, чтобы для их решения не требовалось специальных знаний, выходящих за рамки стандартного школьного курса; в тоже время, эти задачи не ставят своей целью только проверку успеваемости школьников, но дают возможность школьникам приобщиться к реальной науке, порешать занимательные задачи, которые могут вызвать заинтересованность в дальнейшем поиске, в более глубоком изучении математики.
Предлагаю порешать задачи, ибо они красивые и с изюминкой. Для начала - задачи для 11 класса, с олимпиады 2008 года:

Задача №1. Числа p и q таковы, что параболы y=-2x^2 и y=x^2+px+q пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру. Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.

Задача №2. Найдите наименьшее натуральное n, для которого число n^n не является делителем числа 2008!=1· 2·...· 2008.

Задача №3. На едином экзамене 333 ученика допустили в общей сложности 1000 ошибок. Возможно ли при этом, что учеников, сделавших более чем по 5 ошибок, оказалось больше, чем учеников, сделавших менее чем по 4 ошибки?

Задача №4. Через центр O вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой AO и пересекающая прямую BC в точке M. Из точки O на прямую AM опущен перпендикуляр OD. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Задача №5. Станок выпускает детали двух типов. На ленте его конвейера выложены в одну линию 75 деталей. Пока конвейер движется, на станке готовится деталь того типа, которого на ленте меньше. Каждую минуту очередная деталь падает с ленты, а подготовленная кладется в ее конец. Через некоторое число минут после включения конвейера может случиться так, что расположение деталей на ленте впервые повторит начальное. Найдите: а) наименьшее такое число, б) все такие числа.

Задача №6. Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами. В вершине A квадрата ABCD находится нора: если в нее, в отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке (возможно, в точке A). Вначале лиса сидит в точке C, а зайцы — в точках B и D. Лиса бегает повсюду со скоростью не больше v, а зайцы — по лучам AB и AD со скоростью не больше 1. При каких значениях v лиса сможет поймать обоих зайцев?

Задача №7. Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же плоскость) исходного многогранника
а) больше, чем 1/4,
б) не меньше, чем 1/9,
в) не меньше, чем 1/7?

Nadir Zaitov 31.03.2010 12:52

Цитата:

Сообщение от German Stimban (Сообщение 371485)
Задача №1. Числа p и q таковы, что параболы y=-2x^2 и y=x^2+px+q пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру. Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.

Вывглядит страшно, но решается (оказывается) элементарно.
На самом деле площадь поверхности x^2+px+q<у<-2x^2 (учитывая направления ветвей парабол возможен только такой вариант), эквивалентно по площади 3x^2+px+q<у<0, а это уже симметричная фигура с центром -b/2a = -p/6

Интересно, что от q решение совсем не зависит.

Вроде б так.

Nadir Zaitov 31.03.2010 14:21

Цитата:

Сообщение от German Stimban (Сообщение 371485)
Задача №2. Найдите наименьшее натуральное n, для которого число n^n не является делителем числа 2008!=1· 2·...· 2008.

Некоторое число p входит в 2008! f(p) раз, где:

f(p)=[2008/p]+[2008/p^2]+... (ясно, что это на самом деле не бесконечный ряд, если p - натуральное числ большее 1)

для того, чтобы оно не было делителем известно, что:

f(p)<p

или [2008/p]*p+[2008/p^2]*p+... <P^2

Раз так, то второй и последующие члены в функции f(p) для искомого p равны нулю. Стало быть нужно искать минимальное число p типа P^2>2008 и такое число 45, так как корень(2008)=44,8...

Ответ: 45.

Nadir Zaitov 31.03.2010 14:25

Цитата:

Сообщение от German Stimban (Сообщение 371485)
Задача №3. На едином экзамене 333 ученика допустили в общей сложности 1000 ошибок. Возможно ли при этом, что учеников, сделавших более чем по 5 ошибок, оказалось больше, чем учеников, сделавших менее чем по 4 ошибки?

Если "более, чем по 5 ошибок" включает число 5, то может:
200 учеников допустили по 5 ошибок => 200*5 = 1000

Если "более, чем по 5 ошибок" не включает число 5, то не может:
166 учеников максимум могут допустить по 6 ошибок => 166*6 = 994
Но 166 - это меньшенство из 333 человек (333/2 = 166,5).

Наташа 31.03.2010 15:07

Цитата:

Сообщение от Nadir Zaitov (Сообщение 380386)
и такое число 45,

Мне кажется, здесь возможно нужно было бы учесть, что 45=9*5?...:)

Nadir Zaitov 31.03.2010 16:16

Цитата:

Сообщение от Наташа (Сообщение 380415)
Цитата:

Сообщение от Nadir Zaitov (Сообщение 380386)
и такое число 45,

Мне кажется, здесь возможно нужно было бы учесть, что 45=9*5?...:)

Я тоже начала думал, что решение должно быть простым числом. Но ведь степень тоже имеет значение:

9^9 - может быть делителем,
5^5 - может быть делителм, но
45^45 - может уже делителем не быть. :)...

Кстати в задачке 3 у всех могут быть по 4 ошибки, кроме как у ограниченного числа... так что там не все гладко в моем решении :) и ваш стертый комментарий при модификации имеет смысл :)

Andrews 31.03.2010 17:06

Цитата:

Сообщение от Nadir Zaitov (Сообщение 380389)
166*6 = 994

996

Наташа 31.03.2010 17:25

Цитата:

Сообщение от Nadir Zaitov (Сообщение 380485)
9^9 - может быть делителем, 5^5 - может быть делителм, но 45^45 - может уже делителем не быть. ...

Да, но мне кажется не только 45^n будет делиться на 45...:) а например: 9*5, 10*18, 15*27,... :)
(5*10*15*20*25*...*225)*(9*18*27*36*45*54*63*...)=(5*1*5*2*5*3...)*(9*1*9*2*9*3...)=((5*9 )(5*9)(5*9)(5*9)...(5*9))(1*2*...)(1*2*...)...:)

Цитата:

Сообщение от Nadir Zaitov (Сообщение 380485)
и ваш стертый комментарий при модификации имеет смысл

Мне кажется, у Вас таки все правильно...:)

Nadir Zaitov 31.03.2010 18:27

Цитата:

Сообщение от Наташа (Сообщение 380536)
Да, но мне кажется не только 45^n

Да... точно...

В формуле, указанной мной выше, нужно делить не на p, а наибольшее простое число, являющееся делителем p.

Тогд придется сразу задать, что p - простое, так как иначе оно не наименьшее.

Тогда берем только простое p и тогда это будет 47.

Shuhrat Ismailov 03.04.2010 22:59

Цитата:

Сообщение от Nadir Zaitov (Сообщение 380386)
Цитата:

Сообщение от German Stimban (Сообщение 371485)
Задача №2. Найдите наименьшее натуральное n, для которого число n^n не является делителем числа 2008!=1· 2·...· 2008.

Ответ: 45.

Цитата:

Сообщение от Nadir Zaitov (Сообщение 380612)
Тогда берем только простое p и тогда это будет 47.

Правильно.
2008! делится на 46^46, но не делится на 47^47.
Оффтоп:
а) Среди множителей 1, 2... ,2008 есть более 100 (а значит есть 46) четных чисел их произведение делится на 2^46.
б) по формуле Надыра f(23)= целая часть (2008/23)+целая часть (2008/23^2)+.....=целая часть (2008/23)+0+....), значит 2008! делится на 23^46.
Объединяем а) и б), получим, что 1· 2·...· 2008 делится на
(2^46)(23^46)=46^46.
Теперь вычислим показатель степени f(47) , ибо 47 -простое.
f(47)= целая часть (2008/47)+целая часть (2008/47^2)+.....=целая часть (2008/47)+0+....=42
Значит произведение 1, 2... ,2008 делится на 47^42, но не делится на 47^47.


Текущее время: 17:42. Часовой пояс GMT +5.

Powered by vBulletin® Version 3.8.5
Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd. Перевод: zCarot
OOO «Единый интегратор UZINFOCOM»