Задачи с Московской Математической Олимпиады
Вспомнилось участие в этой олимпиаде, решил поискать в интернете. Как пишется на официальном сайте:
Цитата:
Задача №1. Числа p и q таковы, что параболы y=-2x^2 и y=x^2+px+q пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру. Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам. Задача №2. Найдите наименьшее натуральное n, для которого число n^n не является делителем числа 2008!=1· 2·...· 2008. Задача №3. На едином экзамене 333 ученика допустили в общей сложности 1000 ошибок. Возможно ли при этом, что учеников, сделавших более чем по 5 ошибок, оказалось больше, чем учеников, сделавших менее чем по 4 ошибки? Задача №4. Через центр O вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой AO и пересекающая прямую BC в точке M. Из точки O на прямую AM опущен перпендикуляр OD. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности. Задача №5. Станок выпускает детали двух типов. На ленте его конвейера выложены в одну линию 75 деталей. Пока конвейер движется, на станке готовится деталь того типа, которого на ленте меньше. Каждую минуту очередная деталь падает с ленты, а подготовленная кладется в ее конец. Через некоторое число минут после включения конвейера может случиться так, что расположение деталей на ленте впервые повторит начальное. Найдите: а) наименьшее такое число, б) все такие числа. Задача №6. Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами. В вершине A квадрата ABCD находится нора: если в нее, в отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке (возможно, в точке A). Вначале лиса сидит в точке C, а зайцы — в точках B и D. Лиса бегает повсюду со скоростью не больше v, а зайцы — по лучам AB и AD со скоростью не больше 1. При каких значениях v лиса сможет поймать обоих зайцев? Задача №7. Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же плоскость) исходного многогранника а) больше, чем 1/4, б) не меньше, чем 1/9, в) не меньше, чем 1/7? |
Цитата:
На самом деле площадь поверхности x^2+px+q<у<-2x^2 (учитывая направления ветвей парабол возможен только такой вариант), эквивалентно по площади 3x^2+px+q<у<0, а это уже симметричная фигура с центром -b/2a = -p/6 Интересно, что от q решение совсем не зависит. Вроде б так. |
Цитата:
f(p)=[2008/p]+[2008/p^2]+... (ясно, что это на самом деле не бесконечный ряд, если p - натуральное числ большее 1) для того, чтобы оно не было делителем известно, что: f(p)<p или [2008/p]*p+[2008/p^2]*p+... <P^2 Раз так, то второй и последующие члены в функции f(p) для искомого p равны нулю. Стало быть нужно искать минимальное число p типа P^2>2008 и такое число 45, так как корень(2008)=44,8... Ответ: 45. |
Цитата:
200 учеников допустили по 5 ошибок => 200*5 = 1000 Если "более, чем по 5 ошибок" не включает число 5, то не может: 166 учеников максимум могут допустить по 6 ошибок => 166*6 = 994 Но 166 - это меньшенство из 333 человек (333/2 = 166,5). |
Цитата:
|
Цитата:
9^9 - может быть делителем, 5^5 - может быть делителм, но 45^45 - может уже делителем не быть. :)... Кстати в задачке 3 у всех могут быть по 4 ошибки, кроме как у ограниченного числа... так что там не все гладко в моем решении :) и ваш стертый комментарий при модификации имеет смысл :) |
Цитата:
|
Цитата:
(5*10*15*20*25*...*225)*(9*18*27*36* Цитата:
|
Цитата:
В формуле, указанной мной выше, нужно делить не на p, а наибольшее простое число, являющееся делителем p. Тогд придется сразу задать, что p - простое, так как иначе оно не наименьшее. Тогда берем только простое p и тогда это будет 47. |
Цитата:
Цитата:
2008! делится на 46^46, но не делится на 47^47. Оффтоп: а) Среди множителей 1, 2... ,2008 есть более 100 (а значит есть 46) четных чисел их произведение делится на 2^46.б) по формуле Надыра f(23)= целая часть (2008/23)+целая часть (2008/23^2)+.....=целая часть (2008/23)+0+....), значит 2008! делится на 23^46. Объединяем а) и б), получим, что 1· 2·...· 2008 делится на (2^46)(23^46)=46^46. Теперь вычислим показатель степени f(47) , ибо 47 -простое. f(47)= целая часть (2008/47)+целая часть (2008/47^2)+.....=целая часть (2008/47)+0+....=42 Значит произведение 1, 2... ,2008 делится на 47^42, но не делится на 47^47. |
Текущее время: 17:42. Часовой пояс GMT +5. |
Powered by vBulletin® Version 3.8.5
Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd. Перевод:
OOO «Единый интегратор UZINFOCOM»