Задачки по геометрии [Архив]

Dilshod Bobokulov

12.06.2009, 09:56

Друзья, Коллеги, уже несколько дней мучаюсь решить задачи по геометрии, которые не смог решить мой младший брат, он учиться в лицее.
Помогите советом, вот одна из них:

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) вписанная окружность касается стороны АВ в точке M. Отрезок CM пересекает окружность в точке N. а высоту BD - в точке P. Известно, что MN:NC = 13:5. Найти отношение MP:PN.

Особенно интересуют мысли Надир ака, Шухрат ака и Barbedo. Если Вам будет интересно продолжу публикацию остальных задач в этом топике.

tutusik

12.06.2009, 14:09

можно представить два варианта оди если треугольник MPN имеет высоту равную нулю. а другой если высота равна h>0

Nadir Zaitov

12.06.2009, 17:36

можно представить два варианта оди если треугольник MPN имеет высоту равную нулю. а другой если высота равна h>0 В этом видать и есть сингулярность: у нас, динозавров, если токи N и P лежат на отрезке MC, то явно MNP не имеет высоты в обычном понимании:).

Abdusalim Nursaidov

12.06.2009, 18:01

Dilshod iloje bo`lsa o`zbekcha variantini bering, yordam beraman

b_a_lamut

13.06.2009, 00:02

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) вписанная окружность касается стороны АВ в точке M. Отрезок CM пересекает окружность в точке N. а высоту BD - в точке P. Известно, что MN:NC = 13:5. Найти отношение MP:PN.

Без решения, но может это поможет тем, кто умеет это делать. Если, конечно, я всё правильно понял :)

Рис.1 - заданные условия (равные стороны длиннее основания)
Рис.2 - равносторонний треугольник
Рис.3 - равнрбедренный (равные стороны короче основания)

https://img.uforum.uz/images/5448760.jpg

tutusik

13.06.2009, 11:43

хм. не замечено сорри ) вообще чтото надо было написать, чтобы на задачу обратили внимание. да и интересно в принципе.

а что, если представить MPNC как трапецию с нулевой высотой, тогда
взяв форму площади трапеции можно попробовать вывести следующее

https://img.uforum.uz/images/3718672.jpg

соотвественно a = PN, b = MC, с = NC, d = MP, S=0

можно представить два варианта оди если треугольник MPN имеет высоту равную нулю. а другой если высота равна h>0 В этом видать и есть сингулярность: у нас, динозавров, если токи N и P лежат на отрезке MC, то явно MNP не имеет высоты в обычном понимании:).

Nadir Zaitov

13.06.2009, 11:56

соотвественно a = PN, b = MC, с = NC, d = MP, S=0 можно же и без этого заметить, что MN+NC=MP+PC - городить там огород с трапецией не стоит. 2 стороны в формуле известны (точнее их пропорции). Нужно найти еще одну, чтобы формулой воспользоваться, а вот с ней то и проблемы.

tutusik

13.06.2009, 12:38

да, элегантнее... )

соотвественно a = PN, b = MC, с = NC, d = MP, S=0 можно же и без этого заметить, что MN+NC=MP+PC - городить там огород с трапецией не стоит. 2 стороны в формуле известны (точнее их пропорции). Нужно найти еще одну, чтобы формулой воспользоваться, а вот с ней то и проблемы.

Nadir Zaitov

13.06.2009, 13:38

да, элегантнее... ) "элегантнее" у Вас, у меня проще. :)

tutusik

13.06.2009, 13:45

элегантность - в простоте. или нет? у меня скорее гламурнее ))))

да, элегантнее... ) "элегантнее" у Вас, у меня проще. :)

Dilshod Bobokulov

13.06.2009, 15:42

Dilshod iloje bo`lsa o`zbekcha variantini bering, yordam beraman
gerta, siz uchun tarjimasi:

Teng yonli ABC (AB=BC) uchburchakka ichki chizilgan aylana, AB tomonning M nuqtasida urinadi. CM kesma aylana bilan N nuqtada, BD balandlik bilan esa P nuqtada kesishadi. Agar, MN:NC = 13:5 nisbatda bo'lsa, MP:PN nisbatni toping.

Sizning yechimingiz ham men uchun qiziq.

Dilshod Bobokulov

13.06.2009, 16:06

b_a_lamut, большое спасибо, что не оставили без внимания мое сообщение и за красивое представление решения. Если я правильно понял, Ваше решение основано на практическом методе, т.е. сначала нужно начертить треугольник (на MathLab, MathCad и т.п.) с изначально заданными параметрами и по получившимся рисунку программно измерить нужные нам отрезки и найти требуемое соотношение? Если да, то как находится точка касания окружности со стороной треугольника, или это делается автоматически?

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) вписанная окружность касается стороны АВ в точке M. Отрезок CM пересекает окружность в точке N. а высоту BD - в точке P. Известно, что MN:NC = 13:5. Найти отношение MP:PN.

Без решения, но может это поможет тем, кто умеет это делать. Если, конечно, я всё правильно понял :)

Рис.1 - заданные условия (равные стороны длиннее основания)
Рис.2 - равносторонний треугольник
Рис.3 - равнрбедренный (равные стороны короче основания)

b_a_lamut

13.06.2009, 16:35

По условию задачи MN / NC = 13 / 5 = 2,6. А это значит, что АВ и ВС > AC, а отношение MP / PN > 1.

Есть производные пропорции, такие, как:
1. a / b = c / d = (na + mc) / (nb +md)
2. если a / b < c / d, то a / b < (a + c) / (b + d) < c / d
3. если a / b = c /d и n? v? p и r - произвольные числа, то
(na +mb) / (pa +rb) = (nc +md) / (rc + rd)

Или это не из той степи? :shok:

Наташа

13.06.2009, 18:01

Особенно интересуют мысли Надир ака, Шухрат ака и Barbedo. Если Вам будет интересно продолжу публикацию остальных задач в этом топике.
а женское мнение интересует? -потому, что у меня есть решение MP/PN =1,18:girl_blum:

tutusik

13.06.2009, 19:17

а круг только одной стороны касается? или трех?

b_a_lamut

13.06.2009, 19:20

b_a_lamut, большое спасибо, что не оставили без внимания мое сообщение и за красивое представление решения. Если я правильно понял, Ваше решение основано на практическом методе, т.е. сначала нужно начертить треугольник (на MathLab, MathCad и т.п.) с изначально заданными параметрами и по получившимся рисунку программно измерить нужные нам отрезки и найти требуемое соотношение? Если да, то как находится точка касания окружности со стороной треугольника, или это делается автоматически?
Эх, решения-то и не было, да и с программированием я не знаком. Просто, сначала черчу, а потом считаю. Что не есть верно. Ирония насчёт математики, скорее относится ко мне. Математиков, впрочем, как и всех, кто знает своё дело я очень уважаю :)
Обратите внимание ещё и на Наташу, она в этом деле поднаторела :)

b_a_lamut

13.06.2009, 19:22

а женское мнение интересует? -потому, что у меня есть решение MP/PN =1,18

Очень интересует :)

Nadir Zaitov

14.06.2009, 12:24

а женское мнение интересует? -потому, что у меня есть решение MP/PN =1,18 Женское мнение или женское решение? :) Давно пора выложить.

Наташа

14.06.2009, 16:29

Женское мнение или женское решение? К решению всегда прилагается мнение... ©:girl_blum:

https://img.uforum.uz/images/5635389.gif
Допустим MN =13x тогда NC =5x а MC =MN+NC=18x заметим, что AM=AD=DC, из формулы MC*NC=DC*DC получаеться AM=AD=DC=3*10^(1/2)*x и AD=6*10^(1/2)*x. Дальше опускаем высоту ML на АС, понятно, что ML||BD :) Находим LC = MC*cos (a)=x*18cos(a), очевидно :), что треугольники LMC, DPC подобны, тогда LC/DC=MC/PC откуда РС = (18*3*10^(1/2))/(18*cos(a))=(3*10^(1/2))/cos(a) и MP= MC-PC =18x-x*(3*10^(1/2))/cos(a) а так же PN =MN-MP=-5x+x*3*10^(1/2)/cos(a) откуда получим:

MP/PN =(18cos(a)-3*10^(1/2))/(-5cos(a)+3*10^(1/2))

теперь остается найти cos (a) -находим из теоремы косинусов:
AM*AM = AC*AC+MC*MC -2*AC*MC*cos(a) -> 90 = 324+360 -2*cos(a)*(324*360)^(1/2) откуда cos (a) = 0,8696263565 :)

подставляем в формулу MP/PN =(18cos(a)-3*10^(1/2))/(-5cos(a)+3*10^(1/2)) =(18*0,8696263565-3*10^(1/2))/(-5*0,8696263565+3*10^(1/2)) =1,2 :girl_blum: :girl_blum:

Наташа

14.06.2009, 17:24

он учиться в лицее.
к сожалению ИМХО -иногда качество образования зависит не от того какие задачки задают... а от того какие задачки решают... -интересно какой процент учащихся лицея решает такие задачки? -производиться ли разбор таких задач? или их только задают?...:) :)

Nadir Zaitov

14.06.2009, 18:37

заметим, что AM=AD=DC Наташа, классно, спасибо. А то я просмотрел,что AC=2AM, хотя корень(90) пролучил сразу. Невнимательность подвела.

Dilshod Bobokulov

15.06.2009, 11:02

Наташа, спасибо большое за классическое решение задачи!:clapping:
Не знал, что MC*NC=DC^2

К решению всегда прилагается мнение... ©:girl_blum:

tutusik

15.06.2009, 11:43

заметим, что AM=AD=DC
из формулы MC*NC=DC*DC
может оно и верно, но не понял откуда это взялось?

Наташа

15.06.2009, 13:28

может оно и верно, но не понял откуда это взялось?
равенство AD=DC можно например найти из условия AB = BC и теоремы Пифагора AD=AB*AB-BD*BD=BC*BC-BD*BD=DC :)
про
MC*NC=DC*DC читаем в справочнике или смотрим например здесь Теорему о касательной и секущей (http://www.univer.omsk.su/omsk/Edu/Rusanova/circles.htm) :)
ну а равенство AM=AD мягко вытекает например из этой же теоремы AM*AM=AD*AD :girl_blum::017:

b_a_lamut

15.06.2009, 21:14

может оно и верно, но не понял откуда это взялось?

Лишний раз убеждаюсь, что нет необходимости знать математику Достаточно практики. Древние именно так и поступали, а их построения и строения существуют до сих пор потому, что они не знали всяких вычислений и делали всё на глазок :)

Nadir Zaitov

15.06.2009, 22:29

Barbedo

16.06.2009, 00:08

Думаю, можно без тригонометрии:
https://img.uforum.uz/images/6770131.png
Пусть а=АМ=AD=DC, c=AQ, h=MQ.
Приняв NC за 1, имеем: а^2=MC*NC=18/5. Кроме того:
h^2+c^2=a^2 (I)
(2a-c)^2+h^2=MC^2=(18/5)^2 (II)
Вычитая I из II, находим
с=(7/20)(18/5)^0,5
Из подобия треугольников CG/CQ=CN/CM=5/18.
Отсюда СG=5/18 CQ=(5/18)(2a-c)=(33/20)(5/18)^0,5
DG=a-CG=(18/5)^0,5-(5/18)^0,5*(33/20)
Из подобия треугольников: MP/MN=QD/DG=(a-c)/(a-CG)=
=((18/5)^0,5-(7/20)(18/5)^0,5)/((18/5)^0,5-(5/18)^0,5*(33/20))=6/5.
Итак, MP/MN=6/5.

b_a_lamut

16.06.2009, 00:13

Древние именно так и поступали, а их построения и строения существуют до сих пор потому, что они не знали всяких вычислений и делали всё на глазок Они делали все измерениями, а не на глазок :) А если бы считать умели, то в космос бы полетели :)

Извечный спор :) Теоретики снисходительно смотрят на практиков, удивляясь их нелогичности и отсутствием элементарных знаний. Практики скромны и покладисты (ну, о себе не говорю, конечно). Практики делают по чертежам теоретиков, что-нибудь этакое... По ходу дела, они изменяют размеры и материалы, в результате которых у велосипеда начинают крутиться колёса, а космические корабли отрываться от земли. После этого, теоретики, перемеряют размеры деталей, которые сделали практики, вносят изменения в чертежи и формулы, добавляют коэффициенты и получают премии. Эх, где бы мы сейчас были, если бы не теоретики. Вот, скажем, один древний грек, он построил треугольник, и только потом теоретики стали примерять на него штаны :)

b_a_lamut

16.06.2009, 00:34

Из подобия треугольников: MP/MN=QD/DG=(a-c)/(a-CG)=
=((18/5)^0,5-(7/20)(18/5)^0,5)/((18/5)^0,5-(5/18)^0,5*(33/20))=6/5.
Итак, MP/MN=6/5.

Ну так, ты же, кроме теории, ещё и практику знаешь не по наслышке :). Хотелось бы, для повышения образования, посмотреть ещё и на граничные расчёты, при которых эти соотношения равны двум и единице, а когда больше или меньше и соответствуют ли действительности практические выводы :)

b_a_lamut

16.06.2009, 01:06

Безобразие... Подогнал под ответ. Хорошо, что я в этом ничего не понимаю. А Вы, кажется, говорили, что знаете ответ с 1,18 ошиблась с округлениями...:)

Мы дополняем друг друга. Когда ошибаются теоретики - практики исправляют. Вот и гармония получается :)

Наташа

16.06.2009, 01:31

b_a_lamut

16.06.2009, 03:02

Мы дополняем друг друга. Когда ошибаются теоретики - практики исправляют. Вот и гармония получается
тогда по вашей теории я и практик и теоретик :girl_blum:-поскольку до сих пор чаще исправляла себя сама:girl_blum:

Эх, я не теоретик, но и с помощью логического расклада можно сделать вывод, что Вы не практик :) Мне лень это делать, тем более, что с помощью практических наблюдений можно придти к тому же выводу. Вы не практик, потому, что беспрекословно верите цифрам. Вспомните Геодокс. Вы поверили, что треугольники равны лишь потому, что было написанно, что стороны у них равны. А были бы практиком, и без измерений сторон увидели бы, что они не равны :)

Наташа

16.06.2009, 03:45

Эх, я не теоретик, но и с помощью логического расклада можно сделать вывод, что Вы не практик Мне лень это делать, тем более, что с помощью практических наблюдений можно придти к тому же выводу. Вы не практик, потому, что беспрекословно верите цифрам. Вспомните Геодокс. Вы поверили, что треугольники равны лишь потому, что было написанно, что стороны у них равны. А были бы практиком, и без измерений сторон увидели бы, что они не равны
Хм... верила ли я числам... -я никогда им не верила -сказать то они ничего не могут -пока не вложим в них какой нибудь смысл...:) тоже самое относиться и к черточкам, закорючкам -треугольникам и прочим каракулям:girl_blum:
Мне лень это делать, тем более, что с помощью практических наблюдений можно придти к тому же выводу. -это наверно и есть самое важное отличие практиков от теоретиков...?:girl_blum:

Evgeniy Sklyarevskiy

16.06.2009, 11:17

Мне лень это делать, тем более, что с помощью практических наблюдений можно придти к тому же выводу. -это наверно и есть самое важное отличие практиков от теоретиков...?:girl_blum:

Мне кажется, что лень больше относится к практике, а не к теории — думать головой, это вообще не работа, а вот копать, свистеть, танцевать, сверлить, петь, летать по ночам — требует усилия, а лень...

b_a_lamut

16.06.2009, 13:03

думать головой, это вообще не работа

Полностью согласен. Думать - вредно, в отличии от - мечтать. Статистика показывает, что работают только 43% остальные 82% постоянно о чём-то думают. Никакого равновесия в природе.

Наташа

16.06.2009, 13:08

Думать - вредно категорически не согласна -в качестве аргумента...-смотрите мою подпись... :)

b_a_lamut

16.06.2009, 13:56

Думать полезно, от этого умнеет лицо, пухнет голова и оттого разглаживаются морщины.©

Думать вредно, от дум лицо становится озабоченным, пухнет голова, и оттого на ней проступают извилины, в виде морщин. :buba:

Evgeniy Sklyarevskiy

16.06.2009, 22:23

в качестве аргумента...-смотрите мою подпись.
С каких пор подпись стала аргументом? Это что — ПСС Ленина? Или Википедия? На форуме какой только чуши не увидишь в подписях?

tutusik

16.06.2009, 22:36

2 Barbedo (javascript:insertnick('Barbedo');)

сайт http://geom.uz (http://geom.uz/) интересный ) только пропишите там скрипт чтобы год копирайта автоматически обновлялся. и ещё - почему там совсем нет теории?

Barbedo

16.06.2009, 23:58

2 Barbedo (http://javascript%3Cb%3E%3C/b%3E:insertnick%28%27Barbedo%27%29;)

сайт http://geom.uz (http://geom.uz/) интересный ) только пропишите там скрипт чтобы год копирайта автоматически обновлялся. и ещё - почему там совсем нет теории?
Спасибо! Попытаюсь учесть :)

Наташа

17.06.2009, 03:44

С каких пор подпись стала аргументом?
Не подпись а мысли которые в ней заложены...:) -если мысли пусть даже и записанные для вас не аргумент -сожалею ни чего другого я вам предложить не смогу :(

Наташа

17.06.2009, 04:00

Извиняюсь, если кого то каким то образом задели/задевают мои посты я честно этого не хотела и не хочу

Dilshod Bobokulov

17.06.2009, 11:00

Barbedo, спасибо за оптимальное и короткое решение! :clapping:

Думаю, можно без тригонометрии:
Пусть а=АМ=AD=DC, c=AQ, h=MQ.
Приняв NC за 1, имеем: а^2=MC*NC=18/5. Кроме того:
h^2+c^2=a^2 (I)
(2a-c)^2+h^2=MC^2=(18/5)^2 (II)
Вычитая I из II, находим
с=(7/20)(18/5)^0,5
Из подобия треугольников CG/CQ=CN/CM=5/18.
Отсюда СG=5/18 CQ=(5/18)(2a-c)=(33/20)(5/18)^0,5
DG=a-CG=(18/5)^0,5-(5/18)^0,5*(33/20)
Из подобия треугольников: MP/MN=QD/DG=(a-c)/(a-CG)=
=((18/5)^0,5-(7/20)(18/5)^0,5)/((18/5)^0,5-(5/18)^0,5*(33/20))=6/5.
Итак, MP/MN=6/5.

Nadir Zaitov

17.06.2009, 12:50

Barbedo, спасибо за оптимальное и короткое решение! А я думал уже продолжение "Задачек" следует!

b_a_lamut

17.06.2009, 14:39

Barbedo, спасибо за оптимальное и короткое решение! А я думал уже продолжение "Задачек" следует!

Полностью согласен, только, чтобы оффтопы были в тему и не сильно раздражали.

Dilshod Bobokulov

17.06.2009, 17:37

Надир ака, спасибо, за Ваш "спортивный" интерес.:187:
Решение этой задачи помогло решить остальные задачи такого типа, но есть несколько сложных для меня задач по стереометрии. Сейчас найду и опубликую.

А я думал уже продолжение "Задачек" следует!

Dilshod Bobokulov

17.06.2009, 17:59

Вот еще две интересные, на мой взгляд задачи, по стереометрии:

Около правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD описана сфера радиуса 24. Сфера радиуса 32 с центром на ребре SB проходит через вершины S, A, C. Найти длину высоты пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде площадь основания равна 6,2. В пирамиду вписана сфера, точка касания этой сферы с боковой гранью пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в боковую грань. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Не у кого так не бывает, почему то все трудные задачи после решения становятся простыми?! (особенно если решил кто-то другой) :naughty:

Evgeniy Sklyarevskiy

17.06.2009, 23:16

Извиняюсь, если кого то каким то образом задели/задевают мои посты я честно этого не хотела и не хочу
1. Еще как задевает, у меня теперь пухнет голова
2. Не стоит реагировать на всякие идиотские реплики...

Efim Kushnir

18.06.2009, 09:07

1. Еще как задевает, у меня теперь пухнет голова
А почему у вас сразу со второго пункта началось, а не с первого? Опять кальций?

Наташа

18.06.2009, 14:10

Около правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD описана сфера радиуса 24. Сфера радиуса 32 с центром на ребре SB проходит через вершины S, A, C. Найти длину высоты пирамиды.
вы нас снова радуете своими потрясающими задачками...:) и кто их такие в лицеях задает? :)
выразить чувства такому учителю не могу -цензура все вырежет :)
у меня решение есть... но оочень длиннющее и не до деланное -целая страничка исписанная -и это еще не до конца.. хотя уже очевидно как может быть получено решение нужно еще исписать еще страничку-другую, что бы решить полученные мною системы уравнений... я на такую отвагу не способна...:) -убийство времени -не входит в мои планы...:)
ко второй задачке -если она такая же (наверно так и есть) -даже не притронусь... :)

ЗЫ такого учителя [здесь много слов вырезано цензурой...] мало -лучше бы предлагал ученикам самим доказывать -существующие теоремы в место каких то частных случаев -примерно то же количество писанины -а пользы не в пример больше...:girl_sigh:

b_a_lamut

18.06.2009, 15:11

лучше бы предлагал ученикам самим доказывать -существующие теоремы в место каких то частных случаев

Здесь я согласен.:)
Не знаю, правильно ли я понял задачу, вот, что получилось. Интересно, совпадает ли всё это с теорией?

https://img.uforum.uz/images/6198951.jpg

Barbedo

20.06.2009, 00:40

Около правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD описана сфера радиуса 24. Сфера радиуса 32 с центром на ребре SB проходит через вершины S, A, C. Найти длину высоты пирамиды.

https://img.uforum.uz/images/623231.png
Пусть сторона основания равна а, высота пирамиды h, радиус описанной сферы пирамиды r, радиус сферы с центром в точке Q на ребре SB R, расстояние между центрами O и Q равно с, боковое ребро пирамиды равно b.
(r^2-(a/2^0,5)^2)^0,5 + r = h (I)
Заметим, что точки A,S,C принадлежат обеим сферам, линией пересечения сфер является окружность, проходящая через эти точки, следовательно, отрезок OQ перпендикулярен плоскости ASC, высоте h и параллелен диагонали DB основания пирамиды. Тогда
с^2=R^2-r^2 = 8*7^0,5 (II)
и из подобия треугольников HSB и OSQ
(a/2^0,5)/c=h/r
откуда
a/2^0,5=ch/r (III)
Подставив (III) в (I), имеем:
(r^2-c^2h^2/r^2)^0,5 + r = h.
После упрощения получаем:
h=2r^3/(r^2+c^2)=27.

Наташа

20.06.2009, 01:06

Пусть сторона основания равна а, высота пирамиды h, радиус описанной сферы пирамиды r, радиус сферы с центром.... Супер:) -а у меня было все так громоздко...:)

Заметим, что точки A,S,C принадлежат обеим сферам, линией пересечения сфер является окружность, проходящая через эти точки, следовательно, отрезок OQ перпендикулярен плоскости ASC, высоте h и параллелен диагонали DB основания пирамиды.
-этого я и близко не увидела...:)

b_a_lamut

20.06.2009, 13:28

После упрощения получаем:
h=2r^3/(r^2+c^2)=27.

Эх, у меня ножовка была кривая и, потеряв ориентацию в пространстве, распилил не в том месте конструкцию:shok:
И всё же, интересно, не легче ли найти высоту методом построения на плоскости, если, конечно, инструмент в порядке и с ориентацией нормально, тем более, что размеры есть, а значит и есть чем померить?

https://img.uforum.uz/images/139244.jpg

Barbedo

21.06.2009, 00:16

В правильной треугольной пирамиде площадь основания равна 6,2. В пирамиду вписана сфера, точка касания этой сферы с боковой гранью пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в боковую грань. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

https://img.uforum.uz/images/8494275.png
Пусть основание пирамиды - треугольник ABC, вершина пирамиды D, основание высоты пирамиды H, основание апофемы боковой грани F, центр вписанной сферы O, центр вписаннлой окружности боковой грани DCB - точка Q.
FH=FQ как касательные к сфере, опущенные из точки F. Следовательно, радиусы вписанных окружностей основания и боковой грани пирамиды равны. Тогда и боковая грань пирамиды является равносторонним треугольником, а пирамида - правильным тетраэдром. Значит, площадь полной поверхности пирамиды равна учетверенной площади основания
S=6,2*4=24,8.

Evgeniy Sklyarevskiy

21.06.2009, 00:59

Barbedo

21.06.2009, 11:08

Так ведь условие и так начинается со слов «В правильной треугольной пирамиде...» — значит это автоматом тетраэдр без всяких вписанных сфер???
Отнюдь. Пирамида называется правильной, если в основании её правильный многоугольник и вершина пирамиды проецируется в центр основания, так что боковушки могут быть и равнобедренными.

Dilshod Bobokulov

22.06.2009, 09:40

Спасибо Barbedo, у меня тоже вышло h=27.
Но метод не такой простой как у Вас. Вы не перестаете меня удивлять!:clapping:

b_a_lamut

22.06.2009, 23:24

Задача от Barbedo: http://geom.uz/?p=291#respond

Ползучие вершины Пятая Всероссийская олимпиада по геометрии.

На плоскости даны три параллельные прямые. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей треугольников, вершины которых расположены (по одной) на этих прямых.

Nadir Zaitov

23.06.2009, 15:43

На плоскости даны три параллельные прямые. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей треугольников, вершины которых расположены (по одной) на этих прямых. Либо полоса (пучек прямых, паралельных данной) и тогда нужно найти параменты полосы (крайние прямые), либо прямая, что было бы удивительно - для этого центр вписанной окрухности не должен зависеть от x, если предположить, что прямые паралельны оси иксов.

Nadir Zaitov

23.06.2009, 16:27

Либо полоса (пучек прямых, паралельных данной) и тогда нужно найти параменты полосы (крайние прямые), либо прямая, что было бы удивительно - для этого центр вписанной окрухности не должен зависеть от x, если предположить, что прямые паралельны оси иксов. Всетаки полоса от центральной прямой с обоих сторон распластавшаяся на h/2 и k/2 влево и вправо от центральной прямой, где h и k расстояния до соответствующих боковых прямых от центральной.

b_a_lamut

23.06.2009, 19:34

Всетаки полоса от центральной прямой с обоих сторон распластавшаяся на h/2 и k/2 влево и вправо от центральной прямой, где h и k расстояния до соответствующих боковых прямых от центральной.

Может быть мы говорим об одном и том же. Думаю, что центры вписанных треугольников будут лежать на пересечении биссектрис каждого из них, причём, если биссектриса, принадлежащая вершине треугольника находящаяся на средней параллели, лежит на этой параллели, то и центр окружности находится на этой параллели. Если биссектриса лежит выше этой параллели, то и центр окружности будет выше её, если ниже , то и центр ниже. Интересно, здесь необходимы доказательства, или этого достаточно?

https://img.uforum.uz/images/6559000.jpg

Nadir Zaitov

24.06.2009, 11:29

Интересно, здесь необходимы доказательства, или этого достаточно? Идея в том, чтобы мысленно (или на бумаге) представить все треугольники образованные таким образом, у каждого треугольника найти центр вписанной , посмотреть какую фигуру такие точки составляют.

Adham Karabaev

07.07.2009, 13:39

Простенькая задача из Вестника:
Нужно найти расстояние между центрами вписанной и описанной окружностями треугольника, если его стороны равны 24, 32 и 40.

Shuhrat Ismailov

07.07.2009, 14:38

Простенькая задача из Вестника:
Нужно найти расстояние между центрами вписанной и описанной окружностями треугольника, если его стороны равны 24, 32 и 40.
Заметим, что это прямоугольный треугольник с катетами a=24, b=32 и гипотенузой c=40.
Шаг 1. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен половине суммы катетов без гипотенузы
r = (а + b – с) / 2=8
Шаг 2. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы R = с / 2=20
Шаг 3. Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностями
d=sqrt(R^2-2Rr)= sqrt(400-320)=4sqr(5)

b_a_lamut

07.07.2009, 17:37

Шаг 3. Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностями
d=sqrt(R^2-2Rr)= sqrt(400-320)=4sqr(5)

Или, говоря по научному - "Оо"=8,949 :)

Dilshod Bobokulov

08.07.2009, 10:36

d=sqrt(R^2-2Rr)= sqrt(400-320)=4sqr(5)

небольшая поправка: d=4sqrt(5)

Nadir Zaitov

08.07.2009, 11:05

d=4sqrt(5) Это не принципиально :)

Dilshod Bobokulov

08.07.2009, 11:13

правильно, главное метод!

Adham Karabaev

15.07.2009, 13:14

Нужно найти высоту правильной усеченной четырехугольной пирамиды, стороны оснований которой равны 3 и 7, а диагональ равна sqrt82.

Evgeniy Sklyarevskiy

15.07.2009, 15:29

диагональ равна sqrt81.
разве это не 9?

Adham Karabaev

15.07.2009, 15:47

Прошу простить sqrt81 sqrt82.
Если можно исправить - прошу модераторов поправить

Nadir Zaitov

15.07.2009, 16:05

Прошу простить sqrt81 sqrt82. поравил.

Adham Karabaev

17.07.2009, 11:38

Нужно найти высоту правильной усеченной четырехугольной пирамиды, стороны оснований которой равны 3 и 7, а диагональ равна sqrt82.
У кого нибудь есть варианты?

Barbedo

17.07.2009, 23:48

Нужно найти высоту правильной усеченной четырехугольной пирамиды, стороны оснований которой равны 3 и 7, а диагональ равна sqrt82.
У кого нибудь есть варианты?
h=(82-(2^0,5*(3+(7-3)/2))^2)^0,5=4*2^0,5.

Dilshod Bobokulov

18.07.2009, 07:01

h=sqrt(82-25*2)=4sqrt(2)

http://img.uz/d/2009/07/4a612fc49bb6a.jpg

Cornered Rat

23.07.2009, 18:41

Дан четырёхугольник со сторонами 2, 3, 4 и 5 см, угол между его диагоналями равен 60 градусов. Разрезать его на 13 равнобедренных треугольников.

Nadir Zaitov

23.07.2009, 19:00

Разрезать его на 13 равнобедренных треугольников. Без остатка? А то я с ходу решений кучу нашел... с остатком :)

Cornered Rat

24.07.2009, 13:07

Nadir Zaitov

24.07.2009, 13:33

Неужели даже великий геометр Барбедо не сможет разрезать вышеуказанный четырёхугольник на 13 равнобедренных треугольников? Что-то слишком долго думаете над не слишком сложной задачей.... Скорее "что то долго мы над этой задачей не думаем". Я думал вы ответите, что без остатка нужно нарубать :)

b_a_lamut

24.07.2009, 13:38

Неужели даже великий геометр Барбедо не сможет разрезать вышеуказанный четырёхугольник на 13 равнобедренных треугольников? Что-то слишком долго думаете над не слишком сложной задачей....

Вот мне интересно, существует ли в природе фигура с такими параметрами? :shok:

Cornered Rat

24.07.2009, 13:52

Разрезание с остатком - это что-то новое в геометрии :)
Это скорее из области кройки и шитья :)

Cornered Rat

24.07.2009, 13:54

Вот мне интересно, существует ли в природе фигура с такими параметрами? А почему бы нет? Если зафиксировать длины сторон четырёхугольника, то у него остаётся ещё одна степень свободы

b_a_lamut

24.07.2009, 14:23

Cornered Rat

24.07.2009, 14:28

Угол между диагоналями и является завершающим гвоздём, жестко фиксирующим конструкцию.

b_a_lamut

24.07.2009, 14:40

Угол между диагоналями и является завершающим гвоздём, жестко фиксирующим конструкцию.

У меня это и вызывает сомнение. Может не так строю :shok: Подскажите :)

Nadir Zaitov

24.07.2009, 15:03

Угол между диагоналями и является завершающим гвоздём, жестко фиксирующим конструкцию. Еще имеет значение последовательность сторон. Она известна?

b_a_lamut

24.07.2009, 15:14

Угол между диагоналями и является завершающим гвоздём, жестко фиксирующим конструкцию. Еще имеет значение последовательность сторон. Она известна?

По всякому пробовал. У меня не получается. Наверное два угла находятся не в одной плоскости, а одна из диагоналей является общей стороной для обрразовавшихся, с помощью этих углов, треугольников :shok:

Cornered Rat

24.07.2009, 16:22

http://s15.radikal.ru/i189/0907/f7/ae73a250082a.gif

b_a_lamut

24.07.2009, 17:01

Точно! Эх, терпения не хватило. Думал, что всё проверил. Будем искать дальше :)

Nadir Zaitov

24.07.2009, 17:29

http://s15.radikal.ru/i189/0907/f7/ae73a250082a.gifТак фиксируется последовательность 2,3,4,5 или можно 2,3,5,4? Если можно 2,3,5,4, то в него можно вписать окружность (2 + 5 = 3 + 4) и получить стразу 8 равнобедренных треугольников.... даже не важен угол между сторонами - был бы выпуклым (сумма противоположных сторон равна):)! Далее также поступаем с одним из треугольников - вписываем окружность и делим на 6 равнобедренных треугольника. Итого 8-1+6=13 равнобедренных треугольников.:187:

Cornered Rat

24.07.2009, 17:35

фиксируется последовательность 2,3,4,5да

Nadir Zaitov

24.07.2009, 17:55

фиксируется последовательность 2,3,4,5даЯ так понимаю, проблема получить именно 13 треугольников. Так как 12 и 14 поручить - ничего не стоит при любых углах по центру... нужно еще подумать.

Nadir Zaitov

24.07.2009, 18:01

Задача легко сводится к разрезению указанного четырехугольника на 2 произвольных и 1 равнобедренный треугольник. 2 произвольных вписыванием окружности делятся на 6 равнобедренных каждый +1 = 13.

А это легко сделать, например из вершины 3-4 провести одну сторону до вершины 2-5 и найти соответствующую точку на стороне 5 так, чтобы получился равнобедренный треугольник. Вроде б решил! И 60 градусов опят не при чем!

Nadir Zaitov

24.07.2009, 18:06

2 произвольных вписыванием окружности делятся на 6 равнобедренных каждый Можно было и не мучаться с вписыванием, а поделить каждый еще на два, описать окружности и провести радиусы :) Решений завались (ровно один континиум)!

Cornered Rat

24.07.2009, 19:58

поделить каждый еще на два, описать окружности и провести радиусыНе так лихо. С тупоугольными треугольниками не получится. Радиусы вылезут наружу.

Cornered Rat

24.07.2009, 19:59

Усложняем задачку. На какое минимальное количество равнобедренных треугольников можно разбить тот четырёхугольник?

Nadir Zaitov

24.07.2009, 20:31

Усложняем задачку. На какое минимальное количество равнобедренных треугольников можно разбить тот четырёхугольник? Пока легко находится ответ 6. 2, очевидно не получается. Значит от 3-х до 6 ти. Буду дальше думать.

Cornered Rat

24.07.2009, 21:05

легко находится ответ 6рисуйте

b_a_lamut

25.07.2009, 00:57

рисуйте

Как ни кручу, выходит пять равнобедренных, а шестой, самый маленький, всё же разносторонний :(

https://img.uforum.uz/images/7511093.jpg

Nadir Zaitov

25.07.2009, 01:08

рисуйте Идея была порезать четырехугольник на 2 треугольника, а потом их порезать радиусоами описанной окружности... но не тут то было. Один из утреугольников оказался с тупым углом :( Если разобраться с тупым углом, то станет 7. Я еще подумаю.

Cornered Rat

25.07.2009, 07:32

Если разобраться с тупым углом, то станет 7рисуйте

b_a_lamut

25.07.2009, 13:39

Nadir Zaitov

25.07.2009, 15:28

Если разобраться с тупым углом, то станет 7рисуйтеКакой Вы вредный. Так бы и сказали, что там 2 тупых угла. Значит метод дает только 8 равнобедренных треугольников, но это уже гарантировано:

1) режим четырехугольник на 2 (теперь не важно как). у нас 2 тупых угла у каждого их треугольников.

2) с тупого угла каждого треугольника опускаем высоту на противоположную сторону соотв. треугольника. Получаем 4 прямоугольных треугольника.

3) с прямого угла каждого прямоугольника проводим медиану на гепотинузу. Получаем 8 равнобедренных треугольников.

Cornered Rat

26.07.2009, 22:04

Какой Вы вредный.Это не я такой вредный. Это геометрия такая строгая наука ;)

Наташа

26.07.2009, 22:18

Это не я такой вредный. Это геометрия такая строгая наука
интересно вы о какой геометрии?... а то ведь их много геометрий то... -одни допускают одно другие другое...::)

Cornered Rat

26.07.2009, 22:18

Эх, вчера забыл загрузить. Пять равнобедренных, шестой нет. Он и делится на два равнобедренных. Не нарисовал, потому, что уж очень мелко получается :)

https://img.uforum.uz/images/7912764.jpg
Боковые стороны красного треугольника равны 4. Значит, боковые стороны зелёного треугольника равны 1. И сиреневого треугольника тоже 1. Но основание сиреневого треугольника равно 2. Какой-то подозрительный этот сиреневый треугольник...

Cornered Rat

26.07.2009, 22:20

а то ведь их много геометрий то... -одни допускают одно другие другое...Да, в геометриях наблюдается разброд и шатание, одни допускают одно, другие - другое. Но это только в рамках аксиоматики. При выводе утверждений везде царит одинаковая строгость.

Наташа

26.07.2009, 22:27

При выводе утверждений везде царит одинаковая строгость
но выводы могут быть совершенно разными в зависимости от того из чего мы исходим...:) например интересно -можно ли разбить произвольный треугольник на 3 равнобедренных в геометрии Лобачевского или Римана?...::)

Shuhrat Ismailov

26.07.2009, 23:11

Значит, боковые стороны зелёного треугольника равны 1. И сиреневого треугольника тоже 1. Но основание сиреневого треугольника равно 2. Какой-то подозрительный этот сиреневый треугольник...
вернее, вырожденный

b_a_lamut

27.07.2009, 00:59

2. Какой-то подозрительный этот сиреневый треугольник...

Точно! А как было похоже :) Хотелось бы посмотреьть на правильный чертёж :)

Shuhrat Ismailov

27.07.2009, 01:10

Усложняем задачку. На какое минимальное количество равнобедренных треугольников можно разбить тот четырёхугольник?
В методе Надыра в каждом из двух разбивающем данный 4-угольник треугольниках достаточно рассмотреть не тупые, а наибольшие углы.
Можно доказать, что любой треугольник можно разрезать на четыре равнобедренных треугольника.
Действительно, разрежем треугольник на два прямоугольных высотой, опущенной из вершины с наибольшим углом. Далее каждый из них разбивается на два равнобедренных медианой, соединяющей вершину прямого угла и середину гипотенузы.
https://img.uforum.uz/images/2317233.jpg
Это позволяет утверждать, что любой четырёхугольник можно разбить на 8 равнобедренных треугольников.
Далее возникает знакомая каждому математику ситуация.
Надо сделать принципиальный выбор - либо продолжить искать разбиение с меньшим , чем 8 , числом треугольников, либо доказать, что такого разбиения нет.
При этом, поиск разбиения должен существенно опираться на специфику
заданного четырехугольника, а я думаю, что он не такой уж и специфический

Nadir Zaitov

27.07.2009, 12:19

В методе Надыра в каждом из двух разбивающем данный 4-угольник треугольниках достаточно рассмотреть не тупые, а наибольшие углы. Если нет тупого угла, то можно разбить и на 3 равнобедренных треугольника в общем случае. Вопрос, какие треугольники одним делением разбиваются на 2 равнобедренных треугольника. Один ответ - если у треугольника один угол прямой. А есть ли еще варианты?

Nadir Zaitov

27.07.2009, 12:42

А есть ли еще варианты?

Кроме прямоугольного треугольника есть еще 2 варианта.
Мы знаем, что в треугольнике у нас 3 степени свободы: три стороны, две стороны и 1 угол, два угла и одна сторона и т.п. Следовательно для прямоугольника у нас остались две степени свободы. Для этого треугольника у нас есть теорема Пифагора, которая как раз одну степень свободы и "сжирает" своей формулой или "угол=90 градусам".

Предлагается ввиде субзадачи найти "Теоремы Пифагора" для двух других случаев. (т.е. зависимость только между сторонами, без синусов углов и т.п.)

Nadir Zaitov

27.07.2009, 13:52

Cornered Rat

29.07.2009, 14:03

Так в Вашем случае, на какое мнимальное число равнобедренных треугольников можно поделить этого фиксированного монстра?А где я говорил, что знаю правильный ответ? :)

Barbedo

11.08.2009, 12:56

Это не я такой вредный. Это геометрия такая строгая наука Так в Вашем случае, на какое мнимальное число равнобедренных треугольников можно поделить этого фиксированного монстра?
Само по себе построение этого "монстра" с помощью циркуля и линейки - уже классная задача! Получил удовольствие. Теперь можно подумать и о разбиении. :)

b_a_lamut

11.08.2009, 13:43

Само по себе построение этого "монстра" с помощью циркуля и линейки - уже классная задача! Получил удовольствие. Теперь можно подумать и о разбиении.

Эх, а я искал минимальное нечётное количество равнобедренных треугольников. Нашёл девять. Меньше не получается.

b_a_lamut

11.08.2009, 16:57

https://img.uforum.uz/images/8382627.jpg

Nadir Zaitov

11.08.2009, 17:13

Само по себе построение этого "монстра" с помощью циркуля и линейки - уже классная задача! Получил удовольствие. Может задать ее остальным для получыения удовольствия?

Barbedo

11.08.2009, 18:30

Само по себе построение этого "монстра" с помощью циркуля и линейки - уже классная задача! Получил удовольствие. Может задать ее остальным для получыения удовольствия?
Оно, конечно, можно и задать, но мы же еще с разбиением до конца не разобрались.:) Интересное предложение Баламута, попробую проверить по углам. Но сейчас не об этом.

С помощью циркуля и линейки построить четырехугольник со сторонами 2, 3, 4, 5 и углом между диагоналями 60°. Доказать, что центры равносторонних треугольников, построенных на сторонах 2 и 4 с внешней стороны четырехугольника и на сторонах 3 и 5 с внутренней стороны четырехугольника, лежат на одной прямой.

b_a_lamut

11.08.2009, 18:50

https://img.uforum.uz/images/5548853.jpg

b_a_lamut

11.08.2009, 21:42

С помощью циркуля и линейки построить четырехугольник со сторонами 2, 3, 4, 5 и углом между диагоналями 60°. Доказать, что центры равносторонних треугольников, построенных на сторонах 2 и 4 с внешней стороны четырехугольника и на сторонах 3 и 5 с внутренней стороны четырехугольника, лежат на одной прямой.

https://img.uforum.uz/images/4791353.jpg

Barbedo

11.08.2009, 22:14

https://img.uforum.uz/images/4791353.jpg
Да-да! Именно так оно и происходит, осталось выяснить, почему. :)

b_a_lamut

11.08.2009, 22:33

Да-да! Именно так оно и происходит, осталось выяснить, почему.

Эх... Это, наверное, без меня :)

b_a_lamut

12.08.2009, 22:54

Да-да! Именно так оно и происходит, осталось выяснить, почему.

Предполагаю, что ключевым моментом здесь является то, что точка пересечений диагоналей тоже лежит на этой прямой, а прямая, делит шестидесятиградусные углы между диагоналями пополам, т.е. по 30 градусов.

https://img.uforum.uz/images/8230874.jpg

Barbedo

13.08.2009, 09:40

С помощью циркуля и линейки построить четырехугольник со сторонами 2, 3, 4, 5 и углом между диагоналями 60°.
Ха-ха три раза! При численной проверке обнаружил ошибку в своем способе построения. Придется получить еще большее удовольствие, строя этого монстра заново:) Очаровательный монстр, правда?

Nadir Zaitov

13.08.2009, 10:56

Очаровательный монстр, правда? Думаю, что если подсчитать длины полудиагоналей (частей диагоналей, от точки их перечсечения), используя 4 раза теорему косинусов, то построить возможно получится и без очарования - в лоб.