PDA

Просмотр полной версии : Геодокс (как же так? что ж такое?)


Barbedo
11.05.2009, 11:59
Тем, кто, возможно, не знаком, предлагаю старинный геометрический парадокс.
(утащил отсюда http://xk.kubsu.ru/gr_2.htm)

Предположим, что фигура ABCD есть квадрат. Разделим отрезок АВ пополам и проведем через точку деления E прямую EF перпендикулярную отрезку АВ. Эта прямая пересечет противоположную сторону в точке F, причем DF=FC.
http://xk.kubsu.ru/img/gr1.gifИз вершины С отложим отрезок CG, равный CB. Соединим точки A и G и разделим отрезок AG пополам точкой H. Затем из точки Н проведем прямую НК перпендикулярную к отрезку AG.
Пусть прямые EF и HK пересекутся в некоторой точке К. Соединим точку К с точками D, A, G и C.
Треугольники КАН и КGH равны, поскольку они имеют общую сторону НК, АН=HG, а углы при вершине H прямые. Следовательно, KA=KG.
Треугольники KDF и KCF также равны между собой, поскольку они имеют общую сторону FK, DF=FC, а углы при вершине F прямые. Следовательно, KD=KC и угол KDC равен углу KCD.
Кроме того, DA=CB=CG.
Таким образом, стороны треугольников KDA и KCG равны между собой. Значит, углы KDA и KCG равны. Вычтем теперь из них равные углы KDC и KCD. Очевидно, что разности их также будут равны между собой, т.е. углы GCD и ADC равны. Но угол GCD - тупой, а ADC - прямой.

Наташа
11.05.2009, 12:33
я этим парадоксом неделю носилась пока поняла в чем тут дело:girl_sigh: теперь ваша очередь:girl_blum:

DarkUser
11.05.2009, 13:16
Таким образом, стороны треугольников KDA и KCG равны между собой.
Пол часа с ручкой и линейкой, показывают некоторую ошибочность построения :))

b_a_lamut
11.05.2009, 15:20
Углы KDA и RCG не могут быть равными, т.к., не равны углы DKL и KIC

https://img.uforum.uz/images/8038076.jpg

Наташа
11.05.2009, 15:59
Углы KDA и RCG не могут быть равнымпродолжительные поиски буквы R на рисунке увенчались полным провалом:104:

b_a_lamut
11.05.2009, 16:03
Углы KDA и RCG не могут быть равными, т.к., не равны углы DKL и KIC

https://img.uforum.uz/images/8038076.jpg

Эх, буквы мельтешат, я в них запутался. В общем, углы AKD и GKC не равны, т.к., не равны углы LKD и IKC.

Наташа
11.05.2009, 16:13
Эх, буквы мельтешат, я в них запутался. В общем, углы AKD и GKC не равны, т.к., не равны углы LKD и IKC.
зато у триугольников KDA и KCG равны все 3 стороны: KD=KC, DA=CG, KA=KG а значит триугольники равны и имеют равные углы

Barbedo
11.05.2009, 16:21
Углы KDA и RCG не могут быть равными, т.к., не равны углы DKL и KIC

https://img.uforum.uz/images/8038076.jpg

Эх, буквы мельтешат, я в них запутался. В общем, углы AKD и GKC не равны, т.к., не равны углы LKD и IKC.
Треугольники AKD и GKC равны по трем сторонам, это доказано, следовательно и все их соответствующие углы равны, и равенства углов с буквами L и I не требуется :)

b_a_lamut
11.05.2009, 17:43
Треугольники AKD и GKC равны по трем сторонам, это доказано, следовательно и все их соответствующие углы равны, и равенства углов с буквами L и I не требуется

Эх, что на Вашем чертеже, что на моём, стороны CB и CG не равны. :) Начертите их равными и всё встанет на свои места.

b_a_lamut
11.05.2009, 18:32
Треугольники AKD и GKC равны по трем сторонам, это доказано, следовательно и все их соответствующие углы равны, и равенства углов с буквами L и I не требуется

Эх, что на Вашем чертеже, что на моём, стороны CB и CG не равны. :) Начертите их равными и всё встанет на свои места.

Вот, добавил :)

https://img.uforum.uz/images/9695254.jpg https://img.uforum.uz/images/7563100.jpg

Barbedo
11.05.2009, 18:39
Треугольники AKD и GKC равны по трем сторонам, это доказано, следовательно и все их соответствующие углы равны, и равенства углов с буквами L и I не требуется

Эх, что на Вашем чертеже, что на моём, стороны CB и CG не равны. :) Начертите их равными и всё встанет на свои места.
Ну... не знаю, что у Вас там не равно... вот, всё до копейки точно:
https://img.uforum.uz/images/3010689.png
:)

Наташа
11.05.2009, 18:45
Ну... не знаю, что у Вас там не равно... вот, всё до копейки точно: а у вас EK, HK будут пересекаться внутри квадрата :)

b_a_lamut
11.05.2009, 18:52
Углы KDA и RCG не могут быть равнымпродолжительные поиски буквы R на рисунке увенчались полным провалом:104:

Ой, я не хотел. Надеюсь, что не ушиблись :)

b_a_lamut
11.05.2009, 18:57
Ну... не знаю, что у Вас там не равно... вот, всё до копейки точно:

А как насчёт перпендикуляра из точки Н в точку К :)

b_a_lamut
11.05.2009, 19:34
Ну... не знаю, что у Вас там не равно... вот, всё до копейки точно:

А как насчёт перпендикуляра из точки Н в точку К :)

Вот, ещё добавил :) https://img.uforum.uz/images/7259831.jpg

b_a_lamut
11.05.2009, 20:30
а у вас EK, HK будут пересекаться внутри квадрата

Прошу прощения, что встреваю, но, как сподвижник Пифагора, могу предположить, что сторона GК, как не крути, всё время мимо квадрата пролетать будет и тем самым, подвергать сомнению парадоксальное явление :)

Barbedo
11.05.2009, 22:19
Ну... не знаю, что у Вас там не равно... вот, всё до копейки точно:

А как насчёт перпендикуляра из точки Н в точку К :)
Да, тут-то @ и зарыта :)

b_a_lamut
12.05.2009, 00:00
Но угол GCD - тупой, а ADC - прямой.

Корректно ли их сравнивать ? :) https://img.uforum.uz/images/8711420.jpg

vtoes288
12.05.2009, 09:01
Тем, кто, возможно, не знаком, предлагаю старинный геометрический парадокс.
(утащил отсюда http://xk.kubsu.ru/gr_2.htm)

Предположим, что фигура ABCD есть квадрат. Разделим отрезок АВ пополам и проведем через точку деления E прямую EF перпендикулярную отрезку АВ. Эта прямая пересечет противоположную сторону в точке F, причем DF=FC.
http://xk.kubsu.ru/img/gr1.gifИз вершины С отложим отрезок CG, равный CB. Соединим точки A и G и разделим отрезок AG пополам точкой H. Затем из точки Н проведем прямую НК перпендикулярную к отрезку AG.
Пусть прямые EF и HK пересекутся в некоторой точке К. Соединим точку К с точками D, A, G и C.
Треугольники КАН и КGH равны, поскольку они имеют общую сторону НК, АН=HG, а углы при вершине H прямые. Следовательно, KA=KG.
Треугольники KDF и KCF также равны между собой, поскольку они имеют общую сторону FK, DF=FC, а углы при вершине F прямые. Следовательно, KD=KC и угол KDC равен углу KCD.
Кроме того, DA=CB=CG.
Таким образом, стороны треугольников KDA и KCG равны между собой. Значит, углы KDA и KCG равны. Вычтем теперь из них равные углы KDC и KCD. Очевидно, что разности их также будут равны между собой, т.е. углы GCD и ADC равны. Но угол GCD - тупой, а ADC - прямой.

Угол GCD и угол ADC не равны т. к. AGCD не квадрат.
А, на всякий случай нарисовал, хуже не будет, а вось поможет.
.
https://img.uforum.uz/images/1137532.jpg

Наташа
12.05.2009, 13:18
Прошу прощения, что встреваю, но, как сподвижник Пифагора, могу предположить, что сторона GК, как не крути, всё время мимо квадрата пролетать будет и тем самым, подвергать сомнению парадоксальное явление ну воть и решена задачка :) :)

b_a_lamut
12.05.2009, 15:41
ну воть и решена задачка

Вряд ли. Вы Barbedo не знаете. Он скажет, что всё не правильно, что треугольники нельзя наизнанку выворачивать и прочие придирки, несущественного характера :)

Кстати, Вы уже были здесь: http://geom.uz/?

Barbedo
12.05.2009, 16:42
ну воть и решена задачка

Вряд ли. Вы Barbedo не знаете. Он скажет, что всё не правильно, что треугольники нельзя наизнанку выворачивать и прочие придирки, несущественного характера :)

Кстати, Вы уже были здесь: http://geom.uz/?
И вовсе это не задачка была, а вовсе даже так называемый парадокс, и вовсе я не придирки, вот.
:KidRock_02:

b_a_lamut
12.05.2009, 17:23
И вовсе это не задачка была, а вовсе даже так называемый парадокс, и вовсе я не придирки, вот.

Как учёный, могу предположить, что в геометрии не должно быть никаких парадоксов. Иначе, бороздя элипс орбиты, космический корабль может вспахать её не под тем углом. Требуем развенчать так называемый парадокс и показать нам тот тупик, в который Вы нас завели :)

vtoes288
12.05.2009, 17:49
И вовсе это не задачка была, а вовсе даже так называемый парадокс, и вовсе я не придирки, вот.

Как учёный, могу предположить, что в геометрии не должно быть никаких парадоксов. Иначе, бороздя элипс орбиты, космический корабль может вспахать её не под тем углом. Требуем развенчать так называемый парадокс и показать нам тот тупик, в который Вы нас завели :)
не подумайте что я придираюсь к словам, просто где то я это уже слышал и во навеело.
Как много нам открытий чудных
Готовят просвещенья дух
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг,
И случай, бог изобретений.
А.С.Пушкин 1829.
.
а вообще то в 3D такая же ерунда получается. веть Вы рассматриваете боковые грани, а они какрас и не изменяются.

Barbedo
12.05.2009, 18:42
Как учёный, могу предположить, что в геометрии не должно быть никаких парадоксов. Иначе, бороздя элипс орбиты, космический корабль может вспахать её не под тем углом. Требуем развенчать так называемый парадокс и показать нам тот тупик, в который Вы нас завели :)
О, нет, мой друг, уж лучше мозги из отрубей, иголок и булавок, шипучая смелость из блюдца и шелковое сердце, чем разоблачение волшебства, - от этого увольте :)

b_a_lamut
12.05.2009, 21:03
О, нет, мой друг, уж лучше мозги из отрубей, иголок и булавок, шипучая смелость из блюдца и шелковое сердце, чем разоблачение волшебства, - от этого увольте

Мозги (отруби, иголки, булавки) - 1шт. Настоящие.
Смелость (свежеприготовленная) - 1шт. Настоящая.
Сердце (шёлк натуральный) - 1шт. Настоящее.
Изумруды (приложение: очки зелёные) - много. Настоящие.
Угол (в треугольнике) тупой и не тот. Не настоящий.

Себе, так первые четыре пункта, а нам - последний. :shok:

b_a_lamut
12.05.2009, 21:13
Как много нам открытий чудных
Готовят просвещенья дух
И опыт, сын ошибок трудных,
И гений, парадоксов друг,
И случай, бог изобретений.

Зачем разводите здесь смуту?
Читайте лучше классиков Б.А.Ламута: http://balamut.uz/?tag=druzyam :buba:

Nadir Zaitov
13.05.2009, 17:34
b_a_lamut, ВЫ В СУЩНОСТИ ПРАВИЛЬНО РЕШИЛИ.
GK - пролетает мимо квадрата и вся "геометрия" парадокса летит в ... однако красиво доказать это не смог: жуткая формула и перебор вариантов на компьютре с применением непрерывности синуса и косинуса для разных углов. Жуть и некрасивые формулы.

Barbedo
13.05.2009, 18:39
b_a_lamut, ВЫ В СУЩНОСТИ ПРАВИЛЬНО РЕШИЛИ.
GK - пролетает мимо квадрата и вся "геометрия" парадокса летит в ... однако красиво доказать это не смог: жуткая формула и перебор вариантов на компьютре с применением непрерывности синуса и косинуса для разных углов. Жуть и некрасивые формулы.
Основой "парадокса" конечно же является искажение чертежа, при котором за счет мнимой перпендикулярности AG и HK сторона GK треугольника GCK пересекает квадрат. На самом же деле после доказательства равенства треугольников AKD и GCK по трем сторонам, а оно сомнений не вызывает, легко доказать, что GCK можно получить поворотом ADK вокруг точки K по часовой стрелке на угол DKC=AKG. Соответственно, GK никогда не пересекает сторон квадрата и тупой угол GCK смотрит вправо от квадрата, так что вычесть из него угол KCD никак невозможно.
:)

Shuhrat Ismailov
20.05.2009, 20:51
Угoл С равен 90˚, ВD - биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярна СА, О - тoчка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС.
https://img.uforum.uz/images/568121.jpg
Имеем: треугoльник LВО равен треугольнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, треугольник КОА равен треугольнику ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые), угол ОАК = углу МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС.
Как же так? что ж такое? (с)

Наташа
20.05.2009, 21:09
если считать ваши построения правельными... все равно не понятно... почему у вас ОК=МА...?:185:

Наташа
20.05.2009, 21:49
если считать ваши построения правельными... все равно не понятно... почему у вас ОК=МА...?а.. ну все правельно...
интересен так же частный случай -когда триугольник АВС -равнобедренный -тогда пересечение серединных перпендикуляров будет в точке пересечения биссектрис -вывод центр описанной окружности являеться центром вписанной -в равнобедренном прямоугольном триугольнике...:shok: -хотя... уже из вашего построения можно сделать такой вывод..:)

Nadir Zaitov
20.05.2009, 22:00
Построение К левее точки D кажется не верным :)


СD=CB*tgL
CA=CB*tg2L, где L= угол CBD=1/2 CBA
tg2L=2tgL/(1-tg^2L)

Так как 2L<90 градусов (угол острый в прямоугольном треугольнике), то L<45 градусов, tgL<1, 0<1-tgL^2<1

Следовательно, tg2L>2tgL, или что эквивалентно, точка К правее D: 2CD<CA :)

b_a_lamut
20.05.2009, 22:44
СК = КА

С какой стати? При личной беседе с Пифагором, он мне объяснил, что только в равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и апофема дружны, в остальных случаях не морочь себе голову. :)

b_a_lamut
20.05.2009, 23:27
Построение К левее точки D кажется не верным
Здесь, даже СД не может быть равной ДА. Из принципа :)

Наташа
20.05.2009, 23:48
https://img.uforum.uz/images/6199244.jpeg

:185:

b_a_lamut
21.05.2009, 00:30
:185:

Ой, что это?

Shuhrat Ismailov
21.05.2009, 20:36
Ой, что это?
По видимому, это доказательство следующего утверждения
tg2L>2tgL

b_a_lamut
25.05.2009, 01:30
Ой, что это?
По видимому, это доказательство следующего утверждения
tg2L>2tgL

https://img.uforum.uz/images/7007158.jpg

Nadir Zaitov
25.05.2009, 16:43
https://img.uforum.uz/images/7007158.jpg[/quote] Баламут, картинка красивая, но без описания малопонятная. Что Вы хотели доказать?

b_a_lamut
26.05.2009, 01:51
Что Вы хотели доказать?

А разве надо? :) Условие задачи изначально, представило невыполнимые условия. Из любой точки на биссектрисе невозможно опустить перпендикуляр на основание треугольника со стороны тупого угла. А центр основания всегда находится именно там. Стоит ли проводить дальнейшие исследования?
Картинку можно было бы и не рисовать, просто показал, что с чем можно сравнивать. :)

Shuhrat Ismailov
26.05.2009, 17:55
Условие задачи изначально, представило невыполнимые условия. Из любой точки на биссектрисе невозможно опустить перпендикуляр на основание треугольника со стороны тупого угла. А центр основания всегда находится именно там. Стоит ли проводить дальнейшие исследования?

Вы правы. Исследования не стоит проводить.
Действительно, точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.

Nadir Zaitov
26.05.2009, 20:12
Вот на что наткнулся в интернете... действительно ли тут вопрос неаддитивность площади?
https://img.uforum.uz/images/23459.gif

Barbedo
26.05.2009, 22:03
:)

b_a_lamut
26.05.2009, 23:13
Вот на что наткнулся в интернете... действительно ли тут вопрос неаддитивность площади?

С диагонали, площади на дырку набралось :) У красного, синего и полного треугольников, углы не равны.
https://img.uforum.uz/images/282795.jpg

Nadir Zaitov
27.05.2009, 14:12
С диагонали, площади на дырку набралось Ага :) Поздравляю с решением. 2/5 не равно 3/8 :)

Nadir Zaitov
27.05.2009, 19:56
Вот еще одна веселая задачка с геометрическим парадоксами из тех же мест :)


Число Пи равно двум
Рассмотрим окружность с диаметром 2. Длина полуокружности, очевидно, равна Пи. Проведем внутри ее еще две полуокружности, образующие вместе символ "инь-янь".

https://img.uforum.uz/images/1978663.gif

Длина каждой из меньших окружностей, образующих волнистую линию, равна Пи/2 , так что их суммарная длина составляет Пи. Проделаем аналогичные построения в каждой из меньших полуокружностей:

https://img.uforum.uz/images/4957504.gif

Аналогичным образом сумма следующих по малости четырех полуокружностей также будет равна Пи. Проделаем описанную операцию N раз, и устремим N к бесконечности. При этом длина получающихся кривых на каждом шаге будет равна Пи. Радиус полуокружностей при этом будет стремиться к нулю. Ясно, что в пределе волнистая линия АВ совпадет с диаметром. Значит и длина полученной кривой также будет равна длине диаметра. Отсюда следует, что Пи=2.

Наташа
28.05.2009, 00:41
Ясно, что в пределе волнистая линия АВ совпадет с диаметром. Значит и длина полученной кривой также будет равна длине диаметра. Отсюда следует, что Пи=2.
ни когда не совпадет она с диаметром :( и не когда не станет одномерной линией :( -эта красивая кривая будет называеться Фракталом (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%B0%D0%BB) -несмотря на то что и будет похожа на прямую... а ее размерность... 0,6931... -мерная кривая :girl_sigh:
а вот как выглядят иные фракталы если их долго приближать (http://video.google.de/googleplayer.swf?docid=1619313842463920970&hl=de&fs=true) (видео тем кому трафика не жалко :girl_cray3: )... воть...

b_a_lamut
28.05.2009, 01:33
ни когда не совпадет она с диаметром

А если эти окружности дойдут до точки, не получится ли борозда, равная диаметру изначальной окружности, которую вспахал аттрактор? :)
https://img.uforum.uz/images/6614336.jpg

Наташа
28.05.2009, 12:54
а ее размерность... 0,6931... -мерная кривая я как всегда ошибаюсь... :(

А если эти окружности дойдут до точки, не получится ли борозда, равная диаметру изначальной окружности, которую вспахал аттрактор?
конечно будет -только вот предел функции не всегда равен ее значению в этой точке...

Nadir Zaitov
28.05.2009, 13:23
ни когда не совпадет она с диаметром и не когда не станет одномерной линией -эта красивая кривая будет называеться Фракталом -несмотря на то что и будет похожа на прямую... а ее размерность... 0,6931... -мерная кривая А что означает "никогда не совпадет с диаметром?" - что по мне, то "расстояние от любой точки кривой под номером N до диаметра будет не более (1/2)^N, т.е. диаметр эти кривые непрерывно "обвалакивают" и поточечный предел каждой кривой вдоль любой горизонтальной секущей стремится к диаметру. Да и в целом каждая кривая N - в отдельности гладкая и не является фракталом, да и предел то всего один - диаметр... не вижу объяснения "феномена Пи=2".

Наташа
28.05.2009, 16:31
Да и в целом каждая кривая N - в отдельности гладкая и не является фракталом,
я уже написала, что ошиблась с фракталами (увидела 1ую формулу -подставила значения получила -неверный результат...:cray: )
А что означает "никогда не совпадет с диаметром?"
то и означает, что функция лишь равномерно сходиться к диаметру (а не становиться им) -при этом некоторые свойства в пределе у этой функции совпадают со свойствами диаметра (но как мы здесь и убедились не все):girl_cray3: при равномерной сходимости (не попуктной) сохраняються непрерывность, интегрируемость, дифиренцируемость (-частично, например производные могут не совпадать) -а про длину лучше промолчать... -если конечно вам не известно доказательства обратного...

Nadir Zaitov
28.05.2009, 17:56
то и означает, что функция лишь равномерно сходиться к диаметру В том то и дело, что "функция", а точнее их последовательность только поточечно сходится к диаметру, а не равномерно! Равномерного предела этой функции нет, так как в точках "склеивания" кривых производная "бесконечная" :) Наташа, ваше "учусь" (вроде б раньше было "школьница") выскакивает за школьный курс познаний математики... Во всем виноват ЕС?

Наташа
28.05.2009, 18:43
Оффтоп: Наташа, ваше "учусь" (вроде б раньше было "школьница") выскакивает за школьный курс познаний математики... Во всем виноват ЕС? -зарегистрировалась -моя сестра -она и есть школьница -а я нагло забрала себе ее аккаунт -поскольку ей он стал давно ненужен (а мне регистрация по почте так и не пришла ) -и я сменила надпись как ток выяснила как это сделать -учусь я не в школе...:017:

Наташа
28.05.2009, 21:51
еще добавлю, что учусь я в Германии в Университете, что бы не было ни каких недомолвок -и извеняюсь -если что то кого то ввело в заблуждение... :017:

Nadir Zaitov
29.05.2009, 11:28
еще добавлю, что учусь я в Германии в Университете, что бы не было ни каких недомолвок -и извеняюсь -если что то кого то ввело в заблуждение... :017:
Все ОК, только просьба "лирические отступления" писать в Offtop-е