Обратный факториал

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Предлагаю ввести понятия непрерывного факториала для нецелых чисел согласно примеру:

4,5! = 1 * 2 * 3 * 4,5 = 18

Отсюда вопрос.

Как узнать, у какого числа непрерывный факториал равен 132?

А в общем виде, чему равно число n, факториал которого равен n!?

[Tatyana Belyakova]

Как узнать, у какого числа непрерывный факториал равен 132?
5,5. Или Вам метод расписать?

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Или Вам метод расписать? Для общего случАя :-0)

[Bankir]

[QUOTE=Evgeniy Sklyarevskiy;445798]Предлагаю ввести понятия непрерывного факториала для нецелых чисел QUOTE]
А Вы не могли бы начать с введения понятия факториала для квадрочисел и, вообще, гиперкомплексных?

[Evgeniy Sklyarevskiy]

А Вы не могли бы начать с введения понятия факториала для квадрочисел и, вообще, гиперкомплексных? не могу, занят на работе :-0)

[Tatyana Belyakova]

Для общего случАя :-0)
Ну метод довольно топорный:
В случае, если факториал — целое число, мы последовательно, начиная с 1, делим n на целые числа. Останавливаемся, когда следующий делитель становится равным частному. Это и будет наше число n. Примерно так:

n=n!/1/2/3/4...(n-1)

В дробном случае мы останавливаемся, когда в качестве частного выходит дробное число.

А Вы не могли бы начать с введения понятия факториала для квадрочисел и, вообще, гиперкомплексных?
— Доктор, у меня такая проблема: когда я касаюсь кончиком языка кусочка фольги, в которой до этого запекали картофель в духовке, у меня почему-то начинает колоть в правой пятке! Что Вы об этом думаете?
— Я думаю, что у Вас слишком много свободного времени...

:)

[DarkUser]

В дробном случае мы останавливаемся, когда в качестве частного выходит дробное число.

"обратный факториал" от 156 = 6.5
6.5! = 780.
как-то так...

[Tatyana Belyakova]

как-то так...
Мда. Неувязочка получается.

[Rooslan Khayrov]

Вообще, обобщением факториала (на поле комплексных чисел) является гамма-функция.
А функция ЕС не непрерывна, вот и неувязочки с обратной функцией.

[Shuhrat Ismailov]

5,5. Или Вам метод расписать?
Давайте я распишу за Вас. Надеюсь, Вы мне в глаз за это не дадите. )
Предлагаю ввести понятия непрерывного факториала для нецелых чисел согласно примеру:
4,5! = 1 * 2 * 3 * 4,5 = 18

Будем рассматривать только положительные действительные числа.
Известно, что любое число x представимо в виде
x=[x]+{x} или по-другому, x=n+a, где
n=[x]-целая часть числа x, a= {x}-дробная часть числа x. (Напомним также, что x-1<n<=x, 0<=a<1)
Тогда по определению можно положить
х!=[x-1]!*х=[x-1]!*([x]+{x})=[x]!+[x-1]!*{x}=n!+(n-1)!a
(последние факториалы обычные)
Как узнать, у какого числа непрерывный факториал равен 132? Решение "необычного факториального уравнения х!=132 сводится к уравнению n!+(n-1)!a=132.
Так как 5!=120<132<720=6!), то n=5 ,
120+24*a=132,
a=0,5.
Значит, x=n+a=5,5.
А в общем виде, чему равно число n, факториал которого равен n!?
Здесь не совсем ясно выразились. Может быть, Вы имели следующее?
Чему равно число х, непрерывный факториал которого равен b, где b - заданное натуральное число?
Тогда исходя из рассуждений, данных выше, получаем схему из трех шагов.
Шаг 1) Находим наибольшее n такое, что n!<b ( т.е. удовлетворяющее двойному неравенству n!<b<(n+1)!) Здесь полезно иметь таблицу обычных факториалов или организовать программный цикл на ПЭВМ)
Шаг 2) Подставляя найденное выше n в уравнение n!+(n-1)!a=b,
получим a= (b-n!)/(n-1)!=b/(n-1)!-n
(легко видеть, что a - число из полуоткрытого интервала [0,1).)
3) Выписываем решение в виде х = n+a.
Вроде нигде не ошибся.
Отметим шаг 1, в котором требуется небольшой творческий подход.
вот и неувязочки с обратной функцией.
Так как в результате трех шагов n и a (а значит, и х) находятся однозначно, то нет никаких неувязочек.
Т.е. функция х!=[x]!+[x-1]!*{x} получается обратимой.

[Evgeniy Sklyarevskiy]

Давайте я распишу за Вас.Спасибо огромное!!! Наконец-то я сам понял, что хотел спросить :-0)

[Shuhrat Ismailov]

Спасибо огромное!!! Наконец-то я сам понял, что хотел спросить :-0)
Вам спасибо за пример обратимой функции со счетным множеством точек разрыва....Дикая функция , короче.... В 17 веке нас бы двоих за нее сожгли на костре.

[Rooslan Khayrov]

вот и неувязочки с обратной функцией.
Так как в результате трех шагов n и a (а значит, и х) находятся однозначно, то нет никаких неувязочек.
Неувязочка заключалась в том, что DarkUser подло^W подсунул Татьяне число вне области значений (и соответственно определения обратной) этой функции :-)

[Evgeniy Sklyarevskiy]

В 17 веке нас бы двоих за нее сожгли на костре. Нет уж, лучше в глаз от Татьяны.

[Tatyana Belyakova]

Нет уж, лучше в глаз от Татьяны.
Бить буду аккуратно, но сильно! ©

[Наташа]

Шаг 1) Находим наибольшее n такое, что n!<b ( т.е. удовлетворяющее двойному неравенству n!<b<(n+1)!) Здесь полезно иметь таблицу обычных факториалов или организовать программный цикл на ПЭВМ)
Шаг 2) Подставляя найденное выше n в уравнение n!+(n-1)!a=b,
получим a= (b-n!)/(n-1)!=b/(n-1)!-n
(легко видеть, что a - число из полуоткрытого интервала [0,1).)
3) Выписываем решение в виде х = n+a.
Вроде нигде не ошибся.
Допустим b=5, тогда:
Шаг1) 2!<5<3! => n=2
Шаг 2) a= (b-n!)/(n-1)!=b/(n-1)!-n =5/(2-1)!-2=3 => a=3 =>легко видеть, что a - число из полуоткрытого интервала [0,1).:)

[Nadir Zaitov]

x!=[x-1]!*хЭтот то момент и не очевиден. C этим свойством бы мы Гамма-функцию как раз бы и получили :)
a=3
А "дробная часть" не должна быть меньше 1 :) Не оговорено.

[infoliokrat]

А инфолиофакториал (для вычисления обраиного факториала) любого большего чем 1 числа- особенно дробной части- подойдёт?
http://ru.math.wikia.com/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_% D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0 %BB

[Nadir Zaitov]

Для всей комплексной плоскости, кроме как в точках 0, -1, -2, -3, ... определена Гамма функция (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B0%D0%BC%D0%BC%D0%B0-%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F) Г(z) обладающая прекрасным свойством, что:
Г(z)=zГ(z-1); Г(1)=1. В частности Г(N)=N! для всех натуральных N.

Кажется есть теорема, что другой функции, удовлетворяющей функциональному уравнению Г(z)=zГ(z-1); Г(1)=1 и непрерывной на большей части комплексной плоскости нет. Для действительных точек x>1 Г(x) непрерывна, монотонна, обратима и т.п.

[Bankir]

Надир, Вы учитываете степени свободы для Риманова пространства-времени, утверждая подобное?

[Nadir Zaitov]

Надир, Вы учитываете степени свободы для Риманова пространства-времени, утверждая подобное? Это типа "приколол/сумничал"? Вы сами поняли, что не в тему?

[Glashatay]

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D 0%BB вроде речь идет только о целых натуральных числах... откуда 5,5???

[Nadir Zaitov]

вроде речь идет только о целых натуральных числах... откуда 5,5??? В том то и дело, что идея была непрерывно дополнить определение факториала так, чтобы можно было подсчитать 5,5! (F это оказывается давно уже сделал Эйлер)

[infoliokrat]

+Совершенно верно, в основной ВИКИ (а не в математической) ТАК
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D 0%BB вроде речь идет только о целых натуральных числах... откуда 5,5???
Так там обратный факториал удален начисто, как не соответствующий ...

Прошу оценить (см. мой предыдущий пост)
инфолиофакториал (для вычисления обратного факториала) любого большего чем 1 числа- особенно дробной части- подойдёт? Это
http://ru.math.wikia.com/wiki/%D0%9E...B8%D0%B0%D0%BB (http://ru.math.wikia.com/wiki/%D0%9E...B8%D0%B0%D0%BB)
инфолиофакториал отличается от Г(х) не при целых х, зато позволяет обратный факториал, точнее его дробную часть, для любых (хоть дробных, хоть иррациональных) чисел, вычислять путем решения квадратного уравнения, получающегося при делении и левой и правой части на (М-m)! его формулы (по определению Инфолиофакториал это отличное от Гамма-функции расширение факториала на все положительные числа... х!=х*(M!*m +(M-1)!*(1-m)), с помощью его вычисляется инфолиократная функция (http://uforum.uz/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%84%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BE%D0%BA%D 1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0 %BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F) - обратный факториал (http://uforum.uz/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_% D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0 %BB) для любого положительного числа).

Прошу прощения- ссылка на ru.math.wikia... не обеспечивает переход на инфолиофакториал через обратный факториал, так как была скопирована из упомянутого поста и многоточие в ней обеспечтвает поиск О...B8алО, а не статьи http://ru.math.wikia.com/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%84%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BE%D1%84%D 0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB

[infoliokrat]

узнать, у какого числа непрерывный факториал равен 132?

А в общем виде, чему равно число n, факториал которого равен n!?
Только сейчас сообразил, почему для обозначения обратного факториала выбрал сочетание знаков !?
Оказывается это просто из обычной записи... (На форуме ГД предлагали перевернутый восклицательный знак).
К слову, английское "обратный факториал" дословно обозначает 1/n! т.е. величину обратную факториалу числа. Наверное это не очень корректно.

[infoliokrat]

Предполагаю, что инфолиофакториал от х=4,99... будут более точно приближаться к 5! чем вычисленный по формуле
n!+(n-1)!a (где а- дробная часть числа х)
(по определению Инфолиофакториал это отличное от Гамма-функции расширение факториала на все положительные числа... х!=х*(M!*m +(M-1)!*(1-m)), с помощью его вычисляется инфолиократная функция - обратный факториал для любого положительного числа).
Если вычислять 4,99..! = 4! + 3! * 0,99.. то предельное значение будет 4!+3! а не 5! Так ли я понял нижеприведенное выражение?
Тогда по определению можно положить х!=[x-1]!*х=[x-1]!*([x]+{x})=[x]!+[x-1]!*{x}=n!+(n-1)!a (последние факториалы обычные)
Соответствующие обратные функции должны вычисляться в любом случае.
P.S. Кто сможет указать данные функции на АРБУЗ? (Там поисковик тоже находит тему Обратный факториал)